第二章《圆与方程》同步单元必刷卷（基础卷）-高二数学精讲高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）（解析版）

第第页第二章《圆与方程》同步单元必刷卷（基础卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．一、单选题1．若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求解的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程.【详解】圆经过点，，可得线段的中点为，又，所以线段的中垂线的方程为，即，由，解得，即，圆的半径，所以圆的方程为.故选：A.2．直线被圆截得的弦长为整数，则满足条件的直线l的条数为（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】A【分析】圆C的圆心为，直线l过定点，故直线l被圆C截得的弦长范围为，结合圆的对称性，再排除斜率不存在的直线l的情况即可求【详解】圆的圆心为，直线l化为，则直线l过定点，∵，故直线l被圆C截得的弦长范围为，由圆的对称性，故整数弦长的直线条数为11条.又过定点且垂直于x轴的直线，即，被圆截得的弦长为，不合题意，故所求直线l的条数为10条.故选：A3．已知圆的半径为，圆心在直线上．点，．若圆上存在点，使得，则圆心的横坐标的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设圆心，表示出圆，设，依题意可得，将问题转化为两圆有交点求出参数的取值范围.【详解】依题意设圆心，则圆：，设，由，则，即，依题意即圆与圆有交点，则，解得，即圆心的横坐标的取值范围为.故选：B4．已知圆上至多有一点到直线的距离为1，则实数m的取值可以是（

）A．0 B．1 C．5 D．7【答案】B【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可.【详解】解：圆，即，圆心为，半径，则圆心到直线的距离，因为圆上至多有一点到直线的距离为，所以，即且，解得，故符合条件的只有B.故选：B5．已知圆O的直径，动点M满足，则点M的轨迹与圆O的相交弦长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，由距离公式化简整理可得点M的轨迹，两圆相减得公共弦直线方程，利用几何关系即可求出弦长.【详解】由题意，以线段AB的中点O为原点，以直线AB为x轴，建立平面直角坐标系，可设，，明显，圆O的半径为2，其方程为：①，设动点，由，从而有，化简得：，即②，由可得相交弦的方程为：，圆心到距离，所以公共弦长为.

故选:A.6．经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】当所求圆的直径就是圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小．然后将结合图形求解圆心和半径即可求解；【详解】

由题可知，当所求圆的直径就是圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小．圆，即圆，所以圆心坐标为，半径为3，弦心距，弦长为，则所求圆的半径为2,接下来求解所求圆的圆心位置P：所以，过圆的圆心和直线垂直的直线方程为：，即．最小圆的圆心为与直线的交点，解方程组可得，所求面积最小的圆方程为．故选：C．7．已知，点P为直线上的一点，点Q为圆上的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，可得M点的坐标为，则，即可得答案.【详解】设，令，则，则M.如图，当三点共线时，且垂直于直线时，有最小值，为，即直线到点M距离，为.故选：D8．在平面直角坐标系中，为原点，已知，设动点满足，动点满足，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】根据题意可得点在圆内部和圆周上，点的轨迹是以的直径的圆，延长交圆于点，设的中点为，的中点为，则，易得，再结合平面图形的性质和基本不等式即可得出答案.【详解】因为，设动点满足，所以点在圆内部和圆周上，因为动点满足，所以点的轨迹是以的直径的圆，如图，延长交圆于点，设的中点为，的中点为，则，若点在圆上时，两点重合，两点重合，若点在圆内时，则，所以，当且仅当点在圆上时，取等号，则，当且仅当三点共线时，取等号，因为，当且仅当重合时，取等号，因为，所以，所以，当且仅当时，取等号，此时，所以，当且仅当三点共线且点在圆与轴的交点处时，取等号，所以的最大值为.故选：C.多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．设有一组圆，下列说法正确的是（

）A．这组圆的半径均为1B．直线平分所有的圆C．存在直线被所有的圆，截得的弦长相等D．存在一个圆与x轴和y轴均相切【答案】ABC【分析】由圆的方程可得圆心及半径，利用圆的性质即可判断.【详解】对A：圆的圆心，半径，故这组圆的半径均为1，A正确；对B：∵，即圆心在直线上，故直线平分所有的圆，B正确；对C：由选项B可得：圆心在直线上，此时直线与圆截得的弦长均为直径，故弦长均为，故存在直线被所有的圆，截得的弦长相等，C正确；对D：圆与x轴和y轴均相切，则，该方程无解，故不存在一个圆与x轴和y轴均相切，D错误；故选：ABC.10．已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（

）A．直线恒过定点 B．直线被圆截得的弦最长时，C．直线被圆截得的弦最短时， D．直线被圆截得的弦最短弦长为【答案】ABC【分析】对于A：根据直线过定点分析判断；对于B、C、D：根据题意结合圆的性质运算求解.【详解】对于选项A：直线的方程可化为，令，解得，所以直线恒过定点，故A正确；对于选项B：因为，即点在圆内，当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，此时，解得，故B正确；对于选项C：当直线时，直线被圆截得的弦长最短，直线的斜率为，，由，解得，故C正确；对于选项D：此时直线的方程是，圆心到直线的距离为，可得，所以最短弦长是，故D错误．故选：ABC．11．已知圆和圆分别是圆，圆上的动点，则下列说法错误的是（

）A．圆与圆相交B．的取值范围是C．是圆与圆的一条公切线D．过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得【答案】AC【分析】利用两圆的位置关系可判断AB；求出外公切线可判断C；根据四边形为正方形，可判断D.【详解】对于A选项，由题意可得，圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径，因为两圆圆心距，所以两圆外离，故A错误；对于B选项，的最大值等于，最小值为，故B正确；对于C选项，显然直线与直线平行，因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线，设外公切线为，则两平行线间的距离为2，即，故，故C错误；对于D选项，易知当时，四边形为正方形，故当时，，故D正确.故选：AC．12．已知点，圆C：，点P是圆C上的一点，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．的最小值为C．设线段PA的中点为Q，则点Q到直线的距离的取值范围是D．过直线上一点T引圆C的两条切线，切点分别为M，N，则的取值范围是【答案】AD【分析】由圆的方程，设圆上一点，判断A，B，C的正误，数形结合，得，判断D的正误.【详解】设，对于A，，故A正确；对于B，，，所以，所以当，即P点为时，，故B错误；对于C，，所以点Q到直线的距离，故C错误；对于D，如图所示，，又CMTM，CNTN，所以，，所以，所以，所以，故D正确．故选：AD．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知圆的面积为，则．【答案】【分析】根据圆的一般方程得出圆的半径，然后根据已知列出方程，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，圆的半径.所以，圆的面积为，所以，，解得.故答案为：.14．已知直线被圆截得的弦长为，则的值为.【答案】1【分析】利用圆心到直线的距离，通过勾股定理列方程求解即可.【详解】依题意可得圆心，半径，则圆心到直线的距离，由勾股定理可知，，代入化简可得，且，解得．故答案为：．15．若对于圆上任意的点，直线上总存在不同两点，，使得，则的最小值为.【答案】10【分析】将问题转化为直线上任意两点为直径的圆包含圆，结合直线上与圆最近的点，与圆上点距离的范围，即可确定的最小值.【详解】由题设圆，故圆心，半径为，所以到的距离，故直线与圆相离，故圆上点到直线的距离范围为，圆上任意的点，直线上总存在不同两点、，使，即以为直径的圆包含圆，至少要保证直线上与圆最近的点，与圆上点距离最大值为半径的圆包含圆，所以.故答案为：1016．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上的点均满足，则实数的取值范围是．【答案】或【分析】将条件坐标化，先转化为恒成立，即圆上所有动点到定点距离的最小值大于，再转化为与圆心距离的不等关系求解可得.【详解】设，由点，即点满足，即，设点，即恒成立则，圆上所有点到定点最小值大于，又圆，半径为，圆上所有点到定点最小值即为：..即，化简得，解得或.故答案为：或.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．求下列各圆的方程.(1)圆心为点，且过点；(2)过，，三点．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出半径，利用圆的标准方程写出即可.（2）设出圆的一般方程，将三点代入解出即可.【详解】（1）由题意知半径，所以圆的方程为：.（2）设圆的一般方程为：.将，，代入得：，所以圆的方程为：.18．在某传动机械中，有如图所示的三个分别啮合的圆形齿轮A，B，C．已知主动轮A的圆心是，半径为30；被动轮B的圆心是，半径为20；齿轮C的半径也是20．试确定齿轮C的圆心的坐标（精确到，）．

【答案】【分析】设，由、，利用平面两点间的距离公式得到方程，解得即可.【详解】设，则①，②，所以，即，两式相减可得，则，整理得，或（由图可知不符合题意，舍去），所以，所以圆心的坐标为即约为.19．知点，直线及圆.(1)求过点的圆的切线方程；(2)若直线与圆相切，求实数a的值．【答案】(1)或；(2)或【分析】（1）分斜率不存在与斜率存在两种情况讨论，利用圆心到直线的距离等于半径求解即可；（2）利用圆心到直线的距离等于半径求解即可；【详解】（1）当直线的斜率不存在时，过点的直线为，与圆相切；当直线的斜率存在时，设直线为，即，因为直线与圆相切，所以，解得，所以直线方程为，所以过点的圆的切线方程为或；（2）因为直线与圆相切，所以，解得或20．已知点P在圆上运动，点，若点M是线段PQ的中点．(1)求点的轨迹的方程；(2)过点作圆C的切线，切点为两点，求直线的方程．【答案】(1)(2)．【分析】（1）利用相关点代入法求得点的轨迹的方程.（2）先求得，然后利用两圆相交的公共弦所在直线方程的求法求得直线的方程.【详解】（1）设点坐标为，则，代入，得，整理得.（2）圆的圆心为，半径为，，所以，线段的中点为，所以，以为直径的圆的方程为.由，两圆方程相减并化简得直线的方程为：．

21．已知在平面直角坐标系xOy中，，，平面内动点P满足．(1)求点P的轨迹方程；(2)点P轨迹记为曲线，若C，D是曲线与x轴的交点，E为直线l：x＝4上的动点，直线CE，DE与曲线的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求点Q的坐标．【答案】(1)(2)．【分析】(1)设点为曲线上任意一点，利用两点间距离公式表示条件关系，化简等式可得轨迹方程；(2)设，联立直线的方程和曲线的方程求点的坐标，联立直线的方程和曲线的方程求点的坐标，求直线的方程，确定其与轴的交点坐标即可.【详解】（1）设点为曲线上任意一点，因为，，，则，化简得．（2）由题意得，，设，则直线的方程为，直线的方程为，联立得，则，即，，所以联立得，则，即，，所以当时，直线的斜率，则直线的方程为，即，所以，当时，直线垂直于轴，方程为，也过定点．综上，直线恒过定点．【点睛】本题为直线与圆的综合问题，解决的关键在于联立方程组求出交点坐标，对学生的运算能力要求较高.22．已知圆：，点.(1)若，求以为圆心且与圆相切的圆的方程；(2)若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求的值.【答案】(1)或(2)或【分析】（1）由题意，可设圆的方程为，判断出点在圆外，则圆与圆外切或内切，分类讨论两圆内切与外切两种情况，列方程求解，从而可得圆的方