5.2导数的运算-高二数学精讲高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）（解析版）

第第页5.2：导数的运算【考点梳理】考点一：基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos

xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin

xf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axln

af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)考点二：导数的运算法则已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0.(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)．(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2).考点三：复合函数的导数1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．2．复合函数的求导法则一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对

u的导数与u对x的导数的乘积．重难点规律归纳：一：求复合函数的导数的步骤二：利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤【题型归纳】题型一：利用导数公式求函数的导数1．（2023下·甘肃天水·高二天水市第一中学校）下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据导数的运算公式，准确计算，即可求解.【详解】对于A中，由，所以A错误；对于B中，由，所以B正确；对于C中，由，所以C错误；对于D中，由，所以D错误.故选：B.2．（2023下·新疆巴音郭楞·高二校考期中）下列各式中正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据基本初等函数的导数公式判断即可.【详解】对于A、B：，故A、B错误；对于C、D：，故C错误，D正确；故选：D3．（2023下·高二课时练习）求下列函数的导数.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).【答案】(1)0(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【分析】根据基本初等函数的导数公式求导即可.【详解】（1），.（2）.（3）.（4），.（5），.（6）.（7）.（8）.题型二：导数的运算法则4．（2023下·甘肃武威·高二校联考期中）下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据导数的运算法则一一判定即可.【详解】，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：C.5．（2022上·陕西延安·高二校考期末）求下列函数的导数．(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）（2）（3）（4）根据基本初等函数的求导公式，结合求导法则即可逐一求解.【详解】（1）由可得（2）由可得（3）由得（4）由得6．（2023下·高二课时练习）求下列函数的导函数.(1)(2)(3)(4)(5)(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】根据函数的求导公式和四则运算即可求解.【详解】（1），所以.（2），所以.（3），所以，.（4），所以.（5），所以.（6），所以.题型三：复合函数与导数的运算法则的综合应用7．（2023·全国·高二随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(6)，【分析】利用复合函数求导法则，若，令，，则求解.【详解】（1）令，因为，所以.（2）令，因为，.（3）令，因为，.（4）令，因为，.（5）令，因为，.（6）令，因为，.8．（2023·全国·高二随堂练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据导数的四则运算法则，以及复合函数的求导法则，即可得出答案.【详解】（1）.（2）.（3）.（4）.9．（2023下·高二课时练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)(8)；(9).【答案】(1)(2)(3)(4)(5).(6)(7)(8)(9)【分析】根据复合函数的求导法则计算可得答案【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）因为，所以，所以；（9）.题型四：与切线有关的综合问题（切点、某点）10．（2022上·陕西安康·高二校联考期末）已知函数，求(1)(2)(3)曲线在处的切线方程【答案】(1)(2)(3)y=【分析】（1）由导数的运算法则求解即可；（2）利用导函数计算即可；（3）由导数的几何意义得出切线方程.【详解】（1）（2）（3）当时，f(x)=0，则切点为所以切线方程是，即y=11．（2023下·河南驻马店·高二统考期中）已知函数.(1)求曲线与直线垂直的切线方程；(2)若过点的直线与曲线相切，求直线的斜率.【答案】(1)(2)或5【分析】（1）求出切线的斜率，再写出切线方程；（2）根据切线的斜率与直线的方程列方程组求解即可.【详解】（1）因为斜率为，所以，所以，又.所以所求切线方程为，即.（2），设切点的横坐标为，直线的斜率为，直线的方程：，则则，整理得，所以，所以或5.12．（2023下·北京·高二北京四中校考期中）已知函数.(1)求函数在区间上的平均变化率；(2)设，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值；(3)求过点且与曲线相切的直线方程.【答案】(1)2(2)1(3)或【分析】（1）根据平均变化率公式，即可求解；（2）利用导数求的几何意义求切线斜率，利用斜率相等，即可求解；（3）首先设切点，利用导数的几何意义求切线方程.【详解】（1）函数在区间上的平均变化率为；（2），，，，，，由题意可知，，得；（3），设切点为，，则曲线在点处的切线方程为，切线过点，则，化简为，即，则，得或，当时，切线方程为，当时，切线方程为，综上可知，切线方程为或.【双基达标】单选题13．（2023上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）函数在处的导数是（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】先对函数求导后，再将代入导函数中可求得结果.【详解】由，得，所以函数在处的导数是，故选：A14．（2023上·江苏盐城·高二校考期中）已知函数（是的导函数），则（）A． B．1 C．2 D．【答案】A【分析】先对函数求导，代入，求出的值，进而求解的值即可.【详解】因为所以定义域为.所以当时，，，则故选：A15．（2023上·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）已知函数，则曲线在点处的切线经过定点（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数的几何意义求切线斜率，由点斜式得切线方程，再由直线方程不受参数的影响找到定点.【详解】因为，所以，则，又，直线过，则直线方程为，即，令，得，即直线不受参数的影响，恒过定点.故选：A.16．（2023上·江苏南京·高三校联考阶段练习）下列求导正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据基本函数的求导公式，及导数的运算法则和复合函数的求导法则，进行运算即可判断选项.【详解】对于A，，故A错误；对于B，根据复合函数的求导法则，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C.17．（2023上·河北·高三校联考阶段练习）设为的导函数，若，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求导，令，求得，则可求，进而求出切线方程.【详解】因为，所以，令，，，所以曲线在点处的切线方程为：，即.故选：D18．（2023·全国·高二随堂练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【分析】根据导数的运算法则求解即可.【详解】（1）.（2）.（3）.（4），.（5）.（6）.（7）.（8）.19．（2023·全国·高二随堂练习）求下列函数在给定位置的切线的斜率：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】利用导数的运算法则求导，即可分别求得结果.【详解】（1）由可得，所以时，，即在处的斜率为.（2）由可得，所以时，，即在处的斜率为.（3）由可得，所以时，，即在处的斜率为.（4）由可得，所以时，，即在处的斜率为.【高分突破】一、单选题20．（2023下·新疆伊犁·高二统考期中）我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根据题意利用洛必达法则求解即可【详解】由题意得，故选：B21．（2023下·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）若函数的导函数为，则下列4个描述中，其中不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】结合函数的求导公式和求导法则，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，项正确，D项错误.故选：D22．（2023下·甘肃兰州·高二兰州一中校考阶段练习）已知函数为的导函数，则（

）A．0 B．8 C．2022 D．2023【答案】B【分析】利用导数以及函数的奇偶性求得正确答案.【详解】依题意，的定义域为，是偶函数.令，是奇函数，有，则.而，所以.故选：B23．（2023下·广西玉林·高二校考阶段练习）设，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】按照题意，依次求解，寻找规律，得到答案.【详解】，，，，，……，依次计算，由于，得到.故选：C24．（2023下·河南驻马店·高二统考期中）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数的导函数，利用基本不等式及不等式的性质求出导函数的值域，即，从而求出倾斜角的取值范围.【详解】因为，所以，因为，当且仅当，即时取等号，则，所以，即，即，又，所以.故选：A25．（2023下·河北石家庄·高二校考阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合的图象，通过求切线方程的方法来求得的取值范围.【详解】画出的图象如下图所示，（1）设直线与的图象相切于点，如图，当时，由解得，即，即切点，则，切线方程为.（2）设直线与的图象相切于点，如图，当时，由解得，即，即切点，则，切线方程为.综上所述，结合图象可知的取值范围是.故选：D

【点睛】方法点睛：利用导数求解曲线的切线方程，情况有两种，一种是已知切点的，另一种是已知斜率的，不管是哪种情况，关键点都是两个，一个是切点，一个是斜率，切点既在切线上，也在曲线上，斜率可由切线方程得到，也可以由导数得到.二、多选题26．（2023下·福建·高二校联考期中）下列式子正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则逐项判断作答.【详解】对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D正确.故选：CD27．（2023下·吉林长春·高二长春外国语学校校考阶段练习）下列各式中正确的有（

）A．B．C．D．【答案】AC【分析】根据基本初等函数和积的导数、商的导数、复合函数的求导公式进行求导即可．【详解】解：对于A，因为，故正确；对于B，因为，故错误；对于C，因为，故正确；对于D，因为，故错误．故选：．28．（2023下·北京房山·高二统考期末）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据凸函数的定义，分别对各选项求二阶导，然后判断是否小于，从而得到正确选项．【详解】对于A，，，，当时，，，恒成立，故A为凸函数；对于B，对于，，，当时，恒成立，故B为凸函数；对于C，由，得，所以，因为，所以恒成立，故C为凸函数；对于D，对于，，，当时，恒成立，故D不是凸函数.故选：ABC.29．（2023下·安徽亳州·高二涡阳县第二中学校联考期末）已知函数及其导函数的定义域均为，为偶函数，函数的图像关于对称，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据条件得出关于直线对称，关于对称，再利用原函数与导函数间的奇偶关系，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】因为为偶函数，所以关于直线对称，又函数的图像关于对称，所以关于对称，又，所以，得到，所以为偶函数，同理可得为奇函数，选项A，因为，又与关于直线对称，所以，故选项A正确；选项B，因为由题得不出，故没有，所以选项B错误；选项C，因为为偶函数，所以，又与关于直线对称，所以，故选项C正确；选项D，因为为奇函数，所以，又为偶函数，所以，故选项D正确.故选：ACD.三、填空题30．（2023上·江苏盐城·高二盐城市第一中学校考期中）已知，，且，则.【答案】【分析】对给定函数求导，再求出在3处的导数值即得.【详解】由，求导得，则，由，求导得，所以.故答案为：31．（2023下·山西晋中·高二校考阶段练习）已知直线与曲线相切于点，则.【答案】【分析】利用导数的几何意义，结合导数的四则运算即可得解.【详解】切点在曲线上，则，故，而由得，所以在点处切线的斜率为，则切线方程为，又点在切线上，则，所以.故答案为：.32．（2023上·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）设为函数的导函数，若，则．【答案】4【分析】由题意可得，令，分别求出、即可求解.【详解】由题意知，令，则，，令，则，解得，所以.故答案为：4.33．（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）设函数在上的导函数为，已知，，则不等式的解集是．【答案】【分析】利用求导法则构造新函数，解出代入不等式，运算即可得解.【详解】解：由题意得，∴，令，则，∵，∴∴，∴，则有，解得，所以，所求解集为.【点睛】本题考查函数的导数的应用和一元二次不等式的解法，关键在于恰当构造函数.构造函数的主要思路有：（1）条件中出现和时，适当转换后考虑根据商的求导法则令；（2）条件中出现和时，适当转换后考虑根据积的求导法则令.四、解答题34．（2023·全国·高二随堂练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)【分析】根据基本初等函数的导数公式，以及导数的四则运算法则，准确计算，即可求解.【详解】（1）解：根据导数的运算法则，由，可得.（2）解：根据导数的运算法则，由，可得（3）解：根据导数的运算法则，由，可得.（4）解：根据导数的运算法则，由，可得.（5）解：根据导数的运算法则，由，可得.（6）解：根据导数的运算法则，由，