高考数学复习第十一章　第一节　排列与组合（导学案）

第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第一节排列与组合1.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.1.计数原理(1)完成一件事,如果有n类方案,且第1类方案中有m1种不同的方法,第2类方案中有m2种不同的方法……第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.

(2)完成一件事,如果需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.

2.排列与组合名称定义排列一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列

组合一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

点睛(1)两个排列相同的充要条件是:两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.(2)全排列的概念:n个不同的元素全部取出的一个排列.3.排列数、组合数的公式及性质公式Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=Cnm=Anm性质0!=1,Ann=

Cnm=Cn+1m=

Cn1.Anm=(n-m+1)Anm2.(n+1)!-n!=n·n!.3.kCnk=nCn-1k-1;教材改编结论应用易错易混1,4321.(教材变式)已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从集合M中选一个元素作为点的横坐标,从集合N中选一个元素作为点的纵坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是 ()A.12 B.8 C.6 D.4解析：选C.分两步:第一步,确定横坐标,有3种情况;第二步,确定纵坐标,有2种情况.因此第一、二象限内不同点的个数是3×2=6.2.(忽视隐含条件)随着经济的发展,私家车成为居民的标配.某小区为了适应这一变化,在小区建设过程中预留了7个排成一排的备用车位.现有3位私家车车主要使用这一备用车位.现规定3位私家车车主随机停车,任意两辆车都不相邻,则共有不同停车种数为 ()A.144 B.24 C.72 D.60解析：选D.由题可知7个车位停3辆车,则会产生4个空位,故可先摆好4个空车位,4个空车位之间共有5个空隙可供3辆车选择停车.因此,任意两辆车都不相邻的停车种数共有A533.(结论1)(多选题)下列结果正确的是 ()A.C72-C62=C63 C.An+1n+1-Ann=Ann 解析：选BD.由结论1,2知B正确,C错误,又C72=C61+C62,所以C72-C62=C614.(教材提升)在平面直角坐标系xOy上,平行直线x=n(n=0,1,2,…,5)与平行直线y=n(n=0,1,2,…,5)组成的图形中,矩形共有 ()A.25个 B.36个C.100个 D.225个解析：选D.要构成矩形,从x=n(n=0,1,2,3,4,5)中选两条直线作为两边,共有C6同理从y=n(n=0,1,2,3,4,5)中选两条直线作为两边也有15种选法.共有15×15=225种选法,即矩形共有225个.题型一两个计数原理的应用[典例1](1)仅有甲、乙、丙三人参加四项体育比赛,所有比赛均无并列名次,则不同的夺冠情况共有________种 ()

A.4×3×2×1 B.43C.34 D.6解析：选C.每项比赛的冠军都有3种可能性,因为有四项比赛,故分四步,所有冠军获得者有3×3×3×3=34.(2)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2022是“六合数”),则“六合数”中首位为2的“六合数”共有 ()A.18个 B.15个C.12个 D.9个解析：选B.四位数之和为6且四位数中含2的共有4种情况:(0,0,2,4),(0,1,2,3),(1,1,2,2),(0,2,2,2).数字为0,0,2,4且首位为2的“六合数”有2004,2040,2400,共3个;同理,数字为0,1,2,3且首位为2的“六合数”有6个;数字为1,1,2,2且首位为2的“六合数”有3个;数字为0,2,2,2且首位为2的“六合数”有3个.所以共有15个.(3)已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角.那么这样的直线的条数是__________.

解析：设直线ax+by+c=0的倾斜角为θ,则tanθ=-ab>0.不妨设a>0,则b<0①c=0时,a有三种取法,b有三种取法,排除2个重复(3x-3y=0,2x-2y=0与x-y=0为同一直线),故这样的直线有3×3-2=7(条);②c≠0时,则a有三种取法,b有三种取法,c有四种取法,且其中任两条直线均不相同,故这样的直线有3×3×4=36(条).从而,符合要求的直线有7+36=43(条).答案:431.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么;(2)确定是先分类后分步,还是先分步后分类;(3)弄清分步、分类的标准是什么;(4)利用两个计数原理求解.2.解答计数应用问题的总体思路(1)根据完成事件所需的过程,对事件进行整体分类,确定可分为几大类;(2)确定在每类中完成事件要分几个步骤,这些问题都弄清楚了,就可以根据两个基本原理解决问题了.1.(2022·广州模拟)如图,用4种不同的颜色对A,B,C,D四个区域涂色,要求相邻的两个区域不能用同一种颜色,则不同的涂色方法有 ()A.24种 B.48种C.72种 D.96种解析：选B.按涂色顺序进行分四步:涂A部分时,有4种涂法;涂B部分时,有3种涂法;涂C部分时,有2种涂法;涂D部分时,有2种涂法.由分步乘法计数原理,得不同的涂色方法共有4×3×2×2=48种.2.为迎接新年到来,某中学“唱响时代强音,放飞青春梦想”元旦文艺晚会如期举行.校文娱组委员会要在原定排好的8个学生节目中增加2个教师节目,若保持原来的8个节目的出场顺序不变,则不同排法的种数为 ()A.36 B.45 C.72 D.90解析：选D.采用插空法即可:第1步:原来排好的8个学生节目产生9个空隙,插入1个教师节目有9种排法;第2步:排好的8个学生节目和1个教师节目产生10个空隙,插入1个教师节目有10种排法.故共有9×10=90(种)排法.3.李明自主创业种植有机蔬菜,并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务,甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次.已知5月1日李明分别去了这四家超市配送,那么整个5月他不用去配送的天数是 ()A.12 B.13 C.14 D.15解析：选B.将5月剩余的30天依次编号为1,2,3…,30,因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次,且5月1日李明分别去了这四家超市配送,所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送,每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送,每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送,每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送,则李明去甲超市的天数编号为3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,共10天;李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为4,8,16,20,28,共5天;李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在,共0天;李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为7,14,共2天.所以李明需要配送的天数为10+5+0+2=17,所以整个5月李明不用去配送的天数是30-17=13.题型二排列与组合的简单应用角度1排列的应用[典例2]有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.(1)选其中5人排成一排;(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;(3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾.解析：(1)从7个人中选5个人排,排法总数有A75(2)分两步完成,先选3人排在前排,有A73种方法,余下4人排在后排,有A44另解:本题即为7人排成一排的全排列.(3)方法一:甲为特殊元素.先排甲,有5种方法,其余6人有A66种方法,故共有5×3600种.方法二:排头与排尾为特殊位置.排头与排尾从除甲的其余6个人中选2个排列,有A62种方法,中间5个位置由余下4人和甲进行全排列,有A55种方法,共有3600种.1.(3)改为全体排成一排,女生必须站在一起;2.(3)改为全体排成一排,男生互不相邻;3.(3)改为全体排成一排,甲、乙两人中间恰好有3人;4.(3)改为全体排成一排,甲必须排在乙前面(可不相邻);5.(3)改为全体排成一排,甲不排在左端,乙不排在右端.解析：1.(捆绑法)将女生看成一个整体,与3名男生一起全排列,有A44种方法,再将4名女生进行全排列,也有A442.(插空法)男生不相邻,而女生不作要求,所以应先排女生,有A44种方法,再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生,有A51440种.3.(捆绑法)把甲、乙及中间3人看作一个整体,第一步:先排甲、乙两人,有A22种方法;第二步:从余下5人中选3人排在甲、乙中间,有A53种;第三步:把这个整体与余下2人进行全排列,有A334.(消序法)7人的全排列有A77种,其中甲在乙前面与乙在甲前面各占122520种.另解:7个位置中任选5个排除甲、乙外的5人,余下的两个位置甲、乙的排法即定,故有A755.甲、乙为特殊元素,左、右两端为特殊位置.方法一(特殊元素法):甲在最右端时,其他的可全排,有A66种;甲不在最右端时,可从余下5个位置中任选一个,有A51种,而乙可排在除去最右端位置后剩余的5个位置中的任意一个上,有A51种,其余人全排列,共有A51方法二(特殊位置法):先排最左端,除去甲外,有A61种,余下6个位置全排,有A66种,但应剔除乙在最右端时的排法A51方法三(间接法):7个人全排,共A77种,其中,不合条件的有甲在最左端时,有A66种,乙在最右端时,有A66种,其中都包含了甲在最左端,同时乙在最右端的情形,有A55种.求解排列应用问题的六种常用方法角度2组合的应用[典例3](1)(2022·长沙模拟)新课程改革后,普通高校招生方案规定:每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试,某省份规定物理或历史至少选一门,那么该省份每位考生的选法种数为 ()A.12种 B.15种C.16种 D.18种【解题指南】分两种情况:物理和历史都选、物理历史只选一门,求两种情况的方法数之和即可求解.解析：选C.方法一:若物理或历史只选一门,则有C21C4方法二:C63-C(2)共有10级台阶,某人一步可跨一级台阶,也可跨两级台阶或三级台阶,则他恰好6步上完台阶的方法种数是 ()A.30 B.90 C.75 D.60解析：选B.由题意可知,完成这件事情分三类:第一类,按照3,3,1,1,1,1的走法有C6第二类,按照3,2,2,1,1,1的走法有C6第三类,按照2,2,2,2,1,1的走法有C64所以他恰好6步上完台阶的方法种数是C62+C61(3)现从男、女共8名学生中选出2名男生和1名女生分别参加学校“资源”“生态”和“环保”三个夏令营活动,已知共有90种不同的方案,那么男、女学生的人数分别是 ()A.2,6 B.3,5C.5,3 D.6,2解析：选B.设男生有x人,则女生有(8-x)人,且8>x≥2.由题意可得Cx即x(x-1)(8组合问题的两类题型及求解方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型“含”,则先将这些元素取出,再由另外的元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法,分类复杂时,用间接法处理.1.(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有 ()A.12种 B.24种C.36种 D.48种解析：选B.因为丙、丁要在一起,先把丙、丁捆绑,看作一个元素,连同乙、戊看成三个元素排列,有3!种排列方式;为使甲不在两端,必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,有2种插空方式;注意到丙、丁两人的顺序可交换,有2种排列方式,故安排这5名同学共有3!×2×2=24种不同的排列方式.2.(2022·长沙模拟)现有5个小朋友站成一排照相,如果甲、乙两人必须相邻,而丙、丁两人不能相邻,那么不同的站法共有 ()A.12种 B.16种C.24种 D.36种【解题指南】先将甲、乙捆绑在一起,再将甲、乙与第五个小朋友排列,然后将丙、丁插入三个空,根据分步乘法计数原理,即可求解.解析：选C.根据题意,先将甲、乙捆绑在一起,内部有A22种排列;再将甲、乙与第五个小朋友排列有A22种方法;然后将丙、丁插入三个空,有A3.(2022·黄冈模拟)4位同学坐成一排看比赛节目,随机安排一位同学去购买饮料,留下的同学继续坐下收看,若留下的同学不坐自己原来的位置(4把椅子)且考虑留下同学的随机性,则总的坐法种数为 ()A.44 B.36 C.28 D.15解析：选A.设4位同学分别是甲、乙、丙、丁,随机安排一位同学去购买饮料有C41种情况,不妨设选中丁去购买饮料,若甲坐丁的位置,则乙、丙有3种坐法,若甲坐乙、丙中之一的椅子,则乙、丙有4种坐法,所以总的坐法种数为C4.在象棋比赛中,参赛的任意两位选手都比赛一场,其中胜者得2分,负者得0分,平局各得1分.现有四名学生分别统计全部选手的总得分为131分,132分,133分,134分,但其中只有一名学生的统计结果是正确的,则参赛选手共有 ()A.11位 B.12位C.13位 D.14位解析：选B.设参赛选手共有n位,则总比赛场次为Cn2,即n(n-1)2由题意知,任意一场比赛结束,选手的总得分为2分,故所有选手总得分为n(n-1)分且为偶数,所以当n(n-1)=132,得n=12;当n(n-1)=134,n无整数解.所以n=12.【加练备选】有甲、乙2位女生和4位男生共6位同学排成一排,甲同学不能站在最左边,4位男生中恰有3位相邻的排法有__________种.

解析：将4位男生中相邻的3位捆绑看作一个整体,有A4若相邻的3位站在最左边,则满足题意的排法有A2若乙站在最左边,则满足题意的排法有A2若剩余的1位男生站在最左边,则满足题意的排法有A2所以满足题意的排法数共有24×(4+2+4)=240种.答案:240题型三分组分配、均分与不均分问题[典例4](1)(2023·哈尔滨模拟)某中学招聘了8名教师,平均分配给两个校区,其中2名语文教师不能分配在同一个校区,另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区,则不同的分配方案共有 ()A.18种 B.24种C.36种 D.48种解析：选C.由题意知,第一步将2名语文老师分到两个校区,有2种方法,第二步将3名数学老师分成2组,一组1人另一组2人,有C31种分法,然后再分到两个校区,共有C31A2(2)某研究机构采访了“一带一路”沿线20国的青年,让他们用一个关键词表达对中国的印象,使用频率前12的关键词为高铁、移动支付、网购、共享单车、一带一路、无人机、大熊猫、广场舞、中华美食、长城、京剧、美丽乡村.其中使用频率排前4的关键词“高铁、移动支付、网购、共享单车”也成为了他们眼中的“新四大发明”.若将这12个关键词平均分成3组,且各组都包含“新四大发明”关键词.则不同的分法种数为 ()A.1680 B.3360C.6720 D.10080解析：选B.先将“新四大发明”分成1,1,2三组,有C4再将余下的8个分成3,3,2三组,有C83(3)(2023·成都模拟)有甲、乙、丙三项任务,甲、乙各需1人承担,丙需2人承担且至少1人是男生,现有2男2女共4名学生承担这三项任务,不同的安排方法种数是__________.(用具体数字作答)

解析：①丙选择一名男生和一名女生:C21C21A2所以不同的安排方法种数是:10种.答案:10分组、分配问题是排列与组合的综合问题,解题思想是先分组后分配(1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组方法有三种:①完全均匀分组,每组元素的个数都相等;②部分均匀分组,应注意不要重复;③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题,常见的分配方法有三种:①相同元素的分配问题