第4章《数列》同步单元必刷卷（培优卷）-高二数学精讲高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）（解析版）

第第页第4章《数列》同步单元必刷卷（培优卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．在数列中，，，则（）A．数列单调递减 B．数列单调递增C．数列先递减后递增 D．数列先递增后递减【答案】A【分析】由数列递推式求出，可判断，将两边平方得，判断与同号,结合，可判断，即得答案.【详解】由，，得，，且可知．再由，两边平方得①，则②，②﹣①得：，∴，∵，∴与同号,由，可知，，即，可知数列单调递减．故选：A．2．已知数列满足：，，.若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．2022【答案】A【分析】令，则，再根据等差数列的定义即可得到，即可求出答案.【详解】令，则故，为常数，故数列是等差数列故选：A.3．若为等差数列，是其前项的和，且为等比数列，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等差数列以及等比数列的性质分别求得的值，结合三角函数诱导公式化简求值，即得答案.【详解】因为为等差数列，故，所以，又因为为等比数列，，所以，当时，；当时，；所以，故选：D.4．记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有，两式相减得：，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即，即，，当时，上两式相减得：，当时，上式成立，于是，又为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C5．在等比数列中，已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】直接利用等比数列的通项公式及其充分条件，必要条件的定义求解即可.【详解】∵公比，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴且，∴且，即“”是“”的充分不必要条件．故选：A．6．我们学习了数学归纳法的相关知识，知道数学归纳法可以用来证明与正整数n相关的命题.下列三个证明方法中，可以证明某个命题对一切正整数n都成立的是（

）①成立，且对任意正整数k，“当时，均成立”可以推出“成立”②，均成立，且对任意正整数k，“成立”可以推出“成立”③成立，且对任意正整数，“成立”可以推出“成立且成立”A．②③ B．①③ C．①② D．①②③【答案】D【分析】根据数学归纳法的定义逐一分析即可得出答案.【详解】解：对于①，对任意正整数k，“当时，均成立，则当时，成立，故①可证明某个命题对一切正整数n都成立；对于②，因为，均成立，成立，则当为奇数时，成立，当为偶数数时，成立，所以②可以证明某个命题对一切正整数n都成立；对于③，因为成立，对任意正整数，成立，所以也成立，又成立，成立，则也成立，所以③可以证明某个命题对一切正整数n都成立.故选：D.7．记为等比数列的前n项和，若，，则（

）．A．120 B．85 C． D．【答案】C【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；若，则，与题意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故选：C．方法二：设等比数列的公比为，因为，，所以，否则，从而，成等比数列，所以有，，解得：或，当时，，即为，易知，，即；当时，，与矛盾，舍去．故选：C．【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．8．已知数列满足，，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知得，根据等比数列的定义得数列是首项为，公比为的等比数列，由此求得，然后利用裂项求和法求得，进而求得的取值范围.【详解】解：依题意，当时，，则，所以数列是首项为，公比为的等比数列，，即，所以，所以，所以的取值范围是.故选：C.多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（

）A． B．C．， D．【答案】ACD【分析】根据，，的值，可得，利用累加法可得，再计算前项的和可判断A；由递推关系可判断B；由可判断C；利用裂项求和可判断D，进而可得正确选项.【详解】因为，，，……，，以上个式子累加可得：，所以，故选项A正确；由递推关系可知：，故选项B不正确；当，，故选项C正确；因为，所以，故选项D正确；故选：ACD.10．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（

）A．若成立，则成立B．若成立，则当时，均有成立C．若成立，则成立D．若成立，则当时，均有成立【答案】AD【分析】由逆否命题与原命题为等价命题可判断AC，再根据题意可得若成立，则当时，均有成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误.【详解】对于A：当成立时，总有成立.则逆否命题：当成立时，总有成立.若成立，则成立，故A正确；对于B：若成立，则当时，均有成立，故B错误；对于C：当成立时，总有成立.则逆否命题：当成立时，总有成立.故若成立，则成立，所以C错误；对于D：根据题意，若成立，则成立，即成立，结合，所以当时，均有成立，故D正确.故选：AD11．已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（

）A．数列的最大项为 B．数列的最小项为C．数列为递增数列 D．数列为递增数列【答案】ABC【分析】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误.【详解】对于A，由题意知：当为偶数时，；当为奇数时，，，最大；综上所述：数列的最大项为，A正确；对于B，当为偶数时，，，最小；当为奇数时，；综上所述：数列的最小项为，B正确；对于C，，，，，，，数列为递增数列，C正确；对于D，，，；，，，又，，数列为递减数列，D错误.故选：ABC.12．在数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是（

）A．对于任意的，都有B．对于任意的，数列不可能为常数列C．若，则数列为递增数列D．若，则当时，【答案】ACD【分析】A由递推式有上，结合恒成立，即可判断：B反证法：假设为常数列，根据递推式求判断是否符合，即可判断；C、D由上，讨论、研究数列单调性，即可判断.【详解】A：由，对有，则，即任意都有，正确；B：由，若为常数列且，则满足，错误；C：由且，当时，此时且，数列递增；当时，此时，数列递减；所以时数列为递增数列，正确；D：由C分析知：时且数列递减，即时，正确.故选：ACD填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设为数列的前项和，已知，，则【答案】【分析】两边同除，令，则有且，则有，即可得；【详解】，令，则，∴又，，∴；故答案为：；14．利用数学归纳法证明“”时，由到时，左边应添加因式．【答案】【分析】分别求出和时左边的式子，比较两个表达式前后的区别即可.【详解】当时，左边，当时，左边，所以左边应添加因式为.故答案为：.15．写出一个同时满足下列条件①②的等比数列的通项公式.①；②【答案】（答案不唯一）【分析】可构造等比数列，设公比为，由条件，可知公比为负数且，再取符合的值即可得解.【详解】可构造等比数列，设公比为，由，可知公比为负数，因为，所以，所以可取设，则.故答案为：.16．已知的前项和为，，，则.【答案】【分析】根据题意令和，代入整理可得，利用并项求和结合等差数列求和运算求解.【详解】当时，则为偶数，为偶数，可得，，两式相加可得：，故，解得.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．记，为数列的前n项和，已知，．(1)求，并证明是等差数列；(2)求．【答案】(1)，证明见解析(2)【分析】（1）利用与前n项和的关系，由可得的值，即可求得的值；根据相减法求得为常数，证明其为等差数列；（2）由（1）中数列为等差数列，对进行奇偶讨论，即可求得.【详解】（1）解：已知，当时，，；当时，，，所以．因为①，所以②．②－①得，，整理得，，所以（常数），，所以是首项为6，公差为4的等差数列．（2）解：由（1）知，，，．当n为偶数时，；当n为奇数时，．综上所述，.18．设，，…，均为非负实数，证明：若，则均有．【答案】证明见解析【分析】根据数学归纳法步骤证明即可.【详解】下面用数学归纳法证明．①当时，左边，成立．②假设当时，原命题成立，即对任意的非负实数，，…，，只要满足，就有．③当时，若，把看作一个整体，则有．由②可知，故，即结论对也成立．综上可得原命题成立．19．已知数列的前项和为，且(1)求，并证明数列是等差数列：(2)若，求正整数的所有取值.【答案】(1)，证明见解析(2)【分析】（1）根据证明为定值即可；（2）先根据（1）求出，再利用错位相减法求出，从而可得，再根据函数的单调性即可得解.【详解】（1）由，得，当时，，所以，当时，，两式相减得，即，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列；（2）由（1）得，所以，，，两式相减得，所以，则，由，得，即，令，因为函数在上都是增函数，所以函数在上是增函数，由，，则当时，，所以若，正整数的所有取值为.20．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.【详解】（1）设等差数列的公差为，而，则，于是，解得，，所以数列的通项公式是.（2）方法1：由（1）知，，，当为偶数时，，，当时，，因此，当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.方法2：由（1）知，，，当为偶数时，，当时，，因此，当为奇数时，若，则，显然满足上式，因此当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.21．记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和.【答案】(1)(2)1809【分析】（1）由得出数列的递推关系，然后由连乘法求得通项；（2）考虑到，，从而确定的前40项中有34项来自，其他6项由组成，由此分组求和．【详解】（1）由，则，两式相减得：，整理得：，即时，，所以时，，又时，，得，也满足上式.故.（2）由.所以，又，所以前40项中有34项来自.故.22．已知数列满足，其前8项的和为64；数列是公比大于0的等比数列，，．(1)求数列和的通项公式；(2)记，，求数列的前项和；(3)记，求．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据条件得到等差数列的公差，利用前项和公式，求出首项，得到通项公式，设出公比，得到方程，求出公比，写成通项公式；（2）写出的通