1.3两条直线平行和垂直的判定-高二数学精讲高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）（解析版）

第第页1.3两条直线平行和垂直的判定【考点梳理】考点一：两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在图示考点二：两条直线垂直的判定图示对应关系l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2【题型归纳】题型一：由斜率判断两条直线平行1．（2022秋·浙江金华·高二浙江金华第一中学校）直线与直线的位置关系是（

）A．垂直 B．平行 C．相交 D．重合【答案】B【分析】根据两直线斜率和截距判断位置关系.【详解】直线化成斜截式方程为，直线化成斜截式方程为，两直线斜率相等，在y轴上截距不相等，所以两直线的位置关系是平行.故选：B2．（2023秋·高二）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题①若，则斜率；

②若斜率，则；③若，则倾斜角；④若倾斜角，则，其中正确命题的个数是（

）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据两条直线平行的判定方法与结论即可判断．【详解】由于与为两条不重合的直线且斜率分别为，，所以，故①②正确；由于与为两条不重合的直线且倾斜角分别为，，所以，故③④正确，所以正确的命题个数是4．故选：D．3．（2022·高二）已知两条直线：，：，则下列说法正确的是（

）A．与一定相交 B．与一定平行C．与一定相交或平行 D．以上均不对【答案】D【分析】利用两直线的位置关系判断.【详解】解：当时，与重合；当时，与平行，当时，与相交，故选：D题型二：由斜率判断两条直线垂直4．（2023·全国·高二专题练习）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（

）A．垂直 B．斜交C．平行 D．重合【答案】A【分析】由题意利用根与系数的关系可得两直线的斜率乘积为，从而可判断出两直线的位置关系.【详解】设两直线的斜率分别为，，因为，是方程的两根，所以利用根与系数的关系得，所以两直线的位置关系是垂直．故选：A．5．（2023·全国·高二专题练习）下列各组直线中，互相垂直的一组是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】D【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率之积为两直线垂直，即可判断.【详解】对于A：直线的斜率为，直线的斜率为，故两直线平行，故A错误；对于B：直线的斜率为，直线的斜率为，斜率之积不为，即两直线不垂直，故B错误；对于C：直线的斜率为，直线的斜率为，斜率之积不为，即两直线不垂直，故C错误；对于D：直线的斜率为，直线的斜率为，斜率之积为，即两直线垂直，故D正确；故选：D6．（2022秋·安徽六安·高二校考阶段练习）已知点，，则线段的垂直平分线所在的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用两直线垂直的斜率关系和点斜式方程即可求解.【详解】线段的中点为，的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，所以由点斜式即，故选：B.题型三：已知直线平行求参数7．（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）直线与直线平行，则的值为（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】求出已知二直线不相交时的a值，再验证作答.【详解】依题意，直线与直线平行或重合时，，解得或，当时，直线与直线重合，当时，直线与直线平行，所以的值为.故选：C8．（2023秋·江苏盐城·高二盐城中学校考阶段练习）已知过点和点的直线为l1，.若，则的值为（

）A． B．C．0 D．8【答案】A【分析】由平行、垂直直线的斜率关系得出的值.【详解】因为，所以，解得，又，所以，解得.所以.故选：A.9．（2023·全国·高二专题练习）已知常数，直线：，：，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先利用两直线平行的公式求出，再确定充分性和必要性即可.【详解】因为直线：，：，当时，解得，所以是的充分不必要条件.故选：A题型四：已知直线垂直求参数10．（2023秋·湖南长沙·高二校考开学考试）直线，若，则实数的值为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．或1【答案】C【分析】根据直线垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】，即，解得或.故选：C.11．（2023秋·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试）设直线，，则是的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合直线垂直的性质判断即可.【详解】当时，直线，，此时，则，所以，故充分性成立；当时，，解得或，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件，故选：C.12．（2023·全国·高二专题练习）直线：，则“”是“直线与轴垂直”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由直线与轴垂直，可得直线的斜率不存在，进而得到，解出的值，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可求解.【详解】由直线与轴垂直，得直线的斜率不存在，可得，解得，所以“”是“直线与轴垂直”的充要条件.故选：C.题型五：直线平行、垂直在几何中的应用13．（2023秋·高二课时练习）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设D(x，y)，根据两直线平行和垂直时，其斜率间的关系得出方程组，解之可求得点D的坐标得选项.【详解】解：设D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0，∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，，故选：D.14．（2022秋·山东德州·高二德州市第一中学校考阶段练习）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A（4，0），B（0，2），且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为（）A．2x+y﹣3＝0 B．2x﹣y﹣3＝0C．x﹣2y+3＝0 D．x﹣2y﹣3＝0【答案】B【分析】先由A（4，0），B（0，2）求出线段AB的垂直平分线，再由AC＝BC判断出其即为△ABC的欧拉线.【详解】因为A（4，0），B（0，2），所以线段AB的中点为（2，1），所以线段AB的垂直平分线为：y＝2（x﹣2）+1，即2x﹣y﹣3＝0，∵AC＝BC，∴三角形的外心、重心、垂心依次位于AB的垂直平分线上，因此△ABC的欧拉线方程为2x﹣y﹣3＝0.故选：B.15．（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）的三个顶点分别是，，.(1)求边的垂直平分线所在直线方程；(2)求内边上中线方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先得到线段的中点，再利用垂直平分线得到，接着用点斜式即可求解；（2）利用截距式即可得到中线的方程，注意加上对应范围【详解】（1）由，可得线段的中点为，，因为是边的垂直平分线，所以，则所在直线方程：即（2）由（1）可得线段的中点为，故边上中线方程为即，所以内边上中线方程：题型六：直线平行与垂直的综合问题16．（2023秋·全国·高二期中）已知两直线.当为何值时，和.(1)平行；(2)垂直.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据与平行的条件且列式可得答案；（2）根据与垂直的条件列式可得答案.【详解】（1）因为，所以，解得或，当时，直线两条直线重合，故时，；（2）因为，所以，解得或.17．（2023·全国·高二专题练习）根据下列条件写出直线方程，并化为一般式：(1)斜率是且经过点；(2)经过两点；(3)在轴上的截距分别为.(4)过点，且平行于的直线；(5)与垂直，且过点的直线．(6)直线过点和点，求该直线的方程；(7)直线过点，且倾斜角的正弦值是，求该直线的方程.【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)或【详解】（1）由直线点斜式方程知：所求直线方程为，即.（2）由直线两点式方程知：所求直线方程为，即.（3）由直线截距式方程知：所求直线方程为，即.（4）设所求直线方程为：，直线过点，，解得：，直线方程为，即.（5）设所求直线方程为：，直线过点，，解得：，直线方程为：.（6）由直线两点式方程知：直线方程为，即.（7）设直线的倾斜角为，由得：，；当时，直线斜率，直线方程为：，即；当时，直线斜率，直线方程为：，即；综上所述：直线方程为或.18．（2023秋·高二单元测试）已知直线，.(1)若，求实数的值；(2)若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解；（2）根据已知条件，结合截距的定义，并分类讨论，即可求解．【详解】（1）直线，．则，解得或，当时，，，则直线，重合，不符合题意；当时，，，则直线，不重合，符合题意，故.（2）当，即时，，直线在两坐标轴上的截距为，满足直线在两个坐标轴上的截距相等；当且时，则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，由题意可知，，解得，当时直线，显然不符合题意，综上所述，或．【双基达标】一、单选题19．（2023·全国·高二）直线：与直线：平行，则（）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由两直线平行得到方程和不等式，求出答案.【详解】由题意得，解得.故选：A20．（2023秋·高二课时练习）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（

）A．垂直 B．斜交C．平行 D．重合【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系及直线的斜率关系判定直线位置关系即可.【详解】不妨设两直线的斜率分别为，则由题意有，所以两直线互相垂直.故选：A21．（2023秋·江苏扬州·高二统考开学考试）直线，若，则实数的值为（

）A．0 B．3 C．0或 D．0或3【答案】C【分析】根据直线垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】因为，，所以，即，解得或.故选：C.22．（2023秋·高二课时练习）已知直线过点与平行，则的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设出的方程，利用点求得正确答案.【详解】设直线，代入得，所以直线的方程是.故选：B23．（2023秋·高二课时练习）已知点，点B在直线上，直线AB垂直于直线，则点B的坐标是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设点B坐标，由两直线的垂直关系及点在线上列出方程组计算即可.【详解】设，则由题意可得①，且②，由①②解得.即B正确.故选：B24．（2023秋·高二课时练习）已知三条直线，，．(1)若，且过点，求、的值；(2)若，求、的值．【答案】(1)或；(2)【分析】（1）由直线垂直的特征及直线过的点可得关于a、b的方程组，即可得解；（2）由直线平行的特征求解a，b，再代入验证即可.【详解】（1）因为，，且，所以，又直线过点，所以，所以，所以，所以或；（2）若，则，解得，当时，，也即，，也即，满足，所以若，.25．（2023秋·广西贵港·高二校联考开学考试）已知的三个顶点为，，，D为BC的中点，AD所在的直线为．(1)求的一般式方程；(2)若直线经过点B，且，求在轴上的截距．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出点的坐标，再利用两点式可求出直线的方程，再化为一般式即可，（2）由题意设直线的方程为，再将点的坐标代入可求出的值，从而可求出在轴上的截距．【详解】（1）由题意得，则l的方程为，即．（2）设的方程为，将代入，得，即，所以在y轴上的截距为3．【高分突破】一、单选题26．（2023秋·福建三明·高二三明一中校考阶段练习）若直线与直线互相平行，则的值是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】利用两直线平行可得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值.【详解】因为直线与直线互相平行，则，解得.故选：A.27．（2023春·四川成都·高二校考期中）已知命题p：“”，命题q：“直线与直线垂直”，则命题p是命题q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的条件分析判断即可【详解】若直线与直线垂直，则，得，或，所以命题p是命题q的充分不必要条件，故选：A28．（2023·全国·高二专题练习）已知直线：，：，其中，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用两直线垂直求出a的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】直线：，：，由，得，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：C29．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省临安中学校考开学考试）已知命题：直线与平行，命题，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两直线平行满足的关系可得命题等价于或，结合充分不必要条件的判断即可求解.【详解】直线与平行，则，解得或，所以命题等价于或，命题．则由命题不能得到命题，但由命题可得到命题，则是的充分不必要条件．故选：A．30．（2023·全国·高二专题练习）若为实数，则“”是“直线与平行”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】根据直线平行求得，结合充分、必要条件分析判断.【详解】若“直线与平行”，则，解得或，当时，直线，，此时//，符合题意；当时，直线，即，，此时，重合，不符合题意；综上所述：“直线与平行”等价于.所以“”是“直线与平行”的充要条件.故选：C.31．（2023·上海·高二专题练习）已知直线和，则（）A．m和n可能重合

B．m和n不可能垂直C．存在直线m上一点P，以P为中心旋转后与n重合D．以上都不对【答案】C【分析】A选项求出直线m与直线n的斜率判断；B选项由斜率之积是否为判断；C选项由两直线不平行，得出两直线相交判断.【详解】对A，直线，斜率为；直线，斜率为；，所以m和n不可能重合，A错误；对B，时，，m和n垂直，所以B错误；对C，由知m和n不平行，设m、n相交于点P，则直线m以P为中心旋转后与n重合，所以C正确．故选：C．二、多选题32．（2023秋·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）下列说法中错误的是（

）A．不过原点的直线都可以用方程表示B．若直线，则两直线的斜率相等C．过两点，的直线都可用方程表示D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直【答案】ABD【分析】A和C选项根据直线的截距式方程和两点式方程的定义解决，选项B需要考虑斜率不存在的情况，选项D根据斜率考虑直线的倾斜角，得到两直线的位置关系.【详解】A.直线的截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线，故A错误；B.和的斜率有可能不存在，故B错误；C.选项中的方程是直线的两点式方程化为整式后的结果，直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线，但化为整式后就没有缺陷了，可以表示任意直线，故C正确；D.直线斜率不存在，则直线垂直于轴，直线斜率存在，但不一定斜率为0，所以两直线不一定垂直，故D错误.故选：ABD33．（2023·全国·高二专题练习）下列各组直线中与一定平行的是（

）A．经过点，经过点B．经过点，经过点C．的倾斜角为，经过点D．平行于轴，经过点【答案】AD【分析】由题意，先求出两直线的斜率，当斜率相等再看两直线是否重合，从而得出结论.【详解】对于A．由题意知，所以直线与直线平行或重合，又，故，A选项正确；对于B．由题意知，所以直线与直线平行或重合，，故直线与直线重合，B选项错误；对于C．由题意知，，所以直线与直线可能平行可能重合，C选项错误；对于D．由题意知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴，所以，D选项正确．故选：AD34．（2023秋·高二课时练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（

）A．B．C．以点为直角顶点的直角三角形D．以点为直角顶点的直角三角形【答案】AC【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断.【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，对于B，因为，所以，所以B错误，对于C，因为，，所以，所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确，对于D，因为，，所以，所以D错误，故选：AC35．（2022秋·江苏徐州·高二统考期中）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线经过的点为（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】先求点关于直线的对称点，得出反射后的直线，再对选项逐一检验【详解】由题意知，，设点关于直线的对称点为，则，解得，所以反射光线所在的直线方程为，所以当时，；当时，，故选：BC36．（2023秋·福建宁德·高二统考期末）已知直线，直线，则下列命题正确的有（

）A．直线恒过点B．直线的方向向量为，则C．若，则D．若，则【答案】BD【分析】根据已知直线方程，逐个验证直线过的定点、方向向量和垂直平行所需的条件.【详解】把代入直线的方程，等式不成立，A选项错误；直线的方向向量为，则直线斜率，得，B选项正确；直线方向向量为，直线的方向向量为，若，则有，解得，当时，与重合，C选项错误；若，则有，即，D选项正确.故选：BD三、填空题37．（2023秋·河南三门峡·高二统考期末）已知直线与平行，则实数．【答案】0或【分析】根据两直线平行的性质求解.【详解】因为直线与平行，所以，解得或，经检验，此时两直线平行.故答案为：0或38．（2023秋·广西贵港·高二校联考开学考试）若直线与直线垂直，则．【答案】【分析】根据直线垂直列方程，从而求得的值.【详解】因为直线与直线垂直，所以，解得．故答案为：39．（2023·全国·高二课堂例题）若过点和点的直线与方向向量为的直线垂直，则实数m的值是．【答案】5【分析】根据直线垂直的斜率关系运算求解.【详解】由得直线的斜率为，若两直线垂直，则直线PQ的斜率为，解得．故答案为：5.40．（2023春·江苏镇江·高二校考期中）已知直线过点和点，直线，直线.若，，则.【答案】【分析】根据直线垂直和平行满足的斜率关系即可求解.【详解】由于直线的斜率为，且，直线的斜率为，解得.由于，的斜率为，直线的斜率为，，∴，解得，∴.故答案为：41．（2023·高二课时练习）θ是第三象限的角，已知直线和直线，则与的位置关系为．【答案】垂直【分析】根据直线垂直的充要条件判断即可.【详解】因为θ是第三象限的角，所以，所以，故答案为：垂直四、解答题42．（2023·全国·高二）已知点求：(1)BC边上的中线所在直线的方程；(2)BC边上的高所在直线方程；(3)BC边的垂直平分线的方程.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据中点坐标公式求出中点，然后利用两点坐标写出直线方程即可；（2）BC边上的高和BC垂直，利用两直线垂直的斜率关系即可；（3）利用垂直平分线经过BC的中点，且和BC垂直求解即可.【详解】（1）的中点坐标为，且所以BC边上的中线所在直线的方程：（2）BC的斜率：，所以BC边上的高所在直线方程的斜率：BC边上的高所在直线方程：即：.（3）由前两问知：的中点坐标为，.BC边的垂直平分线的