鲁教版初三(上)数学第70讲：旋转的应用(学生版)

旋转的应用____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.掌握旋转的定义；2.掌握旋转的应用.1.旋转：将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。其中，O叫做__________，转动的角度叫做__________。2.旋转性质⑴旋转后的图形与原图形_______⑵对应线段与O形成的角叫做旋转角⑶各旋转角都相等3.平移：将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。其中，该直线的方向叫做平移方向，该距离叫做平移距离。4.平移性质（1）平移后的图形与原图形全等（2）两个图形的对应边连线的线段_______（等于平行距离）（3）各组对应线段平行且相等5.中心对称与中心对称图形（1）中心对称：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形____________，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。其中，点O叫做对称中心.两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。（2）中心对称图形：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。其中，这个点叫做该图形的___________。6.轴对称与轴对称图形(1)轴对称：若两个图形沿着某条轴对折，能够________，则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。其中，这条轴叫做对称轴。注：轴对称的性质：①两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分（2）轴对称图形：若一个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。7.点的对称变换（1）关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于__________的对称点为P＇（-x，-y）（2）关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P＇（x，-y）（3）关于y轴对称的点的特征两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于__________的对称点为P＇（-x，y）（４）关于直线y＝x对称两个点关于直线y＝x对称时，横坐标与纵坐标与之前对换，即：P（x，y）关于直线y＝x的对称点为P＇（y，x）（5）两个点关于直线y＝-x对称时，横坐标与纵坐标与之前完全相反，即：P（x，y）关于直线y＝x的对称点为P＇（-y，-x）注：y＝x的直线是过一三象限的角平分线，y＝-x的直线是过二四象限的角平分线。1.旋转的定义【例1】下列是中心对称图形的有（）（1）线段；（2）角；（3）等边三角形；（4）正方形；（5）平行四边形；（6）矩形；（7）等腰梯形．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解析】根据中心对称图形的定义：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形进行判断即可.【答案】C练习1.下列文字中属于中心对称图形的有（）A．干 B．中 C．我 D．甲练习2.已知下列图形（1）矩形；（2）菱形；（3）等腰梯形；（4）等腰三角形．其中是轴对称图形，而不是中心对称图形的序号是（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（3）（4）2.轴对称和中心对称【例2】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ＡＢＡＢＣＤ【解析】根据轴对称和中心对称的定义判断即可。【答案】D练习3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ＡＢＡＢＣＤ练习4.在等边三角形、平行四边形、矩形和圆这四个图形中，即是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.坐标的对称【例3】点关于原点的对称点的坐标为 ．【解析】关于远点对称的坐标想x，y都取相反数即可。【答案】．练习5．已知点和点，则，两个点的位置关系是 ．练习6．点关于原点对称的点的坐标为（）A． B． C． D．4.对称图形的作法【例4】已知：如图．（1）画出，使与关于直线对称；（2）画出，使与关于点中心对称；（3）与是对称图形吗？若是，请在图上画出对称轴或对称中心．AＢAＢCDONM【解析】按要求作图，关于直线对称的两图形沿直线折叠完全重合，中心对称绕对称中心180°，图像完全重合。【答案】解：（1）如图，，就是所求的平行四边形．（2）如图，，就是所求的平行四边形．（3）是轴对称图形，对称轴是直线．ABABCDONMFE练习7．如图，每个小正方形的边长为个单位，对于，的位置，下列说法正确的是（）A．如果，则B．以为原点，右为正方向，上为正方向建立直角坐标系，则点在第一象限C．与的距离为两个单位长D．以为原点建立坐标系，的坐标为练习8.如图，三个顶点的坐标分别为，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，则点的坐标为（）A． B．C． D．ＯＤＯＤＣＢＡＥ5.图形的旋转【例5】如图，等边的边长为，顶点在轴上，边在轴上，请写出点的坐标___________．ＢＣＢＣＯＡ【解析】A和C点关于y轴对称，根据坐标的对称即可求出。【答案】，．练习9.下面的方格纸中，画出了一个“小猪”的图案，已知每个小正方形的边长为１．（1）“小猪”所占的面积为多少？（2）在上面的方格纸中作出“小猪”关于直线对称的图案（只画图，不写作法）；（3）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，小正方形的边长为单位长度建立直角坐标系，可得点的坐标是（，）．ABABCDＥＦG练习10．将图中的作下列运动，画出相应的图形，并指出三个顶点所发生的变化．（1）沿轴正方向平移3个单位；（2）关于轴对称；（3）绕点旋转．13136.旋转的应用【例6】如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连结DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在C，D的同侧．若则BE=______．【解析】根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解答．∵△ABC等腰直角三角形∴AC=BC，∵△ABD是等边三角形

∴BD=AD∴△ADC≌△BDC∴∠BCD=（360°-90°）÷2=135°又∵∠CBD=60°-45°=15°

∴∠CDB=180°-135°-15°=30°，∠BDE=60°-30°=30°∴CD=ED，∠CDB=∠BDE，BD=BD

∴△BCD≌△BED∴BE=CB=×sin45°=1∴BE=1．【答案】BE=1．练习11.如图，菱形的中心是坐标原点，且轴，点的坐标为，那么点的坐标为（）A． B．C． D．ＢＣＢＣＯＡＤ练习12.如图所示：中，，，是内的一点，且，，，求的度数．练习13.（2014湖北咸宁一模）如图①，已知是等腰直角三角形，，点是的中点．作正方形，使点、分别在和上，连接、．⑴试猜想线段和的数量关系，请直接写出你得到的结论．⑵将正方形绕点逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．⑶若，在②的旋转过程中，当为最大值时，求的值．1．下列现象属于旋转的是（）A．摩托车在急刹车时向前滑动; B．拧开自来水水龙头C．运动过程中篮球的滚动 D．空中下落的物体2．（2014江苏无锡一模）如图，绕点逆时针旋转到的位置，已知，则等于（）A．B．C．D． 3．如图1所示，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是 ()A．30° B．60° C．72° D．90°图1图14．如图2，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心()．A．顺时针旋转60°得到 B．顺时针旋转120°得到C．逆时针旋转60°得到 D．逆时针旋转120°得到图2图25．（2014辽宁葫芦岛一模）如图3，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是()．图3图36．（2014湖北咸宁一模）如图，在Rt△ABC中，，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接，下列结论：①△≌△；②△∽△；③；④其中正确的是（）A．②④；B．①④；C．②③；D．①③．7．（2014云南西双版纳一模）P是等边内部一点，、、的大小之比是5:6:7，所以PA、PB、PC的长为边的三角形的三个角的大小之比是.图8图88．如图9，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到的正方形EFCG,EF交AD于点H,那么DH的长为______。图9图99．如图10所示，△ABP是由△ACE绕A点旋转得到的，那么△ABP与△ACE是什么关系？若∠BAP＝40°，∠B＝30°，∠PAC＝20°，求旋转角及∠CAE、∠E、∠BAE的度数。图10图1010．如图11，在平面直角坐标系中，先把梯形ABCD向左平移6个单位长度得到梯形A1B1C1D1(1）请你在平面直角坐标系中画出梯形A1B1C1D1(2）以点C1为旋转中心，把（1）中画出的梯形绕点C1顺时针方向旋转得到梯形A2B2C2D2，请你画出梯形A2B2C2D2图11图1111．如图12在ABC中，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC边上两点，且ED⊥FD，你能说明BE+CF>EF的道理吗?ACACBDFE图1212．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．(1）画出向平移4个单位后的；(2）画出绕点顺时针旋转后的，并求点旋转到所经过的路线长．图13图1313.探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.如果一个图形是中心对称图形，那么对称点的连线段被________平分，对应线段________且________．2.已知三点不在同一直线上，关于点对称．关于点对称，那么线段与__________．3.正方形是中心对称图形，它绕它的中心，旋转一周和原来的图形重合________次．4.正方形是中心对称图形，对称中心是________，正方形也是轴对称图形，共有_______条对称轴．5.一条线段是轴对称图形，因为_______是它的对称轴；它又是中心对称图形，它的对称中心是________．6．等边三角形至少旋转__________度才能与自身重合。7．如图5，四边形为正方形，为正方形外一点，经过旋转后到达的位置，那么旋转中心是，旋转角是度。图5图58．分析图6中①,②,④中阴影部分的分布规律，按此规律在图③中画出其中的阴影部分图6图69．如图7，△ABC绕点B逆时针方向旋转到△EBD的位置，若∠A＝15°，∠C＝10°，E，B，C在同一直线上，则∠ABC＝________，旋转角度是________图7图710.如图，下列对图形判断正确的是（）A．非对称图形B．既是轴对称图形，又是中心对称图形C．是轴对称图形，非中心对称图形D．是中心对称图形，非轴对称图形11.你玩过扑克牌吗？你仔细观察过每张扑克牌的图案吗？请你指出图案是中心对称图形的一组为（）A．黑桃6与黑桃9 B．红桃6与红桃9C．梅花6与梅花9 D．方块6与方块912.在下列几何图表中：①两条互相平分的线段；②两条互相垂直的直线；③两个有公共顶点的角；④两个有一条公共边的正方形．其中是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13.经过矩形对称中心的任意一条直线，把矩形分成面积分别为的两部分，则（）A． B．C． D．与的关系由直线的位置确定14.和关于点对称，下列结论不正确的是（）A． B．C． D．15.下列说法正确的是（）A．会重合的图形，一定是轴对称图形