2022－2023学年河南省郑州市重点学校高三（上）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022—2023学年河南省郑州市重点学校高三(上)期末数学试

卷(理科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.集合2="6的、=恒(4一%)}子集的个数为()

A.3个B.4个C.8个D.16个

2.复平面内，复数点片对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.若向量五、3满足同=|瓦=|五+山,则向量方与向量d—3的夹角为()

A.30°B.60°C.120°D,150°

4.欧拉长方体，又称整数长方体或欧拉彼，指棱长和面对角线长都是整数的长方体.记

E{a,b,c-,d,e,/)为欧拉长方体，其中a,b,c为长方体的棱长，d,e,/为面对角线长.最

小的欧拉长方体是E(44,177,240；267,244,125).从E(44,177,240；267,244,125),

£,(85,132,720；157,725,732),£(140,480,693；500,707,843),E(160,231,792；281,

808,825),£(187,1020,1584：1037,1595,1884),£(195,748,6336；773,6339,6380)中

任取两个欧拉砖，则恰有一个最短棱长小于100的欧拉砖的概率为()

5.抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平

行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反

射光线经过该抛物线的焦点.已知抛物线C：/=2py(p>0),一条平行于y轴的光线，经过

点4(1,4),射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F,若|4B|+\BF\=5,

则抛物线C的准线方程是()

A.y=—B.y=-1C.y=-2D.y=-4

6.设函数g(x)=sin(3x+^)在区间(0,兀)内恰有三个极值点、两个零点，则3的取值范围是

()

A.卷篇B.[|,第C"|片)D.(得]

7.2023年1月底，人工智能研究公司。pen4/发布的名为“ChatGTP”的人工智能聊天程序

进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性

的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=

LqD^,其中L表示每一轮优化时使用的学习率，人表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示

训练迭代轮数，金表示衰减速度,已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为03,衰减速

度为12,且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5.则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需

的训练迭代轮数至少为（参考数据：国2y0.3010）（）

A.35B.36C.37D.38

8.在△力BC中，若4B=2,AC=<7,4aBe=1点P为△ABC内一点,PA1PB且NBPC=年,

则8P=（）

A.V-2B.口C.2D.5

9.两个边长为4的正三角形△ABC与△ABD,沿公共边4B折叠成60。的二面角，若点4,B,

C,。在同一球0的球面上，则球。的表面积为（）

A807rp2087r「647r八1127r

A・—D・-g-C.—U.

10.已知F],尸2分别是双曲线r：今-，=l（a>0,b>0）的左、右焦点，过后的直线分别

交双曲线左、右两支于A,B两点，点C在久轴上，CB=5F^A,BF?平分4F/C,则双曲线厂的

离心率为（）

A.2B*C*D.1

3333

11.已知正方体4BCD-4BiGDi的棱长为2,E,F分别为线段为&,上的动点，过点D,

E,F的平面截该正方体的截面记为0,则下列命题正确的个数是（）

①当&E=2时，461平面0；

②当E,F分别为4/1，BBi的中点时，儿何体4-DEF的体积为1；

③当E为4祖中点且BF=机寸，。与BC的交点为G,满足NG号

④当E为中点且0W8/41时，。为五边形.

A.1B.2C.3D.4

12.下列不等式中不成立的是（）

A.ecos1_1>coslB.nln4<4Inn

20233+12O234+l口

rl°g20222021<10§20242023

•20232+l20233+l'

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.二项式(M一令5的展开式中刀4的系数为_.

14.曲线y=x2-4%+1与坐标轴交于力，B,C三点，则过A,B,C三点的圆的方程为.

15.已知函数/(%)=cos2x-cos%,xE[0,2TT],对于下述四个结论:

①函数y=/(%)的零点有三个；

②函数y=f(%)关于％=yr对称；

③函数y=f(%)的最大值为2；

④函数y=/(%)在存,可上单调递增.

其中所有正确结论的序号为：.

16.已知/'(%)是函数/(久)在其定义域上的导函数，且/(%)-/(%)=/(I)=e2,若函

数=嘴^-ln(mx)+x-2(771>0)在区间(0,+8)内存在零点，则实数小的取值范围是

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

已知等差数列｛斯｝的公差不为零，其前n项和为S”,且是由和&5的等比中项，a2n=2即+

l(nGN*).

(I)求数列｛a“｝的通项公式：

a+1

(H)若bn=2",令Cn=anbn,求数列｛d｝的前几项和%.

18.(本小题12.0分)

某校为了深入学习宣传贯彻党的二十大精神，引导广大师生深入学习党的二十大报告，认真

领悟党的二十大提出的新思想、新论断，作出的新部署、新要求，把思想统一到党的二十大

精神上来，把力量凝聚到落实党的二十大作出的各项重大部署上来.经研究，学校决定组织开

展”学习二十大奋进新征程”的二十大知识竞答活动.

本次党的二十大知识竞答活动，组织方设计了两套活动方案：

方案一：参赛选手先选择一道多选题作答，之后都选择单选题作答；

方案二：参赛选手全部选择单选题作答.

其中每道单选题答对得2分，答错不得分；

多选题全部选对得3分，选对但不全得1分，有错误选项不得分.

为了提高广大师生的参与度，受时间和场地的限制，组织方要求参与竞答的师生最多答3道题

.在答题过程中如果参赛选手得到4分或4分以上则立即停止答题，举办方给该参赛选手发放奖

品.据统计参与竞答活动的师生有500人，统计如表所示:

男生女生总计

选择方案一10080

选择方案二200120

总计

(1)完善上面列联表，据此资料判断，是否有90%的把握认为方案的选择与性别有关？

(2)某同学回答单选题的正确率为0.8,各题答对与否相互独立，多选题完全选对的概率为0.3,

选对且不全的概率为0.3；如果你是这位同学，为了获取更好的得分你会选择哪个方案？请通

19.(本小题12.0分)

如图，在三棱柱力BC—AiBiCi中，。为4C的中点，AB=BC=2,Z-AA^=AB^C.

(1)证明：BBX1AC；

(2)若BBilBC,直线AB】与平面BCGBi所成的角的正弦值为誉，二面角4—8当-C的大

小为60。，求二面角B-BiD-G的余弦值.

20.(本小题12.0分)

已知椭圆言+《=l(a>b>0)的离心率为;，尸为椭圆的右焦点，A为椭圆的下顶点，4与圆

x2+(y-2)2=1上任意点距离的最大值为3+y/~3.

(1)求椭圆的方程；

(2)设点。在直线x=1上，过。的两条直线分别交椭圆于M,N两点和P,Q两点，点F到直线MN

和PQ的距离相等，是否存在实数九使得|DM|•|DN|=4|DP|•|DQ|?若存在，求出4的值,

若不存在，请说明理由.

21.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=M+a》(l-x),aeR.

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)若函数/'(X)有两个极值点刀2，且求证：/(X1)-ax2>-a.

22.(本小题10.0分)

在直角坐标系xOy中，曲线Ci的方程为x=J-*+2〉,曲线C2的参数方程为

：茏不:/‘出0"为参数).以坐标原点。为极点，》轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线G，C2的极坐标方程；

2

(2)若曲线C3：8=a分别交曲线C1，金(不包括极点)于力、B两点，求罄+1的最大值.

\OB\2

23.(本小题12.0分)

已知正实数a,b,c.

(1)若x,y,Z是正实数，求证：4之处b+且；

xyzx+y+z

⑵求捻+E+9的最小值•

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：A=[x&N\y=lg(4-x))={x€N|4—x>0}={0,1,2,3},

集合4子集的个数为24=16个.

故选：D.

用列举法写出集合A即可得解.

本题主要考查子集个数的求解，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：由题得|=舒=言=号繇=2+i,

即复平面内对应的点为(2,1),在第一象限.

故选：A.

根据复数运算及复数的几何意义即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：向量3、3满足回=向=|4+力,

所以|五+旬2=(a+b)2=\a\2+2a-b+\b\2=\a\2=\b\2,

又方7=\a\\b\cos(a,b)，

所以4-b=—||a|2,

\a-b\=J(a-b)2=J|a|2-2a-K+|K|2=<3|a|>

b-(a-b)=\b\\a-b\cos(b,a-b)=>J~3\a\2cos{b,a-b),

Xb-(a-K)=K-a-K2=-j|a|2-|a|2=-||a|2.

2

所以Cl五12cos⑹五一石)=-ba\,COs(b,a-b)=-孕,

又0。<(b,a-b)<180°.所以⑸五一力=150%

所以向量3与向量日-3的夹角为150。.

故选：D.

己知式平方得日不=—g|方『，平方求得|五一川=「同，计算另•伍―方）后可得结论.

本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于中档题.

4.【答案】D

【解析】解：最短棱长小于100的欧拉砖的个数有2个，

故任取两个欧拉砖，则恰有一个最短棱长小于100的欧拉砖的概率为专=

Cl15

故选：D.

先观察出最短棱长小于100的欧拉砖的个数有2个，利用组合知识得到概率.

本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：由题意可知，抛物线的准线方程为丫=-1

根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，

所以|4B|+|BF|=4+^=5,得p=2,

所以抛物线的准线方程为y=-1.

故选：B.

根据抛物线的定义，即可转化求解.

本题主要考查抛物线的性质，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：当x=0时，3乂+，=也0<*<今

oooZ

因此由题意等<0）71+g<3TT,

Zo

解得（<3W?

即3的取值范围是

故选:A.

根据正弦函数的性质列不等式求解.

本题主要考查了正弦函数的性质，属于基础题.

7.【答案】B

5

=-

【解析】解：由已知08x0存8

51

恒

41-<电-

0.8X(|)T2<0.2.(|)12<J-12'84G措=部—,

因此G至少为36.

故选：B.

由已知求得衰减系数。，然后根据已知模型列不等式求解.

本题主要考查函数的实际应用，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：在AABC中，由余弦定理得炉=a2+c2-

2accos^ABC,即7=a2+4-2a,解得a=3,

在RtMBP中，令乙ABP=0,贝IBP=2cos0,

在4BPC中,乙CBP=^-0,LBCP=7r-y-(1-0)=0,

op32cosd

由正弦定理得』n=』，即藤=能,

所以tan。=孕，又。€(05)，所以。=也所以BP=2x《=q.

3J。2

故选:B.

在△2BC中，由余弦定理求得a=3,在中，令乙ABP=9,则BP=2cos0,在ABPC中,

由正弦定理求得。=｝即可得出结果.

O

本题主要考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

9.【答案】B

【解析】解：取的中点E,连接CE,DE,

因为正三角形△4BC与△ABD的边长为4,所以DE14B,

CE1AB,

且DE=CE=2/3,

B

故4CED为二面角D-4B-C的平面角，ACED=60°,

所以ACDE是等边三角形，

取CE的中点F,连接DF,则DFJ.CE,CF=G，DF=CCF=3,

因为。E14B,CE1AB,DECCE=E,DE,CEu平面COE,

所以AB，平面CCE,

因为OFu平面CDE,所以DF14B,

因为4BCCE=E,AB,CEu平面ABC,

所以。F_L平面ABC,

取△ABC的中心G,则点G在CE上，且CG=2EG,故CG=,CE=^，

则球心。在G点正上方，连接DO,OG,OC,过点。作OK1DF于点K,

则。K=GF=殍-C=?，

设GO=h,DO=CO=R,则GO=FK=h,

由勾股定理得。。2=OK2+DK2=；+(3-h)2,OC2=GO2+CG2=h2+(手/，

故"+(3—位2=h2+(殍)2,解得九=

故外接球半径R2=(|)2+(殍)2=等

故球。的表面积为4万/?2=警.

故选：B.

作出辅助线，找到球心的位置及。点在平面4BC上的投影，利用勾股定理列出方程，求出外接球

的半径，进而得到球的表面积.

本题考查与球有关的内切或外接的问题，化归转化思想，属中档题.

10.【答案】A

【解析】解：因为方=5用］，则

CB//F2A,

所以

设|&F2l=2c,则|F2c|=8c,

设|伍|=t,则|BFi|=5t,\AB\=4t.

因为明平分N&BC,由角平分线定理可知，牌=普=/=；

|DCI1广23oC4-

所以|BC|=4田6|=20t,

所以NF2I="|BC|=43

由双曲线定义知|伍|一|伍|=2a,即4t-t=2a,t=等①

又由|BFi|-\BF2\=2a得IBF2I=5t-2a=2t,

在4加2中，由余弦定理知C°S""2=网翦加华E=吗找料="

L'\AD\'\Dr2\ZX4cXZC4

7?7

在4F/F2中，由余弦定理知COSNF】BF2=〔叫愕仁〔产，

gnl_25t2+4亡2-4巴

'厂-2x5tx2t-，

化简得。2=6/，

把①代入上式得C2=等，

解得e=£=呼.

故选:A.

因为方=5不,所以△F、AF2s4FiBC,设I&F2I=2c,则|F2cl=8c,设|力斤|=t,则|8&|=5t,

|4B|=4t.由角平分线的性质可得|%|=43由双曲线的定义可得t=与,\BF2\=2t,再结合余

弦定理可得c2=6t2,从而可求解.

本题考查了双曲线的性质，属于中档题.

11.【答案】C

【解析】解：命题①，&E=2,则E与当重合，截面。即为对角面BDDiBi，

由正方体的性质，BBi_L底面4B1GD1，4Gu底面a/iGDi，

则BB]＞停1，

又41G1B1G，

而B名,当。1是截面BDC/i内两相交直线，

因此41Gl平面BDDiBi，①正确；

命题②，E,F分别为&Bi，BBi的中点，

111O

因为AD1平面AEF,S*EF=22-4x2xl-4x2xl-ixlxl=4,

△A"2222

=X

^A-DEF~^D-AEF=♦S^AEp3X-=1,②正确；

③当E为公当中点且BF=：时，延长E尸交48延长于H,连接DH交BC于G,

由B】E〃BH得髭=胃即8H=智=容J

ojcb^r8［卜23

由BH//DC嚷瑙,

1n

所以匹=3解得BG=£,③正确；

2-BG27

④E为&当中点且0<B】F<1时，

若8/=0,即F与B1重合，

此时易得截面。即为对角面4BiCD,它是四边形，④错误.

D4

故选：c.

命题①中截面即为对角面BDDiBi，易证得线面垂直；命题②中，利用棱锥体积公式计算体积后

可判断；命题③中，延长EF交4B延长线于点H,连接DH交BC于G,然后计算出BG长即可判断;

命题④中，取B/=0,确定截面后可判断.

本题考查立体几何的综合运用，考查逻辑推理能力，属于中档题.

12.【答案】C

【解析】解：对于4令丫=6*-％-1,则y'=e*-l,

由y'<0得x<0,y在(-8,0)上单调递减，由旷>0得x>0,y在(0,+8)上单调递增,

故y2e0-0-1=0,

ex>x+1,

又cosl—140,则e’osiT>cosl—1+1=cosl,故A正确;

对于B：令-x)=¥，则(。)=在要=上挈，

由广⑶<。得%>e,即f(Q在(e,+8)上递减,

・・・/(4)Vg即詈〈詈,

・•・兀)4<4lnn9故B正确;

20233+120234+1_(20233+1)(20233+1)+(20234+1)(20232+1)

20232+120233+1-(20232+1)(20233+1)

(20236+2x20233+1)-(20236+20234+20232+I)_一20232x20222<

(20232+1)(20233+1)-(20232+1)(20233+1)

即20233+120234+1

<,故错误;

'20232+120233+1C

由晦。222。21<晦。242。23变形得黯<瀛g,

令g(x)=£Slj(x>e)，

则八X)=#n(x+l)-启nx_(x+l)ln(x+l)-xbtx,

'"I，—[ln(x+l)]2—x(x+l)[ln(x+l)]2'

]

令九(％)=xlnx9则九'(％)=Inx4-%--=Inx+1,

由九'(%)>0得%>

:./i(x)在(，,+8)上单调递增，BP(%+l)ln(x+1)>x仇》在xe(e,+8)上恒成立，

即g'(%)>0对工G(e,+8)恒成立，贝叼(%)在(e,+8)上单调递增，

・••g(2021)<g(2023),即翟<鬻即log20222021<1哂0242。23,故O正确.

故选：C.

根据不等式婚2%+1,即可判断A；构造函数/(x)=等，利用单调性，即可判断B；作差之后化

简即可判断C;构造函数=布署正，利用单调性，即可判断。.

本题考查利用导数研究函数的单调性,考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，

属于中档题.

13.【答案】90

【解析】解：二项式(/一》5的展开式通项为很。2)5_(一》r=(_3)r,%公。-3「，

令10-3r=4,解得r=2,

故二项式。2一：)5的展开式中/的系数为(_3产点=90

故答案为：90.

求出展开式的通项公式，然后令x的指数为4,由此即可求解.

本题考查了二项式定理的应用，属于基础题.

14.【答案】(％—24+(y—I)2=4

【解析】解：令y=0,则/一4x+l=0,解得%1=2--$%2=2+/3，即4(2--$0),

8(2+—3,0);

令％=0,得y=l,即C(0,l),

设圆的方程为(％-Q)2+(y—b)2=r2,

f(24--a)2+b2=r2(a=2

所以《(2—>/~3—a)2+b2=r2>解得|b=1.

la2+(1-b)2=r2G=2

所以圆的方程为(x—2)2+(y_I)2=4.

故答案为：(x-2)2+(y-l)2=4.

由题意分别计算A，B,C三点的坐标，然后利用待定系数法求出圆的方程.

本题主要考查圆的方程的求解，属于基础题.

15.【答案】②③④

【解析】解：/(X)=C0S2X—COSX=2cos2X—cosx—1,

令/(x)=2cos2x—COSX-1=0,解得COSX=1或COSX=—I，

VxG[0,2TT],x=0或x=2兀或x=:或x=故①错误；

v/(2TT—x)=cos2(2n-x)—COS(2TT—x)=cos2x—cosx=/(%),

二函数y=f(x)关于尤=7i■对称，故②正确；

/(%)=2cos2x—cosx—1=2(cosx--1)?z-9

vxE[0,2TT],—1<cosx<1,

・•・当cosx=-1时，函数y=f(X)取最大值2,故③正确；

/(%)=2cos2x—cosx—1=2(cosx—扔一

令t=COSX,当％€白,扪时，t=COS%单调递减，

,**x6TT]，,CE[―1,—,・•.y=2(t—[)2—看单调递减，

••・函数y=/(x)在母用上单调递增，故④正确.

故答案为：@(3)(4).

令/(X)=2cos2X-cosx—1=0,解得零点即可判断①;验证/(2兀-x)=f(x)即可判断②；利

用二次函数的性质求最值可判断③；々t=cosx,利用复合函数的单调性可判断④.

本题主要考查正弦函数的图象，考查转化能力，属于中档题.

16.【答案】[1,+8)

【解析】解：f(x)-/(x)=e^+1,所以好答=e,

故(得)，=e,所以肾=ex+c,c为常数，

因为/(I)=e?,又勺^=e+c,故c=0,

所以/(%)=xex+1,

若。(%)=吗+?_ln(mx)+%-2(m>0)在区间(0,+8)内存在零点，

则巴瑞---ln(mx)+%—2=0在区间(0,+8)内存在零点，

整理得e1r+2nm%-[1-x+ln(mx)]-1=0,

设g(t)=——-1，则g'(C)=e'-l，

令g'(t)=0得t=0,当t>0时，g'(t)>0,g(t)=-—-1单调递增，

当t<0时，g'(t)V0,g(t)=e*-t-1单调递减，

所以g(t)=8_£_1在[=0处取得极小值，也是最小值，g(t)min=e°-1=0,

故1—x+ln(mx)=0时,e1-x+Znmx—[1—x4-ln(mx)]—1=0成立,

即存在xe(0,+8),使得1-x+ln(mx)=0有解，即7n=匕1有解，

X

令人⑺=?，则八'(X)=512，

当%>1时，h!(x)>0,当0<%<1时，h!(x)V0，

故九(X)=一在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

故八(X)=?在芯=1处取得极小值，也是最小值，

又九(1)=1,故九(%)>1,

所以6之1,故实数机的取值范围[L+8).

故答案为：[1,+8).

先根据/'(%)—/(%)=e*+i及/(I)=e?得到/(%)=xex+1,利用同构得到eiT+mm%—[1—x+

ln(mx)]-1=0有解，构造g(t)=—t—1,得到g(t)mtn=e0-1=0,故1—x+ln(mx)=0,

参变分离得到rn=?在》6(0,+8)有解，令以》)=?，求导得到其单调性，极值和最值情况,

得到答案.

本题考查导数的综合应用，零点存在性问题，化归转化思想，属中档题.

17.【答案】解：(I)设等差数列｛Q九｝的公差为d(dH0),

•・,。2是和。5的等比中项，a2n=2an+l(nGN*),

磅普号即产工巴二件+4d),解得｛kJ,

(。2—2。］+1(a］+d—2。］+11d—2

/.an=1+(n-1)x2=2n—1；

(II)由(I)得册=2九一1,则匕=2/+i=4%则％=册%=(271—1)-4%

7^=1X4+3X42+5X43+...+(2n-1)X4n①，

47^=1X42+3X43+5X44+...+(2n-1)X4n+1@,

由①-②得-3〃=4+2X42+2X43+2X44+...+2X4n-(2n-1)X4n+1

=4+2x16弁")-2x4n+1=|(4n+2-16)-2x4n+1，

.••%岩X4"+竽送X4F

【解析】(I)设等差数列｛a"的公差为d®力0),由题意得［靖］即

—Nd］~r1

群"?短:管+4,求解即可得出答案；

(II)由(I)得an=2n-l,则cn=anbn=(2九一1)・空，利用错位相减法，即可得出答案.

本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力,

属于中档题.

18.【答案】解：(1)由题意完善列联表如图

男生女生总计

选择方案一10080180

选择方案二200120320

总计300200500

故2_500x(100x120-200x80)2

"=-300x200x320x180-«2.315<2.706,

故没有90%的把握认为方案的选择与性别有关.

(2)设选择方案一的得分为X,则X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,

则尸(X=0)=0.4X0,2x0,2=0,016,P(X=1)=0.3x0,2x0,2=0.012,

P(X=2)=0.4x2x0.8x0.2=0.128,P(X=3)=0.3x0.2x0.24-0.3x2x0.8x0,2=0.108,

P(X=4)=0.4x0,8x0,8=0.256,

P(X=5)=0.3x0.8+0.3x0.2x0.8+0.3x0.8x0.8=0.480,

故X的数学期望E(X)=lx0.012+2x0.1284-3x0.108+4x0.256+5x0.480=4.016.

设选择方案二的得分为y,则丫的可能取值为o,2,4,

则P(y=0)=0.2x0.2x0.2=0.008,P(Y=2)=3x0.8x0.2x0.2=0.096,

P(Y=4)=0.8x0.8+2x0.82x0.2=0.896,

故E(Y)=2x0.096+4x0.896=3.776,

因为E(X)>E(Y),故为了获取更好的得分，我会选择方案一.

【解析】(1)首先补全列联表，再根据参考公式和数据，进行比较后，即可作出判断；

(2)分别计算两个方案下的得分的分布列，再求数学期望，比较大小后，即可判断.

本题主要考查独立性检验，离散型随机变量的数学期望，考查运算求解能力，属于中档题.

19.【答案】解:(1)证明：在三棱柱ABC中，=B、B,乙M出=4B$C,4出=AB=

BC,

44出三^B]BC,

•1•ABX=CB],

又。为4c的中点，

BrD1AC,

在448。中，：48=",AD=DC,

BDLAC,

BiDDBO=D,Bi。、BDu平面BOB1，

AC1平面8%，

又BB、u平面

•••AC1BB1.

(2)•••BBr1AC,BB11BC,ACClBC=C,AC,BCu平面ABC,

BBi1平面ABC,而48u平面ABC,

BB11AB,

乙4BC为二面角A-BBi-c的平面角,即乙4BC=60°,

・•.△ABC为等边三角形，即4c=2,

过点4作4。_LBC于点0,则。为BC的中点，4。=，耳，

•••BB]，平面ABC,而力。u平面ABC,

BBi1AO,

乂BBiCBC=B,BC,BBiU平面BCGBI，

•••AOJL平面BCqBi，

故直线AB】与平面BCC$i所成角为NAB1。，即sin乙4/。=誉，

.„AO<3y/~39„

设881=y,贝-山44n&0=福=^=^=卞=y=3,即B&=3,

J产+4

取Oi为BiG中点，

A。]J.B£,

vBB11平面4mle0而&。1u平面A/iG，

:.BB]14。1，

又BBiCBiQ=B],B&,8当u平面BCQB],

•••AMJ"平面BCC/i，

v01。1BB1,

■■。1。_L平面

以。1为坐标原点，分别以。1为，。10,0送1所在直线为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标

系，

则BI(1,O,O),G(—1,O,O),B(l,3,0),

服=(0,3,0)，前=(一|,0,?)，函=(2,0,0)，杀=弓,3,?)，

设平面BB1。一个法向量为沅=Qi，yi，Zi),

(一7^~D"-n(3y=0

由m•竺i=U,可得3x口则可取沅=(1,0,C);

{m-BD=0(-2xi+—zi=0

设平面GBiD的一个法向量分别为五=(x2,y2,z2)-

(Kp-p'_n(2X=0

由，丝1―，可得12；工Gn，则可取元=(°，l，_2O-

In-QD=0(-x2+3y2+-Z2=0

.—►一\mn-63V13

•11C0S<m'n>=丽=2^=-V

••・二面角B-BrD-Q的余弦值一笔1

【解析】(1)由△44/1三ABiBC得=CB「又。为4c的中点，则又BD_L4C,可

得ZC_L平面BO/,由此可得结论；

(2)由已知条件可得BBi_L平面ABC,BBr1AB,可知乙4BC为二面角4一BB1一C的平面角，即

^.ABC=60°,过点4作40_LBC于点。，可证得4。_L平面8。6当，故直线与平面BCCiB1所成

角为乙AB[O,即sin/4BiO=誉，求得BB1=3,取为81cl中点，则力粗工JL平面BCCiB「以01

为坐标原点，分别以。1为，0.0,0送1所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，分别求出

平面B&D,平面CiaD的法向量，利用向量夹角公式求得结果.

本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题中需要理清思路，属于中档题.

20.【答案】解：⑴由题意可知e=；=热4(0,-b),

又4到圆上距离最大值为2-(-b)+l=3+b=3+y/~3,

•••b=V-3•

(a2=b2+c2

又上=工’

la2

解得a2=4,b2=3.

(2)若。点与F点重合，则;l不存在,

若。点与尸点不重合，

••,点F到直线MN和PQ的距离相等，且F在直线％=It,

%N+kpQ=0,

设。由题意可知直线MN,PQ的斜率均存在且不为0,

设直线MN的方程为y-m=/q(x-l),(七工0),

(y-m=/c(x-1),

l3x2+4y2x=12，得(也1，

设”(如，加)，N(xN,yN),

mil.8々_1Q4/c_l、

WJXM+%/V=—^—2,xM-xN=—^—2,

又|DM|=7l+ZcF，|DN|=7l+k/

|DM|・|DN|=(l+k_l,

设直线PQ的方程为y—m=k2(x-l)(/c2*0),

同理可得|DP|•|DQ|=(1+k_2

又ki=一心,

：.|DM|•\DN\=\DP\­\DQ\,

故/I=1.

所以存在这样的4=1,使得|DM|•|DN|=A\DP\■\DQ\.

【解析】(1)根据4到圆上距离最大值为3+C，求出b，再根据离心率及a?=及+©2,得到方程

组，解得即可；

(2)若。点与F点重合显然不成立，若。点与F点不重合，依题意可得kMN+kpQ=0，设直线MN的

方程为y-m=ki(x-1),(自彳0),M(xM/yM),N(xN,yN'),联立直线与椭圆方程，列出韦达定

理，表示出|DM|,\DN\,即可得到|DM|•|DN|,同理得到|DP|•|DQ|,即可得解.

本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档

题.

21.【答案】解：(1)函数/Xx)的定义域为(一8,1),((为=2%-4=

1—X1—X

设。(%)=-2/+2%—a,令g(%)=0,4=4—8a,

当440时，即a2；,f(%)<0,八%)在(一8,1)单调递减，

当Z>0时，即，a<；,令g(x)=0,得与=匕毕豆，血=匕早四，

4ZZ

若aW0,<1,x2>由广(x)V0即g(x)<0,得出％W(―8,与).

由>0即g(%)>0,得出％e(xlf1).

1

当

O<Q<时

2-由/(%)<0即g(x)<0,得出%e(-00,x^)u(%2,1).

由/'(%)>0即g(%)>0,得出％6(%1，%2).

综上所述：当a封时，函数f(x)在(一8,1)上单调递减，

当aW0时，函数f(x)在(一8,一'『a)上单调递减,在(一'了,1)上单调递增,

W

当0<a<凯寸，函数/(x)在(一8,广2。)上单调递减,

在(三尹,1±手马上单调递增；在(止手红,1)上单调递减.

(2)由(1)可知:当0<a<；时,

/=三尹，%2=匕£号是函数“X)两个极值点，

有X1+X2=1,X1%2=p此时，<X2<

要证明f(Xi)-a》2>-a,只要证明一刀2>-1>

■(%1)—X2=3[好+aln(l-xj]-x2