2020-2021学年北京市昌平区高一（下）期末数学试卷(解析版)

2020-2021学年北京市昌平区高一（下）期末数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）.

1.在复平面内，复数―丁对应的点位于（)

1+1

A.第一象限B.第二象限c.第三象限D.第四象限

c.23兀,

2.sin---=()

6

「a

A1BD,

2-422

,4

3.已知角a终边经过点尸（-3,y）,且tanCl二Q,则cosa=()

0

.3

A.石c—D

5-4

4.已知△ABC中，ZC=90°,AC=2,BC=1,则屈•诟=()

A.2B.V5C.4D.2“

5.已知函数f（x）=2sin（3x+O）（3>0,|。IVy）的部分图象如图所示，则3,<p

分别是（）

兀7T

A.(n=l,0=——B.3=2,0-C.3=1,(p=——D.3=2,

66

6.在△ABC中，若a2+c2=b2-J^ac，则/台=()

2兀口一

7.要得到函数y=3sin（2x_）的图象，只需将函数y=3sin2x的图象（）

6

兀一

A.向右平移-十个单位长度

6

71

B.向左平移七个单位长度

C.向右平移二个单位长度

D.向左平移逋个单位长度

8.已知正四棱锥的侧棱长为2,高为'历.则该正四棱锥的表面积为（）

A.473B.2+473C.4+473D.4+8愿

9.在平面直角坐标系xOy中，窟，而，EF，&是单位圆上的四段弧（如图），点尸在其

中一段上，角a是以3为始边，0P为终边.则“点P在而上”是“tana>sina>cosa”

的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.在棱长为1的正方体中，M,N分别为A4i,CG的中点，。为底面

A3CD的中心，点尸在正方体的表面上运动,且满足NPLMO,则下列说法正确的是（）

A.点P可以是棱83的中点

B.线段NP的最大值为喙

C.点尸的轨迹是平行四边形

D.点尸轨迹的长度为

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11.函数丫=3{211@q一）的定义域是.

12.设aeR,复数z=（1-/）（«-z）.若复数z是纯虚数，则。=；若复数z在复

平面内对应的点位于实轴上，则。=.

⑶已知单位向量之兀满足；其卷,则之与E夹角的大小为------------------H^-2bl

14.已知/是平面B外的一条直线.给出下列三个论断：

①⑪仇

②/_La；

③/〃0.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命

题：.

15.已知sina+3cosa=0,贝!Jsin2a+cos2a=.

16.设向量nv=(4cos春，0)，n=(sin~^_，1)，函数f(x)=mn..若函数/⑴的定义域

为[a,b],值域为[-1,2].给出下列四个结论：

③五;

则6-。的值可能是.(填上所有正确的结论的序号)

三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

q

17.已知sina=w，且a是第二象限角.

D

(I)求sin2a及tan2a的值；

cos2a

(II)求./兀c、的值•

4

18.已知向量Z=(l,2)，b=(3,-2).

(I)求|a-b|；

(ii)求向量Z与向量E的夹角e的余弦值；

(III)若|c|WI3，且(2a+c)_Lc，求向量a与向量l的夹角.

19.在△A3C中，a^-c-sinC=^--再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为

314

已知，求：

(1)ZA的大小；

(II)cosB和b的值.

条件①：b-a=}-,

条件②：ccosA=-5.

20.如图，在直四棱柱ABC。-421GA中，AB//CD,AB±AD,E为上一点，AB=

AD^AE=1,CD=2.

(I)求证：BELAD；

(II)求证：BE〃平面CDCiG；

(III)设平面EBC与棱加＞i交于点R确定点尸的位置，并求出线段。尸的长度.

s-^+>/3cos2-^---y-(w>0)­

21.已知函数f(x)=sin~?

(I)若/(尤)的最小正周期为m求/(x)的单调递增区间；

(II)若f(x)＞噂在〔0，上恒成立，求实数3的取值范围；

TT

(III)若3=1,g(x)=10f(X-)-8,证明：存在无穷多个互不相同的正整数X0,使

O

得g(xo)>0.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分,共50分.在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项）

1.在复平面内，复数一丁对应的点位于（)

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解:vT7T=（iH）a-i）

.••复数日对应的点的坐标为（/,£）,位于第一象限.

故选：A.

.23兀,

2.初丁=()

A.41

B.C.返

-222

92JT._7_1_1

解：sin~~--二sin(4兀T)=sin(__6")=

6~sln6F

故选：B.

4

3.已知角a终边经过点尸(-3,y),且tanQ=Q，则cosa=()

o

A3.3「4

A.--BD.±—C.—

555

4

解：•・,角a终边经过点尸(-3,y),且tanCl二段，

o

.4y

tanCI=—=—y=-4，

o-o

-33

cosa=V](-3)2q+(-4)2~~T5".

故选：A.

4.已知AABC中，NC=90°,AC=2,BC=1,则标•正=()

A.2B.遥C.4D.275

解：在RtZXABC中，AB=VAC2+BC2=V5，

AC2

cosA=

AB乐’

2

•'•AB-AC=IABI-1AC|cosA=J^X2x=4.

V5

故选：c.

5.已知函数f（x）=2sin（3x+O）（3>0,|W）的部分图象如图所示，则3,<p

分别是（）

▲兀

A.3=1,（pB.3=2,0=-y-C.3=1,。D.3=2,(J)=-^-

663

TTjr

解：由图象可得最小正周期T=4（---）=TT,

O

所以3=牛=2,

由五点作图法可得2X^+（p=等，可得（p=；.

故选：D.

6.在△ABC中，^a2+c2=b2-V3ac）则/8=（）

解：因为r+c'b？-d^ac，

所以由余弦定理可得cos3=a2+c2-b，2=二叵三=一返_,

2ac2ac2

因为Be（0,TT）,

所以8=誓.

6

故选：D.

兀

7.要得到函数y=3sin（2x_）的图象，只需将函数y=3sin2x的图象（）

6

JT

A.向右平移丁个单位长度

6

B.向左平移各个单位长度

6

C.向右平移专个单位长度

D.向左平移彳|■个单位长度

解：要得到函数y=3sin（2x-?）的图象，只需将函数y=3sin2x的图象向右平移三个

单位长度即可，

故选：C.

8.已知正四棱锥的侧棱长为2,高为近.则该正四棱锥的表面积为（）

A.473B.2+4/3C.4+4>/3D.4+8«

解：如图，由题可知正四棱锥V-A5CZ）中，丫0=近,VB=2,

则02=1VB2_VC）2=/4-2=历，

故AB=J^OB=2,

所以该正四棱锥的表面积为4X

故选：C.

9.在平面直角坐标系xOy中，源，而I，一谛，谕是单位圆上的四段弧（如图），点P在其

中一段上，角a是以Ox为始边，0P为终边.则''点尸在加上"是"tana>sina>cosa”

的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解：①若点尸在而上，根据题意作出如下图形：过点P作尸轴，垂足为

•.•点尸在&上，且/a=/xOP,：.1>MP>OM>0,

up

则可得：sina=MP>0,cosa=OM>Otana=---->0,

f0M

故可得：tana>sina>cosa,.;充分性成立，

②若点尸在&上，根据题意作出如下图形：过点P作尸轴，垂足为N,

•.,点尸在加上，且/a=NM?P,：.1>ON>PN>0,

wp

则可得：sina=-N尸VO,cosa=-ON<3tana=---->0,

ON

故可得：tana>sina>cosa,，必要性不成立，

・••点P在加上是tana>sina>cosa的充分不必要条件.

故选：A.

10.在棱长为1的正方体ABCO-A/iGA中，M,N分别为A4i,CG的中点，O为底面

ABC。的中心,点尸在正方体的表面上运动，且满足NP_LMO,则下列说法正确的是（）

A.点尸可以是棱3囱的中点

B.线段NP的最大值为返

2

C.点P的轨迹是平行四边形

D.点尸轨迹的长度为

解：如图，连接AC,AjC,取CZ）中点-CB中点E,连接NP,NE,EF.

因为。分别为441,AC的中点，所以MO〃AiC.

在正方体中，4CL平面GDB,又平面NEF〃平面CQ8,所以4CL平面NER

所以，平面NE凡故尸点的轨迹为

所以尸点的轨迹长度为△'£下的周长为考2,NP的最大值为NE,

故选：B.

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11.函数y=3tan（x—日-）的定义域是，生#k冗+■芍-，k€Z]_.

解：令X--“K-]-+k兀，k€Z,

解得x卉k兀+'当二k€Z,

TTOTT

所以函数y=3tan(尤-下)的定义域为{小大女冗+，k€Z},

44

故答案为：{x|r/：k冗4^二，k€Z}.

12.设〃ER,复数z=(1-z)(a-z).若复数z是纯虚数，则a=1；若复数z在复

平面内对应的点位于实轴上，则a=一1.

解：z=(1-力(〃-力=(〃-1)+(Q+1)i,

若复数Z是纯虚数，则!a-l?,

la+1卉0

若复数z在复平面内对应的点位于实轴上，则a+l=O,.•々=-1.

故答案为：1,-1.

13.已知单位向量之，石满足；吊"•，则；与芯夹角的大小为口-2%|/3_.

解：根据题意，设之与E夹角为3

单位向量a，b满足a，b节，则有软•b=cosO=q，

兀

又由oweWm则。=二「

O

la-2bl2=a2+4b2-W%=3，则|a-2bI=«；

故答案为：-1，Vs-

14.已知/是平面0外的一条直线.给出下列三个论断：

①a_L0；

②/_La；

③/〃0.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：①②

n③或②③n①.

解：若。_1_0,/_La,/是平面自外的一条直线，

则由线面垂直的性质和线面平行的判定定理得z//p.

①②n③是真命题；

若/_!_n，///p,则由面面垂直的判定定理得a_L0.

.••②③n①是真命题.

故答案为：①②二＞③或②③=①.

15.已知sina+3cosa=0,贝！Jsin2a+cos2a=.

—2—

解：由sina+3cosc(=0,得sina=-3cosa,即tana=-3,

..c22sinCLcosCI+cos^CL2tana+1

••sin2a+cosza=-----------------------=?

sina+cosatana+1

-6+1_]

一(-3产+12-

故答案为：4.

16.设向量m=(4＜：0$今，0),n=＞1),函数f(x)=irrn.若函数/(x)的定义域

为[a,b],值域为[-1,2],给出下列四个结论：

_71

©-Z-；

o

②…・5兀；

6

③H；

④管

6

贝〃的值可能是②③④.(填上所有正确的结论的序号)

解：•・•向量m=(4cos^~，0)，n=(sin-|-，1)，函数f(x)=mn=4sin_|"cos^~+0=2sinx.

若函数/(x)的周期为2m定义域为[〃，切，值域为[-1,2],

兀兀9JT

故当a=2kn-,b=2kn-^——,在Z时，b-a取得最小值为；

623

故当a=2kn-b=2kR+7?，在Z时，b-a取得最大值为4T”,

663

故答案为：②③④.

三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

3

17.已知sina=且a是第二象限角.

b

(I)求sin2a及tan2a的值；

cos2a

(II)求,/兀「、的值.

解：(I)已知sina二去且a是第二象限角.

b

43

cosa=--ytana.

54

,24cr2tana24

则sin2a=2sinacosa=f，tan2a1一7~；

251-tan4a'

cos2acos2a-sin2a

(II).K、".兀7T

a)sincosa-cos-^-sinCl

(cosa+sinQ)(cosQ-sinQ)(cosCL+sinQ)(cosQ-sinJ)

警cosa-半sina

osa-sina)

cosa+sina

=返=j/2

5

18.已知向量Z=(l,2)，b=(3,-2).

（I）求|a-bI；

（ID求向量Z与向量E的夹角e的余弦值；

（III）若|c|WI5，且（2a+c）_Lc，求向量；与向量c的夹角•

解：(I)因为a=(l,2)>b=(3,-2)>

所以a-b=(-2,4).

所以I=7(-2)2+42=2A/5-

(II)因为a.b=lX3+2X(-2)=7，|"a|=V12+22=V5,lb|=Vs2+(-2)2=713,

、।r>a,b—1765

所以COSe|a||b|=VL5、X，~V1365■

(III)因为(25+3)1W，

所以(2a+c)c=0-

即2ac+c2=0-

所以21alicIcos(a,c?+lc|2=0-

即2乂收乂^/73义cos〈Z,"c>+10=0,

所以cos《a，c》=q^.

因为(a>c)€[0,冗],

所以<q,

4

19.在AABC中，a=4c,sinC=—.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为

314

已知，求：

(I)ZA的大小；

(II)cosB和b的值.

条件①：b-a=l；

条件②：ccosA=-,.

解：选择①：b-a=\.

(1)在△ABC中，因为sinC=刍g*，

314

所以由正弦定理得sinA二且■sinC^^".

因为b-a=l,

所以a<b.

.TT

所以0</

兀

所以NA"--

o

,7

(II)因为

所以a>c.

TT

所以0〈/C<7丁.

因为sinC=,严'

14

^f^cosC=Vl-sin2c41--

所以cosB=cos[n-(A+C)]=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC=

返x迤二X迫

2142147

法一：

所以sinB=V1-COS2B•

ba

由正弦定理得去百砺~，即%=8a.

因为b-a—\,

所以b=8.

法二：

因为b-a=l,

所以a=b-1.

7

因为@一万6

QQ

所以c与a=y(b-l).

所以b2=a2+c2-2accosB=(b-1)2+-^-(b-l)2-2(b-l)X-|-(b-l)X(-y)•

所以49^=64(b-1)2.

所以7b=8(b-1).

所以b=8.

(或15扶-128b+64=0.即(156-8)Cb-8)=0)

所以bT■或6=8・

lb

因为b-a=\,

所以(舍)・

lb

所以b=8.

3

解：选择②：ccosA=一万.

(I)在△ABC中，因为sinC=与乌，

314

所以由正弦定理得sinA^^sinC

c/

3

在△ABC中，CCOSA=-5，

所以［"■<NA<兀•

所以NA2*兀一.

O

7

(II)因为

o

所以a>c.

,TT

所以0<NC<-^-.

因为sinC=3/，

14

所以cosC=tl-sin2c

所以cosB=cos[n-(A+C)]=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC

返X盟Idx型』.

21421414

法一：

所以sinB=V1-COS2B=冷,

、3

因为ccosA=_]，

3

所以c~^=3.

F

be

由正弦定理得5、Q=34，

-141F

所以b=5.

法二：

、3

因为ccosA=_]，

3

所以c-^-=3.

F

7

所以a=yc=7.

o

所以加=”+/_2accosB=49+9-2X7X3X»=25.

14

所以b=5.

20.如图，在直四棱柱ABCD-AiBCQi中，AB//CD,AB±AD,E为上一点，AB

AD^AE=1,CD=2.

(I)求证：BE±AD；

(II)求证：BE〃平面CDQiG；

(III)设平面EBC与棱。Di交于点孔确定点P的位置，并求出线段DP的长度.

D\

【解答】（I）证明：在直四棱柱ABCD-A由〈Qi中，

因为A4i_L平面ABC。，AOu平面ABCD,

所以A4」AD

因为AB_LA。，ABHAAi^A,

所以AD,平面A231Al.

因为BEu平面ABBiAi,

所以BEL4D

（II）证明：法一：

因为AB〃C£>,AAi//DDi,ABHAAi=A,CDCWDi=D,

所以平面ABB1A1〃平面CDDiCi.

因为BEu平面AB3A1,

所以BE〃平面CDDiG.

法二：

取CO中点”，连接

因为A3=l,CD=2,AB//CD,

所以AB〃HD且AB=HD.

所以ABHZ）是平行四边形.

所以BH//AD且BH=AD.

在DA上取点G,使。G=AE=1,连接EG.

所以AE〃QG且AE=DG.

所以AOGE是平行四边形.

所以EG//AD且EG=AD.

所以BH//EG且BH=EG.

所以BEG#是平行四边形.

所以BE//GH.

因为平面CDDiG,GHu平面CDDiG,

所以BE〃平面CDDCi.

（IID解：法一：

延长CB,D4交于点G,连结GE,延长GE交于点R连接CE

因为A3〃CD,AB=l,CD=2,

所以A,B分别为GO,GC的中点.

因为AE〃/）R

所以E为GF的中点.

所以DF=2AE=2.

法二:

由（II）法二，在平面CDDiCi中作CF//GH,交DDi于点F,连接EF.

所以CF//BE.

所以点尸即为平面EBC与棱DDi的交点.

因为“为CD中点，

所以G为中点.

因为。G=AE=1,

所以DF=2.

21.已知函数f(x)=sin-^cos-^+V3cos2—w>0)•

(1)若/(x)的最小正周期为TT