2025版高考数学一轮总复习考点突破第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算

第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算考点一平面向量的基本概念例1【多选题】如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是（ABC）A.AB=OC B.AB//DE C.解：由正六边形的结构特征，知AB与OC方向相同，长度相等，所以AB=OC，故AAB与DE方向相反，所以AB//DE，故B由正六边形的性质，知AD=BE，故CAD与FC不共线，所以不相等，故D错误.故选ABC.【点拨】准确理解向量的概念，请特别注意以下几点:①a//b，有a与b方向相同或相反两种情形.②向量的模与数的绝对值有所不同，如a=b⇏a=±b.③零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行.④对于任意非零向量a，aa是与a同向的单位向量，这也是求单位向量的方法.变式1（1）下列命题正确的是（B）A.任一向量与它的相反向量都不相等B.长度相等、方向相同的两个向量是相等向量C.平行且模相等的两个向量是相等向量D.若a≠b解：零向量与它的相反向量相等，A错误.由相等向量的定义，知B正确.两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，例如，在平行四边形ABCD中，AB//CD，且AB=CD，但AB≠CD，故C错误.a≠b，（2）在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，则在如图所示的向量中，相等向量有（AA.1组 B.2组 C.3组 D.4组解：由相等向量的定义,可知题图中只有一组向量相等，即CE=EA.故选考点二平面向量的线性运算命题角度1向量加、减法的几何意义例2已知单位向量e1，e2，⋯,e2024，则e1+解：当单位向量e1，e2，⋯,e2024方向相同时，e当单位向量e1，e2，⋯,e2024首尾相连时，则e1+e故填2024；0.【点拨】运用三角形法则时，注意向量三角不等式a-b≤a±b≤a|+|变式2在四边形ABCD中，若AC=AB+AD，且|ABA.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形解：因为AC=AB+AD，所以四边形ABCD为平行四边形.因为AB+AD=AB-AD，所以AC=命题角度2平面向量的线性运算例3如图，在平行四边形ABCD中,AB=4FC，BE=2EC，A.16 B.-16 C.-解：由题意，可得AE=AB+BE=AB+23BC=AB【点拨】①平面向量的线性运算除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何性质，将未知向量转化为已知向量来求解.②求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，通过向量相等或平行得到含参系数的方程，进而求参数的值.变式3（1）[2022年新课标Ⅰ卷]在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记CA=m，CDA.3m-2n B.-2m解：如图，因为CD=CA+AD=CA+12DB=（2）如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则AB=（DA.AC-AD B.2AC-2AD解：因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以CD//AB，且AB=2CD.所以AB考点三向量共线定理及应用命题角度1向量共线问题例4已知a，b是两个不共线的平面向量，向量AB=λa+b，ACA.λ+μ=2 B.λ-μ解：由AB//AC，设因为AB=λa+b，AC=a-μbλ,μ【点拨】a//b⇔b=λaa≠0是判断两个向量共线的主要依据，注意待定系数法和方程思想的应用.若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0.对于向量共线定理，当变式4（1）已知向量a,b不共线，若ka-b与a+2A.-1 B.-12 解：因为ka-b与a+2b共线，所以k=λ,2λ=-1,已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a+b与c共线，且b+c与a解：依题意，设a+b=mc，b+c=na，则有(a+b)-b+c=mc-n命题角度2三点共线问题例5（1）设a，b是不共线的两个平面向量，已知PQ=a+kb，QR=2a-b.若A.-12 B.12 C.解：若P，Q，R三点共线，则PQ→=λQR→⇒a+（2）已知PA=23PB+tPC，若A,BA.23 B.25 C.1解：因为PA=23PB+tPC，且A，B，C三点共线，所以23+t=1.解得t=13，【点拨】三点共线问题可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线.变式5（1）设a,b是不共线的两个向量，已知BA=a+2b,BCA.A，B，D三点共线 B.B，C，D三点共线C.A，B，C三点共线 D.A，C，D三点共线解：因为BA=a+2b，BC=4a-4b，CD=-a+2b，所以AC=AB+BC=3a-6b=-3（2）已知△A