第五章《导数及其应用》同步单元必刷卷（基础卷）-高二数学精讲高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）（解析版）

第第页第五章《导数及其应用》同步单元必刷卷（培优卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．函数的图象在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求得，结合导数的几何意义，即可求解.【详解】由函数，可得，所以且，所以所求切线方程为，即.故选：B.2．点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用导数的几何意义及点到直线的距离计算即可.【详解】因为，当时，，单调递增；当时，，单调递减．由，所以，易得函数为在上单调递增函数，为零点，此时M的坐标为，由点到直线的距离公式可得M到直线的距离的最小值为.故选:3．已知定义在上的函数的导函数为，若，，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，构造函数，由函数的单调性即可得到结果.【详解】根据题意，令，，，则函数在上单调递增，又，所以不等式，即，即为，即变形为，即得，，解得.所以不等式的解集为.故选：A.4．已知函数在处取得极值0，则（

）A．2 B．7 C．2或7 D．3或9【答案】B【分析】求导得到导函数，根据题意得到且，解得答案并验证即可.【详解】，，根据题意：，，解得或，当时，，函数单调递增，无极值点，舍去.当时，，在和时，，函数单调递增；在时，，函数单调递减，故函数在出有极小值，满足条件.综上所述：.故选：B.5．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分别讨论，，时的零点个数，求出恰有两个零点时实数的取值范围即可.【详解】，①当时，令，解得，若在有零点，则，解得，即当时，在有一个零点；②当时，令，解得，若在有零点，则，解得，即当时，在有一个零点；③当时，令，即，令，则，令，得，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，，当时，方程有一个实数根，即函数在有一个零点，当时，方程有两个实数根，即函数在有两个零点，综上所述，当时，函数无零点；当时，函数在有一个零点；当时，函数在和分别有一个零点，即有两个零点；当时，函数在有一个零点；当时，函数在和分别有一个零点，即有两个零点；当时，函数在有一个零点，在有两个零点，即有三个零点.函数恰有两个零点，实数的取值范围是.故选：D.6．设函数的导数为，且为偶函数，，则不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造，求得导数，判断的单调性，结合的奇偶性，可得所求结论.【详解】设，则，可得在上递增，又为偶函数，则，，，，由，可得，即有.故选：B.【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.7．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，先判断在和上的单调性和最值，再作出函数的大致图象，将函数的零点问题转化为方程根的问题，从而数形结合得结果.【详解】当时，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且，当时，．当时，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且．作出函数的大致图象，如图所示，由图象可知，是函数的零点，要使函数有两个不同的零点，则方程有两个不相等的实数根，等价于有1个非零实数根.由图可知或或，即.故选：C．【点睛】此类问题的常用解法是将函数的零点问题转化为方程根的问题，利用数形结合法得到结果，需要会熟练应用导数判断单调性、求最值并作出函数的大致图象.8．已知函数（）有两个不同的零点，（），下列关于，的说法正确的有（

）个①

②

③A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】令，判断的单调性结合得到，，进而有，，两式作差可判断①；根据得到可判断②；将得到的两式相加，再利用换元法可判断③.【详解】（）有两个不同的零点，，且，即，是方程的两个不同的根，令，，易知，，在单调递增，时，，时，，，，，，对于①，两式作差得，，整理得，，，即，故①正确；对于②，，且，，，即，，故②正确；对于③，，，两式相加得，，整理得，，即，，即，令，则，整理得，即，时，，时，，，即，故③正确.故选：D.多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则下列说法正确的是（

）A．函数为偶函数 B．的图象关于直线对称C． D．【答案】ABD【分析】根据偶函数的定义可判定A，利用抽象函数的对称性、周期性可判定B、C、D.【详解】因为，所以，所以函数为偶函数，故A正确；因为，两边求导得.令，得.因为，所以，所以，，所以，即，所以的图象关于直线对称，故B正确；因为，又，所以，所以，所以是周期为4的周期函数，所以，故C错误；因为，所以，所以，所以，又，所以，故D正确.故选：ABD.10．若函数，在区间上单调，则实数m的取值范围可以是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用导数求出函数的单调区间，在结合题意即可得解.【详解】，令，得，令，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为，因为函数在区间上单调，所以或，解得或.故选：AC.11．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．若恒成立，则B．当时，有两个零点C．若函数有两个不同的零点，则D．当时，，则正数的取值范围是【答案】AC【分析】对A、B：根据导数的几何意义，利用切线数形结合处理恒成立和零点问题；对C：根据题意分析整理可得，若证，则证，构建新函数结合导数证明；对D：根据指对同构可得：，结合单调性分析可得恒成立，结合导数处理恒成立问题.【详解】对A、B：对于函数，则，设切点坐标为，则切线斜率，故切线方程为，若切点过原点，则，解得，此时，则有：当，即时，则，即恒成立；当，即时，则与有两个零点；故A正确，B错误；对C：若函数有两个不同的零点，则，整理可得，消去得：，不妨设，则，若证，等价于，等价于，令，则，令，则当时恒成立，故在上单调递增，则，故在上单调递增，则，故，即，C正确；对D：当时，则，即，则，∵在定义域内单调递增，则，∴恒成立，令，则，令，则，故在上单调递减，在上单调递增，则，∴，解得，故正数的取值范围是，D错误.故选：AC.12．函数，则下列说法错误的有（

）A．函数有唯一零点B．函数的极大值小于1C．D．【答案】BD【分析】计算零点得到A正确，求导得到函数得到单调区间，计算极大值为，举反例，，计算得到B错误，根据函数的单调性得到函数图像，根据图像得到C正确，D错误，得到答案.【详解】，函数定义域为，，对选项A：，则，正确；对选项B：取得到，设，恒成立，函数在单调递减，，当趋近时，趋近，故方程有唯一解，，满足，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.故函数有极大值为，取，则，，错误；对选项C：，单调递减，单调递增，且.故函数单调递减，画出函数图像，如图所示：

根据图像知：，正确；对选项D：根据C选项知D错误.故选：BD.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点在函数上，若满足到直线的距离为的点有且仅有两个，则实数的取值范围是.【答案】【分析】求得，设切点，令，求得切点，求得点到直线的距离为时，，求得的值，结合图象，即可求解.【详解】由函数，可得，设切点，令，即，解得，即切点所以点到直线的距离为时，，解得或，当时，函数图象与直线不相交（如图所示），从而函数的图象上只有一点到直线的距离为；当时，函数图象与直线相交（如图所示），从而函数的图象上有且仅有三个点到直线的距离为，综上，要满足点到直线的距离为的点有且仅有两个时，满足，即实数的取值范围为.故答案为：.14．“当时，函数在区间上单调递增”为真命题的的一个取值是．（写出符合题意的一个值即可）【答案】0（答案不唯一，1或2也可）【分析】根据导数与函数单调性的关系进行求解.【详解】因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立.因为，所以.为使在区间上恒成立，则有.因为，所以或或.故答案为：015．已知是函数的极大值点，则的取值范围是.【答案】【分析】根据题意，求得，分、、和，四种情况讨论，结合函数的单调性与极值点的定义，即可求解.【详解】由函数，可得，①若时，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，此时时，函数取得极小值，不符合题意；②若时，令，可得，此时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，此时时，函数取得极小值，不符合题意；③若时，令，单调递增，没有极值点，不符合题意；④若时，令，可得，此时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，此时时，函数取得极大值，符合题意，综上可得，实数的取值范围为.故答案为：.16．已知函数（其中a为常数）有两个极值点，若恒成立，则实数m的取值范围是.【答案】【分析】对函数求导后，由题意可得，是关于x的方程的两个不等的正实根，则得，，则，令，然后利用导数求出其最小值即可.【详解】.若有两个极值点为，则，是关于x的方程的两个不等的正实根.由，及方程根的情况，得，则，.又，所以，要使恒成立，只需恒成立.又，令，则，当时，，为减函数，所以当时，.由题意，要使恒成立，只需满足.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数．(1)若，求在处的切线方程；(2)若方程有且仅有一个实数根，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）对函数求导数，求出在点处的斜率，最后求切线方程即可；（2）方程有且仅有一个实数根，等价于只有一个交点，利用函数导数求出极值，再结合图像求出的取值范围即可.【详解】（1）当时，，则，所以切线的斜率为，又，所以在处的切线方程为，即.（2）若方程有且仅有一个实数根，即有一根，即两个函数图像只有一个交点，由，令，则或，所以在和上单调递增，令，则，所以在上单调递减，所以的极大值为，极小值为，如图所示：由图可知，当或时，两个函数图像只有一个交点，故方程有且仅有一个实数根，实数a的取值范围为.18．已知函数，．(1)若函数在R上单调递减，求a的取值范围；(2)已知，，，，求证：；(3)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由函数单调递减得恒成立，分离参数法可得；（2）利用导数得函数单调性，由单调性证明不等式即可；（3）利用（2）结论，逐个赋值后累加法可证.【详解】（1）对恒成立，即对恒成立．因为，则．（2），只需证明．令，，则在单调递减，则，又，则，即成立，得证．（3）由（2）知，令，则有，即，，，…，，累加可得，故，从而命题得证．19．已知函数．(1)当时，求的最小值；(2)若，判断的零点个数．参考数据：，．【答案】(1)1(2)零点个数为2【分析】（1）先求导数，判断函数的单调性，结合单调性可得最小值；（2）利用导数判断函数单调性，结合零点存在定理可得零点个数.【详解】（1）当时，，则，易知单调递增，且，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以．（2）由题，，又，所以单调递增，因为，所以存在唯一的，使，且当时，单调递减，当时，单调递增．又，所以在内有1个零点．令，则，令，则．所以单调递增，，所以单调递增，，即，故在内有1个零点．综上，当时，的零点个数为2．【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个，一是利用所给值判断区间端点值的符号，二是结合零点存在定理判断零点个数.20．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，设分别为的极大值点、极小值点，求的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2).【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论导函数值的正负即可得解.（2）由（1）求出函数的极大值与极小值，求出极大值与极小值的差，构造函数并求出其范围即得.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，当时，单调递增；当时，令，解得或，则当时，由，得，由，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减；当时，由，得，由，得，因此在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，由（1）知，，，因此，设，求导得，函数在上单调递增，，所以的取值范围是.21．已知，它们的图象在处有相同的切线．(1)求与的解析式；(2)若在区间上存在单调递增，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义结合题意可得，进而可得出答案；（2）由题意不等式在上有解，分离参数可得，构造函数，利用导数求出其最大值即可.【详解】（1），由题意可得，代入可得，解得，所以；（2），则，因为在区间上存在单调递增，所以不等式在上有解，即在上有解，令，则即可，，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以，所以，解得.22．已知函数，其中为实数.(1)若函数是定义域上的单调函数，求的取值范围；(2)若与为方程的两个不等实根，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用导数研究函数单调性，分类讨论函数是定义域上的单调函数的条件；（2）根据方程解出两个不等实根与，有，所以，令，构造函数，利用导数求函数单调性，通过的取值范围求的取值范围