第三章电路分析中的常用定理

第3章电路分析中的常用定理3.1叠加定理(SuperpositionTheorem)叠加定理:在线性电路中，任一支路电流(或电压)都是电路中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。

当一个电源单独作用时，其余电源不作用，就意味着取零值。即对电压源看作短路，而对电流源看作开路。电源既可是电压源,也可是电流源。叠加定理是线性电路的一个基本定理。三个电源共同作用==us1单独作用+us2单独作用++us3单独作用+us1R1R2us2R3us3i1i2i3+–+–+–iaibR1us1R2R3i1'i2'i3'+–R1R2us2R3i1''i2''i3''+–R1R2R3us3i1'''i2'''i3'''+–例：求电路中各支路电流由上式可见，各支路电流均为各电压源的一次函数，所以各支路电流（如i1）均可看成各电压源单独作用时，产生的电流（如i1'，i1"，i1"'）之叠加。各支路电流为：其中：使用叠加定理时应注意：1、只适用于线性电路，只能用来计算电流或电压，原电路的功率不等于各分电路计算所得的功率。3、每次只看一个独立电源作用，对不作用的电源处理为：电压源短路，电流源开路。2、叠加时注意电压，电流的参考方向，当参考方向一致时相加；当参考方向不同时要相减。4、含受控源电路亦可用叠加定理，但受控源不能单独

作用，受控源应始终保留。5、叠加方式是任意的,电源可单独作用，也可分组作用。例1.求图中电压u。6

+–10V4A+–4

u解:(1)10V电压源单独作用，4A电流源开路4A6

+–4

u''u'=4V(2)4A电流源单独作用，10V电压源短路u"=-42.4=-9.6V共同作用：u=u'+u"=4+(-9.6)=-5.6V+–10V6

+–4

u'注意参考方向！例2

用叠加原理求I

。

解：12V电压源单独作用（如图a):

12V+-1Ω4ΩI6A2A4Ω4Ω2Ω+-VI＇124Ω4Ω4Ω2Ω1Ω图a2A单独作用(如图c)：

叠加：

6A单独作用(如图b)：

4Ω6AI＇＇2Ω4Ω1Ω4Ω＇＇２AIΩ＇4Ω4Ω4Ω2Ω1图b图c例3计算电压u(独立源分组作用)3A电流源作用：解:u＋－12V2A＋－1

3A3

6

6V＋－画出分电路图＋u''i''＋－12V2A＋－1

3

6

6V＋－1

3A3

6

＋－u'其余电源作用：例4

用叠加原理求4V电压源发出的功率。

3V电源单独作用：解：用叠加原理求电流I。

4V电源单独作用：

叠加：4V电压源发出的功率：例5.

求电压Us。(1)10V电压源单独作用：(2)4A电流源单独作用：解:Us'=-10I1'+4=-101+4=-6VUs"=-10I1"+2.44=-10(-1.6)+9.6=25.6V共同作用：Us=Us'+Us"=-6+25.6=19.6V+–10V6

I14A+–Us+–10I14

10V+–6

I1'+–Us'+–10I1'4

6

I1''4A+–Us''+–10I1''4

例6封装好的电路如图，已知下列实验数据：研究激励和响应关系的实验方法解根据叠加定理代入实验数据：无源线性网络uSi－＋iS例7.解:采用倒推法：设i'=1A，推出此时us'=34V。则RL=2

R1=1

R2=1

us=51VR1R1R1R2R2RL+–usiR22A+–2V5A13A3A8A21A+–3V+–8V+–21V+–us'=34Vi'=1A推论：当电路中只有一个独立电源时，由叠加定理推知，该电路中各处电压或电流，都与该独立电源成正比关系。这个关系称为齐性定理。求电流i。1.5A在电路分析中，有时只需要研究电路中某一条支路的电压或电流。对所研究的支路来说，电路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路),使分析和计算简化。戴维南定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。戴维南定理和诺顿定理合称为等效电源定理。R3R1R5R4R2iRxab+–us

3.2戴维南定理与诺顿定理1、定理内容:任何一个线性含有独立电源、线性电阻和线性受控源的二端网络，对外电路来说，可以用一个电压源(Uoc)和电阻Req的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于一端口的开路电压，而电阻等于一端口中全部独立电源置零后的输入电阻。

(对外等效！)AabiiabReqUoc+-

3.2.1戴维南定理(TheveninEquivalent)2.证明:(a)(b)(对a)利用替代定理，将外部电路用电流源替代，此时u,i值不变。计算u值。=+根据叠加定理，可得电流源i为零网络A中独立源全部置零12Ai+–uN'iUoc+–uN'12+–Req12Ai+–u12A+–u'12Pi+–u''Requ'=

Uoc(外电路开路时1

、2间开路电压)

u"=

-

Reqiu=u'+u"=

Uoc

-

Reqi此关系式恰与图(b)电路相同。例10

10

+–20V+–Uocab+–10V1A5

2A+–Uocab5

15VabReqUoc+-应用电源等效变换I例(1)

求开路电压Uoc(2)

求输入电阻Req10

10

+–20V+–Uocab+–10V5

15VabReqUoc+-应用戴维南定理

两种解法结果一致，戴维南定理更具普遍性。注意3小结：(1)戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。(2)

串联电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的等效电阻。(3)

外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏-安特性等效)。(4)

当一端口内部含有受控源时，其控制电路也必须包含在被化简的一端口中。

注意：u与i

的方向向内部关联

求等效电阻的一般方法

外加激励法（原二端网络中独立源全为零值）

N0iu+_N0iu+_i

注意：uoc与isc的方向在开路与短路支路上关联

求等效电阻的一般方法

开路短路法Nuoc+_..Nisc

求等效电阻Req时，若电路为纯电阻网络，可以用串、并联化简时，直接用串、并联化简的方法求

说明

无法用串并联化简时，则用一般方法求

当电路中含受控源时，则一定要用一般方法求其戴维南等效电阻例.计算Rx分别为1.2

、5.2

时的I.IRxab+–10V4

6

6

4

解：保留Rx支路，将其余一端口网络化为戴维南等效电路：ab+–10V4

6

6

–+U24

+–U1IRxIabUoc+–RxReq(1)求开路电压Uoc=U1+U2

=-104/(4+6)+106/(4+6)=-4+6=2Vab+–10V4

6

6

–+U24

+–U1+-Uoc(2)求等效电阻ReqReq=4//6+6//4=4.8

(3)Rx

=1.2

时，I=Uoc/(Req+Rx)=2/6=0.333ARx=5.2

时，I=Uoc/(Req+Rx)=2/10=0.2AReqab4

6

6

4

例

图示电路，当R分别为1

、3、5时，求相应R支路电流。解：

求uoc：IR12V+-2Ω4A8V+-2Ω8V+-4Ω4Ω+-6V将左边电路作电源等效变换后，有：去掉全部电源求R0：

+

-uoc0IR16V+-3Ω戴维南等效电路如右图：当R=1

时：当R=3

时：当R=5

时：含受控源电路中戴维南定理的应用求U0。+–3

3

6

I+–9V+–U0ab6I例.abUoc+–Req3

U0-+解：(1)求开路电压UocUoc=6I+3II=9/9=1AUoc=9VUocab3

6

I+–9V+–+–6I(2)求等效电阻Req方法1：加压求流U0=6I+3I=9II=I0

6/(6+3)=(2/3)I0U0=9

(2/3)I0=6I0Req=U0/I0=6

方法2：开路电压、短路电流(注意方向)(Uoc=9V)6I1+3I=9I=-6I/3=-2II=0Isc=9/6=1.5AReq=Uoc/Isc=9/1.5=6

6

6I3

I+–9VIscab+–I1ⅠⅡU0I03

6

I+–ab+–6I(3)等效电路abUoc+–Req3

U0-+6

9V例

求流过9Ω电阻的电流。+-uoc49+-Ωixi6+-V620ΩΩixiΩR+-ixou646+-ixΩKVL:求Req：方法一:将20V短接,外加电源u。解：断开9Ω支路求UocKVL：

方法二:将a、b短路，此时ix=0Ω30V69+-iΩVΩ4sc+-+-6206xiabiixΩ则：6ix=0所以戴维南等效电路如有图：00例.解：(1)a、b开路，I=0，Uoc=10V(2)求Req：加压求流法U0=(I0-0.5I0)+I0

=1.5I0Req=U0/I0=1.5k

abUoc+–+–U

R0.5k

Req(含受控源电路)用戴维南定理求U+–10V1k

1k

0.5Iab

R0.5k

+–UI1k

1k

0.5Iab+–U0II0U=Uoc

500/(1500+500)=2.5VIsc=-I，(I-0.5I)

103+I

103+10=01500I=-10

I=-1/150A即Isc=1/150A

Req=Uoc/Isc=10

150=1500

ab10V+–+–U

R0.5k

1.5k

(3)等效电路：开路电压Uoc、短路电流Isc法求Req：Req=Uoc/IscUoc=10V（已求出）求短路电流Isc(将a、b短路)：另：+–10V1k

1k

0.5IabIIsc加流求压法求ReqI=I0U0=0.5I0

103+I0

103=1500I0

Req=U0/I0=1500

1k

1k

0.5Iab+–U0II0解毕！任何一个含独立电源，线性电阻和线性受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电流源和电导(电阻)的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，而电导(电阻)等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导(电阻)。3.2.2诺顿定理(NortonEquivalent)戴维南定理和诺顿定理也常称为等效发电机定理。AababGi(Ri)Isc诺顿等效电路可由戴维南等效电路经电源等效变换得到。例.求电流I。12V10

24Va4

2

+–bI+–4

IabGi(Ri)Isc(1)求IscI1=12/2=6A

I2=(24+12)/10=3.6AIsc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A解：2

10

+–24VabIsc+–I1I212V(2)求Req：串并联Req=10

2/(10+2)=1.67

(3)诺顿等效电路:I=-

Isc

1.67/(4+1.67)=9.6

1.67/5.67=2.83AReq2

10

abb4

Ia1.67

-9.6A解毕！

最大功率传输定理

一个含源线性二端网络，总可以用一条戴维南等效电路对外部等效。当此含源线性二端网络外接一个负载电阻时，其中等效电源发出的功率将由等效电阻与负载电阻共同所吸收。在电子技术中，总希望负载电阻上所获得的功率越大越好。那么，在什么条件下，负载电阻方可获得最大功率？负载电阻的最大功率值Pmax=？

NiRLUoc+_ReqiRL负载电阻的功率：而：故：利用数学中求极值的方法：令,得Uoc+_ReqiRL

当负载电阻R

L与戴维宁等效电阻Req相等时，负载电阻可从含源线性二端网络获得最大功率。此时最大功率为：

而戴维宁等效电路中电源UOC的效率:

可见此时等效电源Uoc的效率只达50%，而Uoc所产生的功率有一半白白地损耗在等效电阻Req上，这在电力系统中是决不允许的，故电力系统中通常取RL>>Req。负载电阻吸收的功率和电源Uoc的效率随负载电阻变化的曲线如图所示

注意：此时是指可调负载RL可获最大功率的条件为

RL=Req，而不是Req可调

50%PmaxP,η

P~RLη～RL0RL

定理内容:3.3替代定理(SubstitutionTheorem)在任意的线性或非线性网络中，若已知第k条支路的电压和电流为Uk和Ik，则不论该支路是何元件组成的，总可以用下列的任何一个元件去替代：3、电阻值为的理想电阻元件Rk

1、电压值为Uk的理想电压源2、电流值为Ik的理想电流源

替代后电路中全部电压和电流都将保持原值不变

替代定理如图所示电路说明

NIkUk+_可替代为NIkUk+_NIkUk+_可替代为NIkUk+_NIkUk+_可替代为NIkUk+_Rk注：1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。3.替代后其余支路及参数不能改变。2.若支路中的电压或电流为其余电路中受控源的控制量，则该支路不能被替代。4.分析电路时，对电路中各等电位点可以看作短路，对其零电流支路可以当作开路处理。例.求图示电路中R的值。I3=8/5A124812AΩRIRI2ΩΩΩUR+-+4.84A48V4Ω-

用4A电流源替代R，且电路化简后如图示。解：有：1、叠加定理线性电路中，如果激励为多个独立源，每个支路的响应可以看作是每个独立源单独作用时，在该支路上产生的响应的叠加。a.叠加定理只适用于线性电路。b.在各分电路中只有一个电源作用，其余电源置零，电阻和受控源要保留在分电路中。电压源为零电流源为零—短路—开路使用叠加定