2024版创新设计高考总复习 数学 人教A版第10节 函数模型及其应用

第10节函数模型及其应用

考试要求1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解”指数

爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.2.通过收集、阅读一些现实生

活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了

解函数模型在社会生活中的广泛应用.

知识诊断•基础夯实

【知识梳理】

1.指数、对数、塞函数模型性质比较

数

y=ax(a>l)y=logtzx(<7>l)y=xn(n>0)

性

在(0,+8)上的增

单调递增单调递增单调递增

减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表现随X的增大逐渐表随〃值变化而各

图象的变化

为与诩平行现为与X轴平行有不同

值的比较存在一个x(),当x>xo时,有

2.几种常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型/人为常数，"W0)

二次函数模型«¥)=加+法+以4,b,C为常数，々W0)

与指数函数相关的模型j(x)=ba(+c(a,h,c为常数，a>0且aWl,b心0)

与对数函数相关的模型fix)=b\og(lx+c(a,A,c为常数,a>0且a#1,0)

与暴函数相关的模型fix)=axn+b(a,b,〃为常数，〃关0)

［常用结论］

1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增

长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越

来越小.

2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.

3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数

学结果对实际问题的合理性.

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“J"或"X")

(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按

九折出售，则每件还能获利.()

(2)函数y=2*的函数值比,y=x2的函数值大.()

v

(3)不存在xo,使ao<x(j<logftx().()

(4)在(0,+8)上，随着犬的增大，y=a'(a>l)的增长速度会超过并远远大于y=

K(a>0)的增长速度.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

9

解析(1)9折出售的售价为100(1+10%)义正=99(元).

•••每件赔1元，(1)错误.

(2)当尤=2时，2、=/=4.(2)不正确.

(3)如a=xo=；,〃=(,不等式成立，因此(3)错误.

2.(2021.全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测

量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数

记录法的数据V满足L=5+lg%已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则

其视力的小数记录法的数据约为(浙p1259)()

A.1.5B.1.2

C.0.8D.0.6

答案C

解析由题意知4.9=5+lgV,

得lgv=—0.1,得V=10—而-0.8,

所以该同学视力的小数记录法的数据约为08

3.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元时，不

享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800时，那么超过800元部分享受一定

的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算

可以享受折扣优惠金额折扣率

不超过500元的部分5%

超过500元的部分10%

某人在此商场购物总金额为X元，可以获得的折扣金额为y元，则y关于x的解

fO,0<x^800,

析式为y=«5%(x—800),800<xW1300,若y=30元，则他购物实际所付金

110%(x-1300)+25,%>1300.

额为元.

答案1350

角星析<x=l300,则>=5%(1300—800)=25<30,

因此x>l300.

由10%(x—l300)+25=30,得尤=1350(元).

4.某商品在最近30天内的价格汽。与时间K单位：天)的函数关系是,/«=/+10(0

VtW30,『GN),销售量g(r)与时间/的函数关系是g(/)=-r+35(0VfW30,

PN),则这种商品的日销售金额的最大值是.

答案506

VrGN,.7=12或13时，ymax=506.

考点突破•题型剖析

考点一利用函数图象刻画实际问题的变化过程

例1已知正方形A3CO的边长为4,动点P从B点开始沿折线3CDA向A点运

动.设点P运动的路程为x,4ABP的面积为S,则函数S=/(x)的图象是()

答案D

解析依题意知，

当0W无W4时，/x)=2x；

当4cxW8时，.*x)=8；

当8<^^12时，兀0=24—2x,

观察四个选项知D项符合要求.

感悟提升判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

⑴构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合

模型选图象；

⑵验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，

验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.

训练1(2023•泰州调研)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度

有关.经验表明，某种绿茶用85c的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，

可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1

min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分

布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律

()

A.y=//ix2+n(x>0)Bj=max+n(m>0,0<a<1)

x

C.y=ma+n(m>0,a>1)D.y=m\o§,ax+n(m>0,a>0,a#l)

答案B

解析由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且机>0,0<«<1,

考点二已知函数模型解决实际问题

例2我国在2020年进行了第七次人口普查登记，到2021年4月以后才能公布结

果.人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯提出的模型：y=yo-e”,其中/表示经

过的时间（单位：年），yo表示f=0时的人口数（单位：亿），r表示人口的年平均增

长率.以国家统计局发布的2000年第五次人口普查登记（已上报户口）的全国总人

口12.43亿人（不包括香港、澳门和台湾地区）和2010年第六次人口普查登记（已上

报户口）的全国总人口13.33亿人（不包括香港、澳门和台湾地区）为依据，用马尔

萨斯人口增长模型估计我国2020年年末（不包括香港、澳门和台湾地区）的全国总

人口数为（13.332=177.6889,12.432=154.5049）（）

A.14.30亿B.15.20亿

C.14.62亿D.15.72亿

答案A

解析由马尔萨斯人口增长模型，得13.33=12.4333,

即10r13-33

1e=12.43，

所以我国2020年年末的全国总人口数约为

cC13.332177.6889，…,“、

y—13.33e—设43—1243心14.30（亿）.

感悟提升1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.

（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；

（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

2.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.

训练2在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度。（单

位：千米/秒）满足公式o=Mn（l+都，其中M为火箭推进剂质量，机为去除推进

剂后的火箭有效载荷质量（单位：吨），w为火箭发动机喷流相对火箭的速度（单

位：千米/秒）.当M=3加时，。=5.544千米/秒.在保持w不变的情况下，若机=25

吨，假设要使。超过第一宇宙速度达到8千米/秒，则M至少约为（结果精确到1,

参考数据：e2七7.389,In2七0693)()

A.135吨B.160吨

C.185吨D.210吨

答案B

解析当M=3m时，0=5.544,

5.544_5.544

所以w—In4=21n2>

5.544.

由v=w\n-21n2lnl1+25j=8,

得ln（l+即比2,所以1+圣仁e2p7.389,

解得159.725心160（吨）,

即M至少约为160吨.故选B.

考点三构建函数模型解决实际问题

角度1构建二次函数模型

例3某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为H%（即每销售

100元征税R元），若每年销售量为（30一|@万件，要使附加税不少于128万元，

则R的取值范围是（）

A.[4,8]B.[6,10]

C.[4%,8%]D.[6%,10%]

答案A

解析根据题意，要使附加税不少于128万元，需（30—|R）X160XR%2128,

整理得R2-12R+32W0,解得4W&W8,

即/?e[4,8].

角度2构建分段函数模型

例4（2023•临沂测试）已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1

千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x千件（0<xW25）并全部销售

完，每千件的销售收入为R（x）（单位：万元），且R（x）=

fl08-1^2,0<xW10,

175

-x+—+57,10<xW25.

、A

⑴写出年利润段）（单位：万元）关于年产量M单位：千件）的函数解析式；

(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？(注:

年利润=年销售收入一年总成本)

r3

解(1)当OVxWlO时，兀c)=xH(x)—(100+27x)=8合一子一100；

当10<xW25时，./(x)=xH(x)—(100+27x)=-f+30x+75.

8lx——100,OVxWlO,

故/U)=,

f+30x+75,10<x<25.

⑵当OVxWlO时,

由/(x)=81—f=—(x+9)(x—9),

得当”W(0,9)时，了(力>0,Kx)单调递增;

当xW(9,10)时，/(x)V0,单调递减.

故«r)max=犬9)=81X9-1X93-100=386.

当10VxW25时，«r)=—/+301+75=—(x—15)2+300W300.

综上，当尤=9时，年利润取最大值386.

所以当年产量为9千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大.

感悟提升在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.

⑵建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学

知识，建立相应的函数模型.

(3)解模：求解函数模型，得出数学结论.

⑷还原：将数学结论还原为实际意义的问题.

训练3(1)(2023・重庆巴蜀中学月考)某公司的收入由保险业务收入和理财业务收

入两部分组成.该公司2020年总收入为200亿元，其中保险业务收入为150亿元，

理财业务收入为50亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前

一年增加20亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从

2021年起每年通过理财业务的收入是前一年的，倍.若要使得该公司2025年的保

险业务收入不高于当年总收入的60%,则r的值至少为()

55

A.^24B.V^6

C.V14

答案A

解析由题意可知2025年的总收入为300亿元.

因为要求从2021年起每年通过理财业务的收入是前一年的r倍,

所以2025年通过理财业务的收入为505亿元,

所以300—50/W300X0.6,解得

故，的值至少为汨Z

⑵国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票

每张收费900元；若每团人数多于30,则给予优惠：每多1人，机票每张减少10

元，直到达到规定人数75为止.每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15

000元.

①写出飞机票的价格关于人数的函数；

②每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

解设该旅行团的人数为X,由题意得0<xW75(xCN*),飞机票的价格为y元.

旅行社可获得的利润为w元.

①(i)当0«0时，y=900,

(ii)当30<xW75时，y=900-10(x-30)=-10x+1200,

900,0WxW30,

综上，有y=<,.

,I-10x+1200,30<x<75.

②当0W尤W30时，w=900x—15000,

当x=30时，wmax=900X30-15000=12000(元)；

当30<xW75时，

讪=(—10x+l200)-x-15000=-10^+1200x-15000=-10(x-60)2+21000,

当x=60时，w最大为21000元，

所以每团人数为60时，旅行社可获得最大利润.

分层精练•巩固提升

【A级基础巩固】

1.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列

四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（）

X1.992345.156.126

y1.5174.04187.51218.01

A.y=2x—2B.y=T（x2—1）

C.y=log2XD.y=k）glx

2

答案B

解析由题中表格可知函数在（0,+8）上是增函数，且y的变化随x的增大而增

大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.

2.据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y（只）近似满足y=Alog3（x+l）,观测

发现第2年有越冬白鹭1000只，估计第5年有越冬白鹭（In2^0.7,In

3F」）（）

A.1530只B.1636只

C.1830只D.1930只

答案B

解析•••第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y（只）近似满足y=0og3（x+l）,

且当x=2时，y=\000,

，1000=Uog33,解得1=1000,

当尤=5时，y=l000Xlog36=1000X（log33+log32）=10。。乂（1+耨卜1636.

3.（2022.永州二模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人

都没有免疫力的情况下，每名感染者平均可传染的人数.假设某种传染病的基本

传染数为Ro,1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人

接种过疫苗仔称为接种率），那么1个感染者传染人数为招（N—V）.已知某种传染

病在某地的基本传染数R）=4,为了使1个感染者传染人数不超过1,则该地疫苗

的接种率至少为（）

A.45%B.55%

C.65%D.75%

答案D

解析为了使1个感染者传染人数不超过1,只需节（N—V）W1,

即囚（I一第wi.

V1

因为Ro=4,所以1—RWQ

V3

可得斤2彳=75%.故选D.

4.（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同

学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路

程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（）

A.甲同学从家出发到乙同学家走了60min

B.甲从家到公园的时间是30min

C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快

D.当0WxW30时，y与x的关系式为>=代为

答案BD

解析在A中，甲在公园休息的时间是10min,

所以只走了50min,A错误；

由题中图象知，B正确；

甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以

甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；

当0〈尤W30时，设y=^（AW0）,则2=30K解得左=上，D正确.

5.（2023・连云港质检）某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用

是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于

设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最

低，该企业需要更新设备的年数为（）

A.8B.10

C.12D.13

答案B

解析设该企业需要更新设备的年数为x（xGN*）,设备年平均费用为y万元，

Y（2+2x）

则X年的设备维护费用为2+4+6+…+2x=——2——=x（x+l），

所以x年的平均赛用

尸---------；--------=X+T+声2yx・丁+厂受（万兀），

当且仅当x=10时，等号成立，

因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为10.

6.（2023•淮南一模）2020年9月22日，我国在第七十五届联合国大会上提出：二氧

化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.为了响应党

和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，把二氧化碳转

化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理

量x（单位：吨）。引120,500]）之间的函数关系可近似表示为＞=

80/+50皿，xE[120,144）,

'为使二氧化碳每吨处理成本最低，则处

2X2-200A-+80000,%e[144,500],

理量x等于（）

A.120吨B.200吨

C.240吨D.400吨

答案D

解析由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本

-80x+5040,xG[120,144),

S=\

1200+竽问144,5001,

当％e[120,144)时，S=$2一80%+5040；

当x=120时，S取得最小值240；

当时，,180000

xW[144,500]S=gx—200+^^22产—--200=200,

I，口.」80000

当且仅当呼=—^一，

即x=400时取等号，此时S取得最小值200.

综上，所求处理量为400吨.故选D.

7.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若尸处有一棵树与两墙的距离分别

是4m和am(0<aV12),不考虑树的粗细.现用16m长的篱笆，借助墙角围成一

个矩形花圃ABCD,设此矩形花圃的最大面积为u,若将这棵树围在矩形花圃

内，则函数"=负。)(单位：n?)的图象大致是()

答案B

解析设AO长为x,则CD长为16一工

又因为要将P点围在矩形ABC。内，

所以a«2,

则矩形ABCD的面积为16—x).

当0VaW8时，当且仅当x=8时，u=64；

当8V0V12时，u=a(16~a),

64,0V4W8,

所以u=\z、

a(16—a),8<a<12,

分段画出函数图象，可得其形状与B选项中图象接近.

8.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一

半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之

一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性

探测器探测不到，则它至少要经过个“半衰期”.

答案10

解析设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经过〃个“半衰期”后的含

/甲1

由团<1000,得〃20.

所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经

过10个“半衰期”.

9.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某

品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=crjA（a为常数），广告效

应为。=6回一A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为

（用常数。表示）.

答案

解析令t=/（f20）,则A=F,

.,•当/■=%,即屋时，。取得最大值.

10.某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/100千

克）与上市时间*单位：天）的数据如下表：

时间r60100180

种植成本。11684116

根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t

的变化关系：

Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=ah',Q=a-log".

利用你选取的函数，求：

①西红柿种植成本最低时的上市天数是；

②最低种植成本是元/100千克.

答案①120②80

解析因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当7=60和7=180时

种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变

化关系应该用二次函数Q=aP+6+c,即Q=a（f—120）2+机描述，

a(60-120)2+m=116,«=0.01,

将表中数据代入可得解得<

a(100-120)2+m=84,/%=80,

所以<2=0.01(r-120)2+80,

故当上市天数为120时，种植成本取到最低值为80元/100千克.

11.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险

状态，经抢修排气扇恢复正常.排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64

ppm,继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度

y(ppm)与排气时间«分钟)之间存在函数关系(c,机为常数).

⑴求c,机的值；

(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地

下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？

；4=<,

解(1)由题意可得〈,„

上周8,

fc=128,

两式相除，解得1

[m-4,

(2)由题意可得128出<0.5,

所以，即528,解得「232.

故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.

12.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知

生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产尤台，需另投入

-2X2+80X,0VXW40,

成本万元，且由市场调研知，该

G(x)G(x)="1201H,丁3600—2100,40〈后.100,

产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.

(1)写出年利润卬⑴万元关于年产量x台的函数解析式(利润=销售收入一成本)；

(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？

解(1)由题意可得，当0<xW40时,

W(x)=200x-(2x2+80x)-300=-2^+120x-300；

当40VxW100时，

,3600…八(,3600>,

W(x)=200x—(201x+—^—―2100j-300=-^+—J+1800,

-2^+120%-300,0<后40,

所以W(x)=<(x+咨当+1800,40<x<100.

(2)若0V尤W40,W(X)=-2(X-30)2+1500,

所以当X=30时，W(x)max=1500万元.

若40JW100,

卜^^)+1800W-+1800=-120+1800=1680,

W(x)=—x

3600

当且仅当

x=x

即X=60台时，W(x)max=1680万元.

所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.

【B级能力提升】

13.(2022•北京密云区期末)心理学家有时使用函数Uf)=A(l-e一打)来测定在时间t

min内能够记忆的量L,其中A表示需要记忆的量，攵表示记忆率.假设一个学生

有200个单词要记忆，心理学家测定在5min内该学生记忆20个单词，则记忆率

%所在区间为()

40,劾B局台

C.£,Io)D.41)

答案A

解析将A=200,t=5,L=20代入〃f)=A(l—e"),

9

解得。而，

其中y=ef•在R上单调递减，

而(efFe,(9、-4loooo

lioj_6561<e

了=%-4在（0,+8）上单调递减，

1।9

所以e-5X^=e-；<75>

III9

结合y=e*的单调性可知e-£Ve-：Ve二V正，

IIIg

5X5X5X

即e--<e--<e--<iU，

9

而e-5x0=e0=l>Y^,

其中y=「5x为连续函数，

故记忆率左所在区间为（0,留.故选A.

14.（2023.惠州调研）某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度

d（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度/对保温效果的影响，利用热

传导定律得到热传导量q满足关系式q=h其中玻璃的热传导系数为

=4X10、焦耳/（厘米,度），不流通、干燥空气的热传导系数22=2.5X10-4焦耳

/（厘米•度），为室内外温度差，q值越小，保温效果越好，现有4种型号的双

层玻璃窗户，具体数据如表所示：

型号每层玻璃厚度。（单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度/（单位：厘米）

A型0.43

B型0.34

C型0.53

D型0.44

则保温效果最好的双层玻璃的型号是（）

A.A型B.B型

C.C型D.D型

答案D

[△7]4X1()-3X|△刀4*103义|△刀

解析由题意得,q=hpi/,4X103,­-16/+2J-

《江+2J时尸/+2"

固定公刀，可知16/+24越大，q越小，保