广东省梅州市蕉岭中学2025届数学高一下期末监测试题含解析

广东省梅州市蕉岭中学2025届数学高一下期末监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．数列{an}的通项公式an＝，若{an}前n项和为24，则n为()．A．25 B．576 C．624 D．6252．在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若c=2bsinC，B≤πA．π6 B．π4 C．π3．函数的最小正周期是()A． B． C． D．4．已知中，，，，则BC边上的中线AM的长度为（）A． B． C． D．5．已知正实数a，b满足，则的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．116．的值为（）A． B． C． D．7．已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l对称，则直线l的方程为()．A．x＋y＝0 B．x－y＝0C．x－y＋1＝0 D．x＋y－6＝08．设x、y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为（）A．0 B．0.5 C．1 D．29．如图，A，B是半径为1的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为.图中△PAB的面积的最大值为（）A．+sin2 B．sin+sin2C．+sin D．+cos10．取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段绳有一段长度不小于的概率是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AC＝BC＝2，AB＝2，侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂直，则该三棱锥的外接球表面积为_____．12．已知，是夹角为的两个单位向量，向量，，若，则实数的值为________.13．已知数列满足，，，则数列的通项公式为________．14．在中，已知，则下列四个不等式中，正确的不等式的序号为____________①②③④15．中，，则A的取值范围为______．16．已知圆柱的底面圆的半径为2，高为3，则该圆柱的侧面积为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．土笋冻是闽南种广受欢迎的特色传统风味小吃某小区超市销售一款土笋冻，进价为每个15元，售价为每个20元.销售的方案是当天进货，当天销售,未售出的全部由厂家以每个10元的价格回购处理.根据该小区以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图:(1)估算该小区土笋冻日需求量的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)已知该超市某天购进了150个土笋冻，假设当天的需求量为个销售利润为元.(i)求关于的函数关系式;(ii)结合上述频率分布直方图，以额率估计概率的思想,估计当天利润不小于650元的概率.18．已知，，分别为三个内角，，的对边，.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求边，.19．已知函数，且.（1）求的值；（2）若在上有且只有一个零点，，求的取值范围.20．如图为函数f(x)=Asin(Ⅰ)求函数f(x)=Asin(Ⅱ)若x∈0,π2时，函数y=21．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2,O为AD中点．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）线段AD上是否存在点，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】an＝＝－()，前n项和Sn＝－[(1－)＋(－)]＋…＋()]＝－1＝24，故n＝624.故选C.2、A【解析】

利用正弦定理可求得sinB=12【详解】因为c=2bsinC，所以sinC=2sinBsinC，所以sinB=1【点睛】本题主要考查正弦定理的运用，难度较小.3、A【解析】

作出函数的图象可得出该函数的最小正周期。【详解】作出函数的图象如下图所示，由图象可知，函数的最小正周期为，故选：A。【点睛】本题考查三角函数周期的求解，一般而言，三角函数最小正周期的求解方法有如下几种：（1）定义法：即；（2）公式法：当时，函数或的最小正周期为，函数最小正周期为；（3）图象法。4、A【解析】

利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，求的长．【详解】延长至，使，连接、，如图所示；由题意知四边形是平行四边形，且满足，即，解得，所以边上的中线的长度为．故选：A．【点睛】本题考查平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．5、B【解析】

由题意，得到，结合基本不等式，即可求解，得到答案.【详解】由题意，正实数a，b满足，则，当且仅当，即等号成立，所以的最小值为9.故选：B.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能，属于据此话题.6、B【解析】由诱导公式可得，故选B.7、C【解析】试题分析：两点关于直线对称，则,点与的中点在直线上，,那么直线的斜率等于，中点坐标为，即中点坐标为，,整理得：,故选C.考点：求直线方程8、C【解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，3），化目标函数z＝2x﹣y为y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2×2﹣3＝1．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．9、B【解析】

由正弦定理可得，，则，，当点在的中垂线上时，取得最大值，此时的面积最大，求解即可.【详解】在中，由正弦定理可得，，则.，当点在的中垂线上时，取得最大值，此时的面积最大.取的中点，过点作的垂线，交圆于点，取圆心为，则（为锐角），.所以的面积最大为.故选B.【点睛】本题考查了三角形的面积的计算、正弦定理的应用，考查了三角函数的化简，考查了计算能力，属于基础题.10、A【解析】

设其中一段的长度为，可得出另一段长度为，根据题意得出的取值范围，再利用几何概型的概率公式可得出所求事件的概率.【详解】设其中一段的长度为，可得出另一段长度为，由于剪得两段绳有一段长度不小于，则或，可得或.由于，所以，或.由几何概型的概率公式可知，事件“剪得两段绳有一段长度不小于”的概率为，故选：A.【点睛】本题考查长度型几何概型概率公式的应用，解题时要将问题转化为区间型的几何概型来计算概率，考查分析问题以及运算求解能力，属于中等题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

求出的外接圆半径，的外接圆半径，求出外接球的半径，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．【详解】由题意，设的外心为，的外心为，则的外接圆半径，在中，因为，由余弦定理可得，所以，所以的外接圆半径，在等边中，由，所以，所以，设球心为，球的半径为，则，又由面，面，则，所以该三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的求解，其中解答中熟练应用空间几何体的结构特征，确定球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．12、【解析】

由题意得，且，，由=，解得即可.【详解】已知，是夹角为的两个单位向量，所以，得，若解得故答案为【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．13、.【解析】

由题意得出，可得出数列为等比数列，确定出该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式.【详解】设，整理得，对比可得，，即，且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，因此，，故答案为.【点睛】本题考查数列通项的求解，解题时要结合递推式的结构选择合适的方法来求解，同时要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14、②③【解析】

根据，分当和两种情况分类讨论，每一类中利用正、余弦函数的单调性判断，特别注意，当时，.【详解】当时，在上是增函数，因为，所以，因为在上是减函数，且，所以，当时，且，因为在上是减函数，所以，而，所以.故答案为：②③【点睛】本题主要考查了正弦函数与余弦函数的单调性在三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15、【解析】

由正弦定理将sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC变为，然后用余弦定理推论可求，进而根据余弦函数的图像性质可求得角A的取值范围．【详解】因为sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，所以，即．所以，因为，所以．【点睛】在三角形中，已知边和角或边、角关系，求角或边时，注意正弦、余弦定理的运用．条件只有角的正弦时，可用正弦定理的推论，将角化为边．16、【解析】

圆柱的侧面打开是一个矩形，长为底面的周长，宽为圆柱的高，即，带入数据即可．【详解】因为圆柱的底面圆的半径为2，所以圆柱的底面圆的周长为，则该圆柱的侧面积为.【点睛】此题考察圆柱侧面积公式，属于基础题目．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）(i)（）；(ii)【解析】

(1)设日需求量为，直接利用频率分布图中的平均数公式估算该小区土笋冻日需求量的平均数；（2）(i)分类讨论得（）；(ii)由（i）可知，利润，当且仅当日需求量，再利用互斥事件的概率和公式求解.【详解】解：（1）设日需求量为，依题意的频率为；的频率为；的频率为；的频率为．则与的频率为．故该小区土笋冻日需求量的平均数，．（2）（i）当时，；当时，．故（）（ii）由（i）可知，利润，当且仅当日需求量．由频率分布直方图可知，日需求量的频率约为，以频率估计概率的思想，估计当天利润不小于元的概率为．【点睛】本题主要考查频率分布直方图中平均数的计算和分段函数解析式的求法，考查互斥事件的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.18、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理化边为角，再依据两角和的正弦公式以及诱导公式，即可求出，进而求得角A的大小：（2）依第一问结果，先由三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出，联立即可求解出，的值．【详解】（1）由及正弦定理得，整理得，，，因为，且，所以，，又，所以，.（2）因为的面积，所以，①由余弦定理得，，所以，②联立①②解得，.【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用，涉及利用两角和的正弦公式、诱导公式对三角函数式的恒等变换．19、（1）（2）【解析】

（1）利用降次公式、辅助角公式化简表达式，利用求得的值.（2）令，结合的取值范围以及三角函数的零点列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】（1），，，即.（2）令，则，，，在上有且只有一个零点，，，的取值范围为.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.20、(Ⅰ)f(x)=23【解析】

(Ⅰ)根据三角函数的图像，得到周期，求出ω=2，再由函数零点，得到2×π6+φ=2kπ,k∈Z(Ⅱ)先由题意得到f(x)∈-1,233，再将函数【详解】(Ⅰ)由图象知，T∴T=π，ω=2∵2×π6+φ=2kπ,k∈Z，及而f(0)=Asin(-π3故f(x)=2(Ⅱ)∵x∈∴2x-π3∈又函数y=f(x)2-2f(x)-m∵f(x)∈∴f(x)-1因此，实数m的取值范围是-1,3.【点睛】本题主要考查由三角函数的部分图像