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文档简介
上海市静安区2024年数学高一下期末联考试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.已知变量和满足关系,变量与正相关.下列结论中正确的是()A.与负相关,与负相关B.与正相关,与正相关C.与正相关,与负相关D.与负相关,与正相关2.某学校从编号依次为01,02,…,72的72个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本,已知样本中相邻的两个组的编号分别为12,21,则该样本中来自第四组的学生的编号为()A.30 B.31 C.32 D.333.设,过定点的动直线和过定点的动直线交于点,则的最大值是()A. B. C. D.4.设数列是公差不为零的等差数列,它的前项和为,且、、成等比数列,则等于()A. B. C. D.5.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作之一,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积(弦矢矢),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为,半径等于6米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约为()A.12平方米 B.16平方米 C.20平方米 D.24平方米6.下列函数中,最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()A. B.C. D.7.三棱锥中,互相垂直,,是线段上一动点,若直线与平面所成角的正切的最大值是,则三棱锥的外接球的表面积是()A. B. C. D.8.已知,是两个变量,下列四个散点图中,,虽负相关趋势的是()A. B.C. D.9.为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有点的()A.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将所得的图像向左平移.B.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将所得的图像向左平移.C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图像向左平移.D.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将所得的图像向右平移.10.在中,角的对边分别为.若,,,则边的大小为()A.3 B.2 C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.给出以下四个结论:①平行于同一直线的两条直线互相平行;②垂直于同一平面的两个平面互相平行;③若,是两个平面;,是异面直线;且,,,,则;④若三棱锥中,,,则点在平面内的射影是的垂心;其中错误结论的序号为__________.(要求填上所有错误结论的序号)12.数列满足,当时,,则是否存在不小于2的正整数,使成立?若存在,则在横线处直接填写的值;若不存在,就填写“不存在”_______.13.在中,角所对的边分别为.若,,则角的大小为____________________.14.在等比数列中,,公比,若,则的值为.15.若复数z满足z⋅2i=z2+1(其中i为虚数单位),则16.设在的内部,且,的面积与的面积之比为______.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知.(1)化简;(2)若是第二象限角,且,求的值.18.在平面直角坐标系中,已知射线与射线,过点作直线l分别交两射线于点A、B(不同于原点O).(1)当取得最小值时,直线l的方程;(2)求的最小值;19.中,D是边BC上的点,满足,,.(1)求;(2)若,求BD的长.20.已知函数(1)解关于的不等式;(2)若,令,求函数的最小值.21.已知点是重心,.(1)用和表示;(2)用和表示.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】
因为变量和满足关系,一次项系数为,所以与负相关;变量与正相关,设,所以,得到,一次项系数小于零,所以与负相关,故选A.2、A【解析】
根据相邻的两个组的编号确定组矩,即可得解.【详解】由题:样本中相邻的两个组的编号分别为12,21,所以组矩为9,则第一组所取学生的编号为3,第四组所取学生的编号为30.故选:A【点睛】此题考查系统抽样,关键在于根据系统抽样方法确定组矩,依次求得每组选取的编号.3、A【解析】
由题意知两直线互相垂直,根据直线分别求出定点与定点,再利用基本不等式,即可得出答案。【详解】直线过定点,直线过定点,又因直线与直线互相垂直,即即,当且仅当时取等号故选A【点睛】本题考查直线位置关系,考查基本不等式,属于中档题。4、A【解析】
设等差数列的公差为,根据得出与的等量关系,即可计算出的值.【详解】设等差数列的公差为,由于、、成等比数列,则有,所以,,化简得,因此,.故选:A.【点睛】本题考查等差数列前项和中基本量的计算,解题的关键就是结合题意得出首项与公差的等量关系,考查计算能力,属于基础题.5、C【解析】
在中,由题意OA=4,∠DAO=,即可求得OD,AD的值,根据题意可求矢和弦的值,即可利用公式计算求值得解.【详解】如图,由题意可得:∠AOB=,OA=6,在中,可得:∠AOD=,∠DAO=,OD=AO=×6=3,可得:矢=6﹣3=3,由AD=AO=6×=3,可得:弦=2AD=2×3=6,所以:弧田面积=(弦×矢+矢2)=(6×3+32)=9+4.5≈20平方米.故选:C【点睛】本题考查扇形的面积公式,考查数学阅读能力和数学运算能力,属于中档题.6、A【解析】
求出函数的周期,函数的奇偶性,判断求解即可.【详解】解:y=cos(2x)=﹣sin2x,是奇函数,函数的周期为:π,满足题意,所以A正确y=sin(2x)=cos2x,函数是偶函数,周期为:π,不满足题意,所以B不正确;y=sin2x+cos2xsin(2x),函数是非奇非偶函数,周期为π,所以C不正确;y=sinx+cosxsin(x),函数是非奇非偶函数,周期为2π,所以D不正确;故选A.考点:三角函数的性质.7、B【解析】是线段上一动点,连接,∵互相垂直,∴就是直线与平面所成角,当最短时,即时直线与平面所成角的正切的最大.此时,,在直角△中,.三棱锥扩充为长方体,则长方体的对角线长为,∴三棱锥的外接球的半径为,∴三棱锥的外接球的表面积为.选B.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直,且,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用求解.8、C【解析】由图可知C选项中的散点图描述了随着的增加而减小的变化趋势,故选C9、B【解析】
利用三角函数的平移和伸缩变换的规律求出即可.【详解】为了得到函数的图象,先把函数图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的倍到函数y=3sin2x的图象,再把所得图象所有的点向左平移个单位长度得到y=3sin(2x+)的图象.故选:B.【点睛】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,正弦型函数性质的应用,三角函数图象的平移变换和伸缩变换的应用,属于基础题.10、A【解析】
直接利用余弦定理可得所求.【详解】因为,所以,解得或(舍).故选A.【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,考查了一元二次方程的解法,属于基础题.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、②【解析】
③①可由课本推论知正确;②可举反例;④可进行证明.【详解】命题①平行于同一直线的两条直线互相平行,由课本推论知是正确的;②垂直于同一平面的两个平面互相平行,是错误的,例如正方体的上底面,前面和右侧面,是互相垂直的关系;③根据课本推论知结论正确;④若三棱锥中,,,则点在平面内的射影是的垂心这一结论是正确的;作出B在底面的射影O,连结AO,DO,则,同理,,进而得到O为三角形的垂心.
故答案为②【点睛】这个题目考查了命题真假的判断,一般这类题目可以通过课本的性质或者结论进行判断;也可以通过举反例来解决这个问题.12、70【解析】
构造数列,两式与相减可得数列{}为等差数列,求出,让=0即可求出.【详解】设两式相减得又数列从第5项开始为等差数列,由已知易得均不为0所以当n=70的时候成立,故答案填70.【点睛】如果递推式中出现和的形式,比如,可以尝试退项相减,即让取后,两式作差,和的部分因为相减而抵消,剩下的就好算了。13、【解析】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正弦定理,考查了同学们解决三角形问题的能力.由得,所以由正弦定理得,所以A=或(舍去)、14、1【解析】
因为,,故答案为1.考点:等比数列的通项公式.15、1【解析】设z=a+bi,a,b∈R,则由z⋅2则-2b=a2+b2+12a=016、1:3【解析】
记,,可得:为的重心,利用比例关系可得:,,,结合:即可得解.【详解】记,则则为的重心,如下图由三角形面积公式可得:,,又为的重心,所以,所以所以【点睛】本题主要考查了三角形重心的向量结论,还考查了转化能力及三角形面积比例计算,属于难题.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
(1)利用三角函数的诱导公式即可求解.(2)利用诱导公式可得,再利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】(1)由题意得.(2)∵,∴.又为第二象限角,∴,∴.【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式以及同角三角函数的基本关系,属于基础题.18、(1);(2)6.【解析】
(1)设,,利用三点共线可得的关系,计算出后由基本不等式求得最小值.从而得直线方程;(2)由(1)中所设坐标计算出,利用基本不等式由(1)中所得关系可得的最小值,从而得的最小值.【详解】(1)设,,因为A,B,M三点共线,所以与共线,因为,,所以,得,即,,等号当且仅当时取得,此时直线l的方程为.(2)因为由,所以,当且仅当时取得等号,所以当时,取最小值6.【点睛】本题考查直线方程的应用,考查三点共线的向量表示,考查用基本不等式求最值.用基本不等式求最值时要根据目标函数的特征采取不同的方法,如(1)中用“1”的代换配凑出基本不等式的条件求得最值,(2)直接由已知应用基本不等式求最值.19、(1)(2)【解析】
(1)由中,D是边BC上的点,根据面积关系求得,再结合正弦定理,即可求解.(2)由,化简得到,再结合,解得,进而利用勾股定理求得的长.【详解】(1)由题意,在中,D是边BC上的点,可得,所以又由正弦定理,可得.(2)由,可得,所以,即,由(1)知,解得,又由,所以.【点睛】本题主要考查了三角形的正弦定理和三角形的面积公式的应用,其中解答中熟记解三角形的正弦定理,以及熟练应用三角的面积关系,列出方程求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.20、(1)答案不唯一,具体见解析(2)【解析】
(1)讨论的范围,分情况得的三个答案.(2)时,写出表达式,利用均值不等式得到最小值.【详解】(1)①当时,不等式的解集为,②当时,不等式的解集为,③当时,不等式的解集为(2)若时,令(当且仅当,
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