河南省郑州外国语中学2025届高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

河南省郑州外国语中学2025届高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在区间上随机选取一个数，则满足的概率为()A． B． C． D．2．已知实数列-1,x,y,z,-2成等比数列,则xyz等于A．-4 B． C． D．3．圆心为且过原点的圆的一般方程是A． B．C． D．4．若函数，则（）A．9 B．1 C． D．05．如图，中，分别是边的中点，与相交于点，则（

）A． B．C． D．6．已知点在正所确定的平面上，且满足，则的面积与的面积之比为（）A． B． C． D．7．同时具有性质：①图象的相邻两条对称轴间的距离是；②在上是增函数的一个函数为（）A． B． C． D．8．在△中，点是上一点，且，是中点，与交点为，又，则的值为（）A． B． C． D．9．关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则的取值范围是（）A． B．C． D．10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c依次成等差数列，，，依次成等比数列，则的形状为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．钝角三角形 D．直角边不相等的直角三角形二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．涡阳一中某班对第二次质量检测成绩进行分析，利用随机数表法抽取个样本时，先将个同学按、、、、进行编号，然后从随机数表第行第列的数开始向右读（注：如表为随机数表的第行和第行），则选出的第个个体是______.12．在中，角A，B，C的对边分别为，若,则此三角形的最大内角的度数等于________．13．在平面直角坐标系中，在轴、轴正方向上的投影分别是、，则与同向的单位向量是__________．14．计算：________15．若，且，则的最小值为_______.16．的化简结果是_________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列满足，．（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求使不等式＜对一切恒成立的实数的范围．18．在中，内角，，所对的边分别为，，．若.（1）求角的度数；（2）当时，求的取值范围．19．已知的三个顶点为.（1）求过点且平行于的直线方程；（2）求过点且与、距离相等的直线方程.20．为了调查家庭的月收入与月储蓄的情况，某居民区的物业工作人员随机抽取该小区20个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，计算得：，，，，.（1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；（2）指出（1）中所求出方程的系数，并判断变量与之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为9千元，预测该家庭的月储蓄.21．已知函数，设其最小值为（1）求；（2）若，求a以及此时的最大值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

在区间上，且满足所得区间为，利用区间的长度比，即可求解．【详解】由题意，在区间上，且满足所得区间为，由长度比的几何概型，可得概率为，故选D．【点睛】本题主要考查了长度比的几何概型的概率的计算，其中解答中认真审题，合理利用长度比求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．2、C【解析】.3、D【解析】

根据题意，求出圆的半径，即可得圆的标准方程，变形可得其一般方程。【详解】根据题意，要求圆的圆心为，且过原点，且其半径，则其标准方程为，变形可得其一般方程是，故选．【点睛】本题主要考查圆的方程求法，以及标准方程化成一般方程。4、B【解析】

根据的解析式即可求出，进而求出的值．【详解】∵，∴，故，故选B.【点睛】本题主要考查分段函数的概念，以及已知函数求值的方法，属于基础题.5、C【解析】

利用向量的加减法的法则，利用是的重心，进而得出，再利用向量的加减法的法则，即可得出答案．【详解】由题意，点分别是边的中点，与相交于点，所以是的重心，则，又因为，所以故答案为C【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及三角形重心的性质，其中解答中熟记三角形重心的性质，以及向量的线性运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6、C【解析】

根据向量满足的条件确定出P点的位置，再根据三角形有相同的底边，确定高的比即可求出结果.【详解】因为，所以，即点在边上，且，所以点到的距离等于点到距离的，故的面积与的面积之比为.选C.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，三角形的面积，属于中档题.7、C【解析】由①得函数的最小正周期是，排除．对于B:，当时，，此时B选项对应函数是减函数，C选项对应函数是增函数，满足②，故选C．8、D【解析】试题分析：因为三点共线，所以可设，又，所以，，将它们代入，即有，由于不共线，从而有，解得，故选择D.考点：向量的基本运算及向量共线基本定理.9、C【解析】

首先将原不等式转化为，然后对进行分类讨论，再结合不等式解集中恰有3个整数，列出关于的条件，求解即可.【详解】关于的不等式等价于当时，即时，于的不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则；当时，即时，于的不等式的解集为，不满足题意；当时，即时，于的不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则；综上，.故选：C．【点睛】本题主要考了一元二次不等式的解法以及分类讨论思想，属于中档题．10、A【解析】

根据a，b，c依次成等差数列，，，依次成等比数列，利用等差、等比中项的性质可知，根据基本不等式求得a=c，判断出a=b=c，推出结果．【详解】由a，b，c依次成等差数列，有2b=a+c(1)由，，成等比数列,有(2)，由(1)(2)得，又根据，当a=c时等号成立，∴可得a=c，∴，综上可得a=b=c，所以△ABC为等边三角形.故选：A.【点睛】本题考查三角形的形状判断，结合等差、等比数列性质及基本不等式关系可得三边关系，从而求解，考查综合分析能力，属于中等题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、.【解析】

根据随机数法列出前个个体的编号，即可得出答案.【详解】由随机数法可知，前个个体的编号依次为、、、、、、，因此，第个个体是，故答案为.【点睛】本题考查随机数法读取样本个体编号，读取时要把握两个原则：（1）看样本编号最大数为几位数，读取时就几个数连着一起取；（2）不在编号范围内的号码要去掉，重复的只能取第一次.12、【解析】

根据大角对大边，利用余弦定理直接计算得到答案.【详解】在中，角A，B，C的对边分别为，若不妨设三边分别为：3,5,7根据大角对大边：角C最大故答案为【点睛】本题考查了余弦定理，属于简单题.13、【解析】

根据题意得出，再利用单位向量的定义即可求解.【详解】由在轴、轴正方向上的投影分别是、，可得，所以与同向的单位向量为，故答案为：【点睛】本题考查了向量的坐标表示以及单位向量的定义，属于基础题.14、【解析】

用正弦、正切的诱导公式化简求值即可.【详解】.【点睛】本题考查了正弦、正切的诱导公式，考查了特殊角的正弦值和正切值.15、【解析】

将变换为，展开利用均值不等式得到答案.【详解】若，且，则时等号成立.故答案为【点睛】本题考查了均值不等式，“1”的代换是解题的关键.16、【解析】原式，因为，所以，且，所以原式．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析，；（2）【解析】

（1）对递推式两边取倒数化简,即可得出，利用等差数列的通项公式得出，再得出；（2）由（1）得，再使用裂项相消法求出，使用不等式得出的范围，从而得出的范围．【详解】（1）∵，两边取倒数,∴，即，又，∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，∴，∴．（2）由（1）得，∴＝，要使不等式Sn＜对一切恒成立，则．∴的范围为:．【点睛】本题考查了构造法求等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题．18、（1）；（2）.【解析】

（1）根据余弦定理即可解决．（2）根据向量的三角形法则即可解决．【详解】（1）因为，所以得，所以，所以，因为所以；（2）取的中点，则，，所以所以，从而由平行四边形性质有故.【点睛】本题主要考查了余弦定理以及向量的三角形法则，其中第二问用了完全平方以及加减消元的思想，是本题的一个难点．解决本题的关键是画一个三角形结合三角形进行分析．19、(1)；(2).【解析】

（1）先由两点写出直线BC的方程，再根据点斜式写出目标直线的方程；（2）过点B且与直线AC平行的直线即为所求，注意垂直平分线不过点B，故舍去.【详解】（1）由、两点的坐标可得，因为待求直线与直线BC平行，故其斜率为由点斜式方程可得目标直线方程为整理得.（2）由、点的坐标可知，其中点坐标为又直线AC没有斜率，故其垂直平分线为，此直线不经过点B，故垂直平分线舍去；则满足题意的直线为与直线AC平行的直线，即.综上所述，满足题意的直线方程为.【点睛】本题考查直线方程的求解，属基础题.20、（1）；（2）正相关；（3）2.2千元.【解析】

（1）直接利用公式计算回归方程为：.（2）由（1），故正相关.（3）把代入得：.【详解】（1）∵，，样本中心点为：∴由公式得：把代入得：所求回归方程为：；（2）由（1）知，所求出方程的系数为：，，∵，∴与之间是正相关.（3）把代入得：（千元）即该居民区某家庭月收入为9千元时,预测该家庭的月储蓄为2.2千元.【点睛】本题考查了回归方程的计算和预测，意在考查学生的计算能力.21、（1）（2），【解析】

（1）利用同角三角函数间的基本关系化简函数解析式后，分三种情况、和讨论，根据二次函数求最小值的方法求出的最小值的值即可；（2）把代入到第一问的的第二和第三个解析式中，求出的值，代入中得到的解析式，利用配方可得