1.3.1函数的单调性和最大小值(1)公开课件

1.3.1函数的单调性和最大小值(1)公开课件单调性与最大（小）值------函数的单调性一、引入课题观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：yx11-1yx1-11-1问：随x的增大，y的值有什么变化？x1-11y-1-1画出下列函数的图象，观察其变化规律：1．f(x)=x①从左至右图象上升还是下降______?②在区间____________上，随着x的增大，f(x)的值随着________．2．f(x)=-2x+1①从左至右图象上升还是下降______?②在区间____________上，随着x的增大，f(x)的值随着________．上升（-∞，+∞）增大下降（-∞，+∞）减小3．f(x)=x2①在区间____________上，f(x)的值随着x的增大而________．②在区间____________上，f(x)的值随着x的增大而________．x…-4-3-2-101234…f(x)…16941014916…(-∞,0]减小（0，+∞）增大y246810O-2x84121620246210141822D对区间D内x1，x2

，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)图象在区间D逐渐上升？OxIy区间D内随着x的增大，y也增大x1x2f(x1)f(x2)MN对区间D内x1，x2

，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)xx1x2？Iyf(x1)f(x2)OMN任意区间D内随着x的增大，y也增大图象在区间D逐渐上升对区间D内x1，x2

，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)xx1x2都yf(x1)f(x2)O设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.如果对于区间D上的任意当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，<定义MN任意两个自变量的值x1,x2，D称为f(x)的单调增区间.

那么就说f(x)在区间D上是单调增函数，区间D内随着x的增大，y也增大图象在区间D逐渐上升D

那么就说在f(x)这个区间上是单调减函数，D称为f(x)的单调减区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为I,

如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，设函数y=f(x)的定义域为I,

如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，

那么就说在f(x)这个区间上是单调增函数，D称为f(x)的单调区间.增当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，<>单调区间注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；③函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接说某函数是增函数或减函数。下列说法是否正确？请画图说明理由。（1）如果对于区间（0，+∞）上的任意x有f(x)>f(0),则函数在区间（0，+∞）上单调递增。（2）对于区间（a,b）上的某3个自变量的值

x1,x2,x3,当时，有则函数f(x)在区间（a,b）上单调递增。2．单调性与单调区间

如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：注意：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在那样的特定位置上，虽然使得,但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；1x2x)(1xf)(2xf)(xf图5yx⑶几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.思考1：一次函数的单调性，单调区间：思考2：二次函数的单调性，单调区间：（二）典型例题例1如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.O书写单调区间时，注意区间端点的写法。对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点。但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点。练习：判断函数的单调区间。xy21o单调递增区间：单调递减区间：证明：（取值）（作差）（下结论）（定号）补例3．证明函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．证明：f（x1）＜f（x2）f（x1）－f（x2）＜0f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（3x2＋2）

＝3（x1－x2）由x1＜x2，得x1－x2＜0

设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则例2物理学中的玻意定律(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当体积V减小时,压强P将增大.试用函数的单调性证明之.探究：P30画出反比例函数的图象．①这个函数的定义域是什么？②它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．思考3：反比例函数的单调性，单调区间：证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则1－1－1Oxy1f（x）在定义域

上是减函数吗？减函数

取x1=-1，x2=1

f（-1）=-1

f（1）=1

-1＜1

f（-1）＜f（1）例3讨论函数在(-2,2)内的单调性.变式1：若二次函数在区间(-∞,1]上单调递增，求a的取值范围。变式2：若二次函数的递增区间是（-∞,1]，则a的取值情况是

是定义在R上的单调函数，且的图象过点A（0，2）和B（3，0）（1）解不等式（2）求适合的的取值范围例2

是定义在（-1，1）上的单调增函数，解不等式

例2变式练习：注意：在原函数定义域内讨论函数的单调性思考与讨论f(x)和g(x)都是区间D上的单调函数，那么f(x)和g(x)四则运算后在该区间D内还具备单调性吗？情况如何？你能证明吗？能举例吗？1.若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则F(X)=f(x)+g(x)为增函数。2.若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则F(X)=f(x)+g(x)为减函数。3.若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则F(X)=f(x)-g(x)为增函数。4.若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则F(X)=f(x)-g(x)为减函数。三、归纳小结1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，