第一章《直线与方程》同步单元必刷卷（培优卷）-高二数学精讲高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）（解析版）

第第页第一章《直线与方程》同步单元必刷卷（培优卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．直线的倾斜角（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由直线方程得出斜率，再由斜率得直线倾斜角.【详解】由可得直线斜率，又，所以.故选：B2．已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．或C． D．【答案】A【分析】由题意，作图，利用已知两点坐标计算斜率，可得答案.【详解】

由，则直线的斜率，由，则直线的斜率，由图可知，，解得.故选：A.3．下列说法正确的是（

）A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4B．直线的横截距为1C．过，两点的直线方程为D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为【答案】D【分析】利用代入法，结合截距的意义、直线平移的特征、直线两点式的特征逐一判断即可.【详解】对选项A，直线，当时，，当时，，所以与两坐标轴围成的三角形的面积，故A错误.对选项B，令，得，则横截距为，故B错误.对选项C，当或时，直线方程无意义，故C错误.对选项D，由题知：直线方程斜率存在，设直线方程为，直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则，所以，解得，故D正确.故选：D4．直线，若，则实数的值为（

）A．0 B．3 C．0或 D．0或3【答案】C【分析】根据直线垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】因为，，所以，即，解得或.故选：C.5．直线与直线相交，则实数k的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．且【答案】D【分析】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解作答.【详解】因直线与直线相交，则，即，解得且，所以实数k的值为且.故选：D6．已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先对所求式子配方整理，把问题转化为，求直线上一点，到直线同侧的两点间的距离之和的最小值，就是将军饮马求最值问题，先对其中一点作关于直线的对称点，进一步把问题转化为，求两点间的距离，求解即可.【详解】该式子是表示点到点、点的距离之和，又，上述式子表示直线上的点到点、点的距离之和的最小值（如图）.

设点关于直线的对称点为，则有，解得，即，所以，所以直线上的点到点、点的距离之和的最小值为.故选：D.7．已知点，，，直线将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得直线（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b；②若点M在点O和点A之间，求得b；③若点M在点A的左侧，求得b＞1．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为1，由于直线与x轴的交点为M，由直线将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，故0，故点M在射线OA上．设直线和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为，①若点M和点A重合，如图：则点N为线段BC的中点，故N（，），把A、N两点的坐标代入直线，求得a＝b．②若点M在点O和点A之间，如图：此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即，即，可得a0，求得b，故有．③若点M在点A的左侧，则，由点M的横坐标1，求得b＞a．设直线和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为，此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即，即，化简可得．由于此时b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2．两边开方可得1，∴，化简可得，故有1．综上可得b的取值范围应是，故选：B．8．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（

）A． B． C．3 D．6【答案】D【分析】根据动直线方程求出定点的坐标，并判断两动直线互相垂直，进而可得，最后由基本不等式即可求解.【详解】解：由题意，动直线过定点，直线可化为，令，可得，又，所以两动直线互相垂直，且交点为，所以，因为，所以，当且仅当时取等号.故选：D.多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．在下列四个命题中，正确的是（

）A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大【答案】AB【分析】根据倾斜角和斜率的关系逐项判断即可.【详解】当时，其斜率，所以A正确；根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角时，直线的斜率为，所以B正确；若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为，且.，故C不正确；直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确；故选：AB.10．已知直线，动直线，则下列结论正确的是（

）A．不存在，使得的倾斜角为90° B．对任意的，直线恒过定点C．对任意的，与都不重合 D．对任意的，与都有公共点【答案】BD【分析】对A，令即可判断正误；对B，化简直线方程，根据定点满足的系数为0，且满足方程即可；对C，令即可判断正误；对D，根据B可得过定点判断即可【详解】对A，当时，，符合倾斜角为90°，故A错误；对B，，解可得，故过定点，故B正确；对C，当时，，显然与重合，故C错误；对D，过定点，而也在上，故对任意的，与都有公共点，故D正确；故选：BD11．已知直线，，则（

）A．恒过点 B．若，则C．若，则 D．当时，不经过第三象限【答案】BD【分析】对于A，由直接求解即可；对于BC，根据，时系数系数间的关系解决即可；对于D，分类讨论即可.【详解】对于选项A：直线的方程可化为：，令得：，所以直线恒过点，故选项A错误，对于选项B：若时，显然不平行，若时，显然不平行，所以若，则，且，解得，故选项B正确，对于选项C：若，则，解得，故选项C错误，对于选项D：若直线不经过第三象限，当时，直线，符合题意，当时，则，解得，综上，，故选项D正确，故选：BD.12．设直线与，则（

）A．当时， B．当时，C．当时，l、n间的距离为 D．坐标原点到直线n的距离的最大值为【答案】ACD【分析】利用直线平行、垂直的判定判断A、B；由直线平行求参数a，再代入验证，进而应用平行线距离公式求距离，由点线距离公式和二次函数性质求原点到直线n的距离最值，即可判断C、D.【详解】A：时，，，易知，正确；B：时，，，则，故不成立，错误；C：时，，则，可得或，当时，，，两线重合，排除；所以，由A知：它们的距离，正确；D：坐标原点到直线n的距离，故时，正确.故选：ACD填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，若直线与直线的斜率分别为和，则点的坐标为．【答案】【分析】根据直线的斜率列方程，由此求得点的坐标.【详解】设，显然，则，解得，所以.故答案为：14．已知两点，则线段的中垂线的方程为.【答案】.【分析】先求出线段的中点坐标和直线的斜率，然后由垂直关系可求出线段的中垂线的斜率，从而可求出所求直线的方程【详解】因为，所以线段的中点坐标为，线段所在直线的斜率为，所以线段的中垂线的斜率为，所以线段的中垂线的方程为，即，故答案为：15．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值．【答案】9【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可；【详解】由题意，动直线过定点，直线可化为，令，可得，又，所以两动直线互相垂直，且交点为P，所以，因为，所以，当且仅当时取等号．【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点.16．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”．又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有；②已知点P（3，1）和直线，则；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．其中正确的序号为．【答案】①②③【详解】其中①③的讨论见后文．②设点Q是直线上一点，且，则．由，解得，即有，当时，取得最小值；由，解得或，即有，此时的范围是，无最值．故P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为．综上，①②③正确．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知直线和直线.(1)当时,求的值;(2)在（1）的条件下,若直线,且过点,求直线的方程【答案】(1)(2)【分析】(1)根据两直线垂直的性质列出方程,求出即可;(2)由(1)中的值,可得直线的方程,根据,设出的方程,将点代入即可求得结果.【详解】（1）解:由题知,,,,解得:;（2）由(1)知,,即,,设,将代入中可得:,故,即.18．已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x-2y+2=0上.(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；(2)求△ABC的面积.【答案】(1)(2)2【分析】（1）由题意可知，为的中点，，利用斜率计算公式、点斜式即可得出．（2）由得，利用两点之间的距离公式、三角形面积计算公式即可得出．【详解】（1）解：由题意可知，为的中点，因为，，所以，，所以，所在直线方程为，即．

（2）解：由解得，所以，所以平行于轴，平行于轴，即，，．19．过点作直线分别交，的正半轴于，两点．

(1)求面积的最小值及相应的直线的方程；(2)当取最小值时，求直线的方程；(3)当取最小值时，求直线的方程．【答案】(1)，此时直线的方程为．(2)(3)【分析】（1）设，，，则直线的方程为，依题意可得，利用基本不等式求出的最小值，即可得解；（2）由（1）可知，利用基本不等式求出的最小值，即可求出此时、的值，从而求出直线方程；（3）依题意直线的斜率存在且，设直线，分别求出，的坐标，求出的方程，根据基本不等式的性质求出直线方程即可．【详解】（1）依题意设，，，设直线的方程为，代入得，所以，则，当且仅当，即、时取等号，从而，当且仅当，即、时取等号，此时直线的方程为，即，所以，此时直线的方程为．（2）由（1）可得，所以，当且仅当，即，时取等号，此时直线的方程为，即．（3）依题意直线的斜率存在且，设直线，令，解得，令，解得，所以，，则，当且仅当，即，即时，取最小值，此时直线的方程为．20．在平面直角坐标系中，已知射线：，射线：（），过点作直线分别交射线、于、点．(1)当的中点为时，求直线的方程；(2)当线段的中点在直线上时，求直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）设，，由为线段的中点可得，解出点坐标利用两点式求直线方程即可；（2）设，，将线段的中点为代入解出的关系，再利用在直线上即可解出直线的直线方程.【详解】（1）设，，因为线段的中点为，所以，解得，所以,所以直线的方程为，即．（2）设，，线段的中点为在直线上，所以，解得，又直线过点，所以．所以直线的方程为．21．在直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线OA、x轴正半轴于点A、B．(1)当AB的中点为P时，求直线AB的两点式方程；(2)求△OAB面积的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用中点坐标公式分别求得，，再代入直线的两点式方程即可解决；（2）先求得过点的直线斜率不存在时△OAB的面积，再求得过点的直线斜率存在时△OAB的面积的最小值，二者进行比较即可求得△OAB面积的最小值．【详解】（1）由题意，设，，且．当AB的中点为P时，有解得，，所以，．所以直线AB的方程为．（2）当过点的直线斜率不存在时，，，此时．当过点的直线斜率存在时，设直线AB的方程为．直线AB与相交，可得，直线AB与x轴正半轴相交于B，可得．由，可得或那么．令，则，或则，由，或，可得或，当，即，时，即，则，此时，符合题意．综上，．22．已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点.(1)已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值；(2)已知点､点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标；(3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，利用夹角公式及基本不等式求最值，即可得到，的夹