2022－2023学年山东省烟台市招远市重点学校高三（上）期末数学试卷（含解析）

2022—2023学年山东省烟台市招远市重点学校高三（上）期末

数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知全集〃={%6可比<6},集合4={1,2,3},8={2,4,5},则（（：1/4）08=（）

A.{0}B.{4,5}C.{2,4,5}D.[0,2,4,5}

2.已知复数z满足z?+2z+2=0,则zi=（）

A.1B.C.V-3D.2

3.已知底面半径为3的圆锥SO,其轴截面为正三角形，若它的一个内接圆柱的底面半径为1,

则此圆柱的侧面积为（）

A.y/~3nB.2y/~3nC.4\/~3nD.8>/~3n

4.已知质点P在以坐标原点。为圆心的单位圆上沿逆时针方向做匀速圆周运动，其起点为射

线y=x（x>0）与单位圆的交点，其角速度大小为工“d/s,设20s后射线OP恰为角。的终边，

则cos20=（）

A.B.IC.-孕D.早

5.已知Fi，F2分别是椭圆C：圣+，=l（a>b>0）的左、右焦点，M是C上一点且MF?与x

轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N,若丽=3和，则C的离心率为（）

A.?B1C.孕D.李

3323

6.已知a,/?满足sin（2a+夕）=cos0,tana=2,则tern。的值为（）

A.-1B.-|C.|D.|

7.已知函数/（x）=；/+a/+%的两个极值点分别为%],X2）若过点（Xi，/。1））和

（%2，人g））的直线，在x轴上的截距为g,则实数a的值为（）

A.2B.-2C.2或-2D.或2

8.教育部为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到

相应的地区任教.现将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，贝|（）

A.甲学校没有女大学生的概率为六

B.甲学校至少有两名女大学生的概率为当

C.每所学校都有男大学生的概率为]

D.乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为"

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列说法正确的有()

A.一组数据19242532283645434557的中位数为34

B.(1-2x)8展开式中一项的系数为1120

C.相关系数r=-0.89表明两个变量相关性较弱

D.若f~N(60,4),则>64)=P*<56)

10.已知a>0,6>0且4&+/?=2,则()

A.ab的最大值为gB.的最大值为2

C.'+£的最小值为6D.4。+2b的最小值为4

ab

11.已知点M为直线I：尤一y+8=0与y轴交点，P为圆0：/+*=45上的一动点，点

X(-l,0),6(3,0),则()

A.|PM|取得最小值时，S^BP=6>/~5B.MP与圆。相切时，|PM|=/方

C.当BPIMPS寸，AP-BM=0D.sin乙4PB的最大值为日

4

12.在正四棱柱4BCD-&B1C15中,44]=2AB=2,点P满足存=ACD+乩鬲，，6[0,1],

"€[0,1],则()

A.当;1=1,〃=加'，直线CP与4P所成角为60°

B.当；1=1时，|AP|+|PG|的最小值为厅+1

C.若与平面。。。道1所成角为45。，则P点的轨迹长为]

D.当〃=1时，平面4PB截此正四棱柱所得截面的最大面积为H

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知定义在R上的偶函数“X),满足f(%+2)=-/(X),若酒人份=-1,则f(0)的

值为.

14.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,点。(p,0),过点F的直线交C于M,N两点，

直线MD垂直x轴，|MF|=3,则|NF|=.

15.若曲线y=kx-\k<0)与曲线y=蜡有两条公切线，则k的值为.

16.如图，某数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数

xa

列，数阵中各项均为正数，cii,2—3,a2i3—10,a34=Oi,43,i＞则与4=;在数

列｛斯J｝中的任意a%i与两项之间，都插入6N*)个相同的数(一1户+1鼠组成数歹(]｛0｝，

记数列｛%｝的前n项和为〃，则心。=.

ai.lai.2ai.i…ai.n•••

a2.1O2.2aZJ•••a2.n•••

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

在AABC中，AB=4,。为4B中点，CD=「.

(1)若BC=3,求△4BC的面积；

(2)若NBAC=2乙4CD,求AC的长.

18.(本小题12.0分)

已知数列｛an｝,4=1,nan+1-(n+l)an=1.

(1)求数列｛a4｝的通项公式；

(2)若数列｛,｝满足%=Sin(^an+1)+cos(7ran),求数列｛%｝的前2几项和乃…

19.(本小题12.0分)

现有甲、乙两个袋子，每个袋子中均装有大小、形状、质地完全相同的2个黑球和1个红球，

若每次分别从两个袋子中随机摸出1个球互相交换后放袋子中，重复进行n(neN*)次此操作.

记第n次操作后，甲袋子中红球的个数为X”.

(1)求X1的分布列和数学期望；

(2)求第n次操作后，甲袋子中恰有1个红球的概率分.

20.(本小题12.0分)

如图，在△ABC中，^ABC=90°,BC=2,Z.ACB=60°,E为AB中点，过点E作E。垂直4C于

D,将△力DE沿ED翻折，使得面ADE1面BCCE,点M是棱4C上一点，且BM〃面4DE.

(1)求券的值；

(2)求二面角M-BE-C的余弦值.

21.(本小题12.0分)

己知双曲线C；摄一，=l(a>0/>0)的焦距为4,点(、厂后,1)在C上.

(1)求双曲线C的方程；

(2)设双曲线的左、右焦点分别为&,F2,斜率为k(krO)且不过&的直线I与C交于点4B,

若k为直线斜率的等差中项，求尸2到直线1的距离d的取值范围.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=e*—a,g(x)=ln(x+a),其中aeR.

(1)讨论方程"x)=x实数解的个数；

(2)当x21时，不等式/(x)2g(x)恒成立，求a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由题知U={0,1,234,5},CyA=[0,4,5},

则(CMns={4,5}.

故选:B.

求出C(M再求(GM)cB即可.

本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：设2=。+6，a,b€R,则z?=a?—炉+2abi,

所以z?+2z+2=a?—/j2+2a+2+(2b+2ab)i—0»

C；2：：=0+2=0»解%：「魄：二;，

所以z-z=a2+b2=2-

故选：D.

设2=。+加，a,beR,代入z2+2z+2=0,利用复数相等求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：根据题意，设圆锥的轴截面为aSAB,其内接圆柱为0】。,

设。1。=h,

圆锥轴截面为正三角形，则AB=2O4=6,则有SO=3q,

则有解可得h=2A/-3,

则圆柱的面积S=2兀x2y/~3=4A/-3TT.

故选：C.

根据题意，作出圆锥的轴截面三角形，设其内接圆柱为名。，再设01。=八，分析可得盛=早,

解可得h的值，进而计算可得答案.

本题考查圆柱与圆锥的切接问题，涉及圆柱的表面积计算，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：因为点P的角速度大小为雪rad/s,贝屹0s后转过的角为：3x20=黑

■141ZJ

所以"苧+“0%=苧+»等,

贝kos2。=COS^2"—COS（47T—7）=cos2=孕.

666，

故选：D.

根据点P的角速度，求得20s后转过的角度，再加上称得到9求解.

本题主要考查了三角函数定理，诱导公式的应用，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：不妨设M在第一象限，由题意，M的横坐标为c,

令£+方=1，解得y=生,即M（C,二）,

2

设N(x,y),又Fi(-c,0)，和=(x+c,y)，丽=(一2c,-9)，

z“

—2c=3(x+c)fX=-3

解得l

由丽=3锁可得:2u户

bo

—=3yky=-一

3a

又N（x,y）在椭圆上，即需+聂=1=需+等，

整理得等=

解得e=?.

故选：A.

先求出M的坐标，根据祈耳=3和得出N的坐标，根据N在椭圆上列方程求解即可.

本题主要考查了椭圆的性质，属于中档题.

6.【答案】A

【解析】解：因为sin(2a+/?)=cos0,所以sin(a+a+£)=cos(a+0-a),

即sinacos(a+夕)+cosasin(a+/?)=cos(a+0)cosa+sinasin^a+/?),

显然cosa。0,两边同除cosa得：

tanacos(a+/?)+sin(a+/?)=cos(a+/?)+tanasin(a+/?),

2cos(a+S)+sin(a+/?)=cos(a+/?)+2sin(a+0),

即cos(a+/?)=sin(a+/?),易知cos(a+/?)W0,

tan(a+/?)—tana1-2_1

则tan(a+£)=1,tanp=tan(a+/?—a)==

l+tan(a+/?)tana1+1x2-3*

故选：A.

利用两角和与差的正余弦公式和三角函数商数关系化简得tan(a+口)=1,再利用两角和与差的正

切公式即可得到答案.

本题主要考查了和差角公式及同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档题.

7.【答案】B

【解析】解：由题意/'(%)=%24-2ax+1有两个不同零点，则4=4G2一4>0,

所以。2>1,即或Q<—1,

,Cxf+2Q%I+1=0p.(xf=-2ax1—1

(%2+2ax2+1=0'=-2ax2—1

xax

而/(%i)=\i+i+=1%i(-2ax1-1)+axl+%1=g淄+=^^-2ax1-1)+\xv=

|(1_吟打一会

同理有f(%2)=|(1-Q2W-p

所以(//Qi))、(%/。2))均在y=|(i-a?)工/上，

令y=|(1一。2)%*=o,则％=2(1：1)="，得2Q2+3Q-2=(2a—l)(a+2)=0,

综上，ar=-2,a?=X舍)

故选:B.

由题意f'(x)有两个不同的零点，则4>0求参数a范围，再根据但=一产—:代入/(/)、

=-2ax2-1

确定已知点所在直线，进而求截距并列方程求参数值.

本题考查导数的综合应用，化归转化思想，属中档题.

8.【答案】C

【解析】解：将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，

共有续盟.Aj=1680中分法；

潟

对于人甲学校没有女大学生，从5名男大学生选3人分到甲学校，

再将剩余的6人平均分到乙、丙学校，共有盘•鬻•4号=200种分法，

故甲学校没有女大学生的概率为端=总，A错误；

对于B,甲学校至少有两名女大学生的情况包括恰有两女大学生和恰有三女大学生，

共有废废•繁•&+C＞等•鹿=680种分法，

故甲学校至少有两名女大学生的概率为黑=券，B错误；

looU4Z

对于C,每所学校都有男大学生，则男生的分配情况为将男生分为3组：人数为1,1,3或2,2,1,

当男生人数为1,1,3时，将4名女生平均分为2组，分到男生人数为1人的两组，再分到3所学校，

此时共有盘仁房=360种分法；

当男生人数为2,2,1时，将4名女生按人数1,1,2分为3组，

人数1,1的2组分到男生人数为2,2的两组，2名女生的一组分到男生1人的那一组，再分到3所学

校，

此时共有等■ClA^Al=1080种分法：

故每所学校都有男大学生的分法有360+1080=1440种，

则每所学校都有男大学生的概率为黑=9,C正确；

对于D,乙学校分配2名女大学生，1名男大学生共有废废=30种分法，

且丙学校没有女大学生的分法有值=4种，

故乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校没有女大学生的分法有30X4=120种，

故乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为1-摆=甘，。错误，

looU14

故选：C.

计算出将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教共有的分法种数，再

结合每个选项里的具体要求求出符合其要求的分法种数，根据古典概型的概率公式，即可求得相

应概率，可判断4,B,C,利用对立事件的概率计算可判断D.

本题主要考查了排列组合知识，考查了古典概型的概率公式，属于中档题.

9.【答案】ABD

【解析】解：对于4，一组数据从小到大重新排列可得19242528323643454557,

所以中位数为学=34,故4正确；

rrr

对于8,设(1-2x)8展开式的通项为7；+1=C^(-2x)=C^(-2)x,

令r=4可得(1-2x)8展开式中一项的系数为。式-2)4=1120,故B正确；

对于C,相关系数取值一般在-1〜1之间，绝对值越接近1说明变量之间的线性关系越强，绝对值

越接近0说明变量间线性关系越弱，

相关系数r的绝对值一般在0.8以上，认为两个变量有强的相关性，0.3到0.8之间，可以认为有弱的

相关性，0.3以下，认为没有相关性，

所以相关系数r=-0.89表明两个变量相关性较强，故C错误；

对于D,若《〜N(60,4),则4=60,贝必兹264)=P(f456),故。正确.

故选：ABD.

一组数据从小到大重新排列由中位数定义可判断4利用(1-2x)8展开式的通项可判断B；根据相

关系数定义及意义可判断C;根据正态分布的对称性可判断。.

本题主要考查了中位数的计算，考查了二项式定理的应用，以及相关系数的性质，属于中档题.

10.【答案】BC

【解析】解：因为2=4a+b22A/4ab=4，ab,所以当且仅当a=J,b=1时，等号

成立，故A错误；

因为4Q4-h>4A/ab^所以8Q+2h>4Vab+4a+b=(2V~~a+V-T)2,

即(2，々+，"司244,2-\Z~~a+\T~b<2,当且仅当a==1时，等号成立，故8正确；

由4a+b=2得。=:—？，所以&+£=2+

24aba2b4

因为:+表=虻+—(4(1+。=1羲+,+为日弓+2/7)=,,

所以白+晟一+2―为W=6,当且仅当a=b=的，等号成立，故C正确；

aba2b4445

令a=='，则4a+2匕=+2净=2x■V4，所以4。+2b的最小值不是4,£>错误.

故选：BC.

利用基本不等式可判断48;先将"批为"U再妙用“1”可判断C;取特值可判断D.

本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题.

11.【答案】ABD

【解析】解：因心x—y+8=0,令x=0,得y=8,

故M(0,8),

0：x2+y2=45,圆心(0,0),半径r=<45=31^,

选项A：

如图，根据圆的性质当P位于y轴上时，|PM|取得最小值，

此时SA.BP—1x|4B|x|OP|=ix4x=6A/-5,故A正确;

选项B：

当MP与圆。相切时,

\PM\=VOM2-r2=782-45=V^9,

故B正确：

选项C：

设P(X"1)，

则前=(Xj-3,%)，MP=(x1,y1-8)，

当BPIMP时，BP-~MP=0,

故/Qi—3)+yi(yi-8)=0,

又好+=45,

得3xi+8yl=45,

9=(xi+l,yi)，BM=(-3,8).

AP-BM=-3(尤i+1)+8yl=—+8yl-3>

若加・丽=0,则一3X[+8yi-3=0,

又3*1+8yl—45得，=7,%=3,

此时好+yf=72+3245,

这与点P在圆上矛盾，故C错误；

选项D：

设APAB外接圆圆心为Q,半径为R,

由题意可得Q在48中垂线上，可设其坐标为(l,x),

则R=|QA|=V4+x2,|QO|=V1+x2,

由正弦定理知1U=2R,

smz.APB

所以嚅=sin乙4PB,

ZK

当R最小，即外接圆与圆。相内切时，sin乙4PB的最大值，

此时圆心距等于两圆半径之差，则，1+"=745—V4+x2,

两边同时平方可得R=V4+%2=总，

..|4B|415

sm^APnBn==JT=—,故。正确.

75

故选：4BC.

4|PM|取得最小值时P位于。”即y轴上，根据三角形面枳公式可得.

B：直接在直角三角形4PM利用勾股定理可得.

C：运用向量的坐标表示和对于坐标运算可得.

D：根据正弦定理一吗\=2R,将求sin乙4PB的最大值转化为求外接圆半径最小，此时，外接圆

sin乙4PB

与圆。相内切，根据内切半径差等于圆心距可得外接圆半径，进而可得.

本题考查直线与圆的综合运用，考查向量思想以及运算求解能力，属于中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：对于4当；1=1,〃=：时，点P为的中点，

所以4P=VAD2+DP2=V_2>CP=VCD2+DP2=<2.AC=VCD2+AD2=/T，

所以A4CP为等边三角形，所以直线CP与4P所成角为60。，4对；

对于B,当4=1时，点P在。5上，此时把正四棱柱48。。一公当（71。1的后面和右面展开，如图:

\AP\+|PCi|的最小值为=7AC2+CjC2=2y/~2,B错;

对于C,因为点P满足方=4万+〃苗，

所以点P在平面CCDiG内，

8iG1平面CDDiG，连接GP,

则ZB/G即为B1P与平面CCDiG所成角，

若&P与平面CDDiG所成角为5贝iJtanz_BiPG=器=1,

所以GP=81cl=1,

即点P的轨迹是以G为圆心，以1为半径的;个圆，所以P点的轨迹长为宏C正确;

对于。，当〃=1时，点P在GDi上，且于=4宙，

过点P作PQ〃C£>i交CG于点Q,则PQ〃2B,

所以|PQ|=RCO1|,

所以四边形4PQB为平面4PB截此正四棱柱所得截面,

建立如图所示的空间直角坐标系4-孙z,则根据题意可得:

Ai(0,0,2),B(l,0,0),P(1—尢1,2),

所以中=(1-A,1,0),砧=(1,0,-2).

：.A^P-A^B=l-k,\A^P\=V(1-A)2+1,\A^B\=C，

•••点P到直线的距离为：

d=J1中/一(锣);=J(i-)2+i_(堤)2=J9一下+1,

所以四边形&PQB的面积S=+|PQ|)•d=?(1+A)J*1一4)2+1=

好Jh1-a)2(l+4)2+(1+4)2,

令f(，)=g(1—4)2(1+4)2+(1+4)2=A4—、方+22+(0<A<1),

所以「⑷=£/13一"+2=(A+l)(yA2-yA+2)=(2+l)[y(A-1)2+1],

所以当0SAW1时，尸(Q>0,f(Q单调递增，

所以当；I=1时/'(4)取得最大值，此时截面面积最大为/亏，力正确.

故选：ACD.

对于4,当；1=1,〃时可知点P为。5的中点，从而可以判断AACP为等边三角形，即可判断；

对于8,当；I=1时可得点P在上，此时把正四棱柱48。0-41当6。1的后面和右面展开，从而

可判断；对于C,连接GP,可得N&PCi即为&P与平面CO%G所成角，从而可得点P的轨迹是以

G为圆心，以1为半径的;个圆，即可判断；对于D,过点P作PQ〃C5交CCi于点Q,可得四边形

&PQB为平面4PB截此正四棱柱所得截面，建立空间直角坐标系，利用向量法求得点P到直线

的距离，结合函数的单调性即可判断.

本题考查立体几何的综合运用，解题的关键是根据九4的取值得到点P的位置，进而结合选项转

化相应问题，然后利用相关知识解答即得.

13.【答案】1

【解析】解：因为/(x+2)=-f(x),所以/(x+4)=-/(x+2)=，(x),所以/(x)的周期为4,

所以/(2)=-/(0)，/(3)=一/(1)，/(4)=一-2)=f(0),

即/⑴+/(2)+”3)+f(4)=/(I)-/(0)-f(l)+f(0)=0,

若注肾/(k)=-1,则"1)+/(2)+/(3)+/(4)+•••+f(2023)=-1,

即505x[/(I)+/(2)+7(3)+/(4)]+/(I)+f(2)+f(3)=-1,

可得f⑴+f(2)+f(3)=/(I)-/(0)-/(l)=-l,所以f(0)=1.

故答案为：1.

根据〃x+2)=-/(%)得f(x)的周期为4,且f(l)+f(2)+f(3)+/(4)=0,再由2匿3/(k)=-1

可得答案.

本题主要考查了函数的奇偶性及周期性在函数求值中的应用，属于基础题.

14.【答案】|

【解析】解：由题意得尸(会0),因为直线垂直于x轴，O(p,0),准线方程为％=

所以M点的横坐标为P，设MQi，%),N(%2，y2)，

根据抛物线的定义知|MF|=/+§=|p=3,解得p=2,

则C：y2=4x,则F(LO),可设直线MN的方程为x—1=my,

联立抛物线方程有1可得y2-4my-4=0,

2

4=16m4-16>0,yry2——4,则(yiy2)2=16%1%2=16,

则32亚=16,解得M|ATF|=x2+|=j+l=1.

故答案为：|.

根据抛物线定义求出p=2,再设直线MN的方程为x-1=my,得到韦达定理式，求出N点横坐

标，再利用抛物线定义即可求出|NF|的长.

本题主要考查抛物线的性质，属于中档题.

15.【答案】-e-

【解析】解：令/(%)=<0),g(%)=ex,

则/口)=一(，g'(x)=e',

设a(xi，/Qi)),

b2"

则曲线y=f(x)在A处切线为：y-/Q1)=-xj<=>y=,

设B(%2，g(%2))，

e%2x

则曲线y=g(幽在B处切线为:y-5(x2)=g'(%2)(%一小)=V=+(1-,

2

由题意《j,消去/得—4k=(1-x2)e^,

§=(1-犯)〃2

VI

由题意，方程一4/c=(l-％)2靖有两个不同的实数根，

2x2x

令邛Q)=(1—x)ef则"(%)=(x—T)e=(x—1)(%+l)e%,

当》<-1时，"(X)>0,0(x)单调递增；

当一1VXV1时，(pz(x)<0,0(无)单调递减；

当K>1时，(p'(x)>0，"(%)单调递增，

故当％=-1时，奴式)取极大值口(一1)=£;当％=1时;9(%)取极小值w⑴=0,

又当工。1时0。)>0,根据以上信息作出s(x)的大致图象，

由图可知当一4/c='即k=—(时，直线y=—4/c与乎(%)的图象有两个交点，从而方程—4k=(1—

有两个不同的实数根，

所以曲线y=kx-\k<0)与曲线y=靖有两条公切线时，攵的值为

故答案为：—L

e

利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消

去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，作出图象，

数形结合求解即可.

本题主要考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属

于中档题.

16.【答案】（2/1-1）-2吁12036

【解析】解：设第一行公差为d,各列的公比为q且q消0,且%,2=3,

22

则。2,3=(3+d)q=10,a31=(3—d)qta14=3+2d,a34=(3+2d)q,

2

所以(3+2dM2=(3+2d)(3-d)qf则2d2-d-6=(2d+3)(d-2)=0,

由各项均为正数，故d=2,贝必2,3=5q=10,即q=2,

1n-1

综上，aln=a12+2(n-2)=2n-1,故anjl=a^q^=(2n-1)-2,

由上，｛c九｝刖711贝大，1，。2,1，—2，—2,。3,1，3,3,3,。4,1，•••，Q/C+LI，=1,

故在以+1」之前共有k4-写幺=字项，

k=10则^^=65<70>k=11则^^=77>70>

综上,｛cn｝前70项为1,。2,1，-2,-2,%1，3,3,3,a41,11,11,11,11,

1-211

Tn=+l+2x(-2)+3x3+4x(-4)+…+10x(-10)+4x11

=2门―1+1-4+9-16+25-36+49-64+81-100+44=2036.

nx

故答案为：(2n-l)-2-;2036.

设第一行公差为d,各列的公比为q且q羊0,结合已知条件求得d=q=2,即可写出与田通项公

式，再根据题意确定｛%｝前70项的组成，应用分组求和、等比数列前n项和公式求和即可.

本题主要考查数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题.

17.【答案】解：（1）在小BCD中，BD=2,BC=3,CD=「，

82+82-4+9-7_1

由余弦定理可知cosB。。加_

-2xBCxBD—-2x3x2-2.,

因为0<B<兀，所以sinB=

所以S&A8c—xBCxsinB=3>/-3；

(2)在△ACD中，设N4CD=。，乙BAC=28,

则由正弦定理就AD

sin。

即=亮,得"so=?’••­。e（。,兀），所以加。=

sin29=2sin9cos9=^-^-,cos20—2cos20—1=一：，

oo

所以乙4。。=兀一。一26»,

彳139

XX=

所以9--4-

sin44Z)C=sin(6+20)816

9

由正弦定理得：一名即ac=孕=*

s\nz.ADCsmZ.ACD32

4

【解析】(1)在△BCD中，先利用余弦定理求出角B,再根据三角形的面积公式即可得解；

(2)在△ACD中，先利用正弦定理及二倍角的正弦公式求出44CD及NB4C,再利用正弦定理求解即

可.

本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)由ncd+i-(n+1)%,=1得，需■一詈=而乐=；一系，

所以"22时，与一？+与一冬+…+幺一铝=＜一：…+々一上

2132nn-11223n-1n

故®—，=1—工，又的=1,则a=2n一1,当71=1时，的=1成立，

n1n1n1

所以，CLn=2n—1.

(2)由(1)知，bn=sin(^(2n+1))+cos(n(2n-1))=cosnn-cos2nnf

所以,T2n=瓦+/)2+…+b2n

=COSTI+cos2n+•••4-cos(2n—l)7r+cos2nn—(cos27r+cos4nd-----Fcos(4n—2)TT+cos4几TT),

因为COS(2?I—1)TT+cos2nn=—cos2nn+cos2nn=0,cos2nn=1,

于是[COSTT+cos2n]+・••+[cos(2n—1)TT+cos2nn]=0,

COS2TI+cos4nH------Fcos(4n—2)TT+cos4nn=2n,

所以，T2n=-2n,

故数列｛琥｝的前2九项和为-2九

【解析】(1)先把题干条件等价变成需-攀=;-去，然后用累加法进行求解；

(2)结合特殊的三角函数值，利用分组求和进行求解.

本题主要考查数列的求和，考查转化能力，属于中档题.

19.【答案】解：(1)由题知，X1的所有可能取值为0、1、2,

2221152

:在+

-==-X-X-=9---

9333?9

所以X1的分布列为:3-

X]012

252

P

999

所以X1的数学期望E(X1)=Ox^+lx|+2x^=1.

yyy

777-11o

(2)由题知,P(Xn+1=1)=(1x=O)+(1xf+|x?P(Xn=1)+(|Xl)P(Xn=2),

又P(Xn=0)4-P(Xn=1)4-P(Xn=2)=1,

所以，P(Xn+i=1)=|[1-P(Xn=1)-P(Xn=2)]+|P(Xn=1)+|「离=2),

整理得，P(Xn+i=1)=|-*(Xn=1).

所以P(Xn+i=1)—|=V[P(Xn=1)-|]-

又因为P(X1=1)—|=一套

所以数列｛P(Xn=1)-|｝是首项为一急公比为得的等比数列，

所以P(Xn=1)—=_京X(-扔T,

所以P(Xn=l)=[x(-3n+|,

即匕=|'(一加+:

【解析】(1)由题意可知，X]的所有可能取值为0、1、2,计算出随机变量X1在不同取值下的概率，

可得出随机变量X]的分布列，进而可求得E(&)的值；

(2)由已知条件推导得出P(Xn+i=1)=|一"岛=1),可得出数列｛尸(Xn=1)-|｝为等比数列I，

确定该数列的首项和公比，可求得P(Xn=1)的表达式，即匕的表达式.

本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了等比数列的性质，属于中档题.

20.【答案】解：(1)因为面4DE1面BCOE,面4DED面BCDE=DE

由题意可知，AD1DE,CD1DE,所以4WC=90。，

过点B作BQ垂直CD于点Q,连接QM,

A

因为BQ〃DE,BQ<t平面4DE,DEu平面4DE,

所以8Q〃平面ADE,

又因为BM〃平面ADE,BQCBM=B,BQ,BMu平面ADE,

所以平面BQM〃平面40E,

又因为面BQMCl面ADC=QM,平面aCECl平面4DC=AD,

所以4C〃QM.

因为BC=2,乙4cB=60。，所以，CQ=1,

在折叠前的图形中，4c=-^=4,所以4Q=3,

cos60x

易知。为4Q的中点，所以OQ=|,

g、|OQ3g、［AM3

所以我=于所以，^=2-

(2)由(1)知，以D为原点，以DE,DC,04所在直线分别为x,,z轴建立空间直角坐标系,

则D(0,0,0),E(?,0,0),C(0,|,0)«B(<3,|,0),

易知平面BCDE的一个法向量记=(0,0,1),

EB=(?,|,0),丽=(C,0,一|)，

设平面MBE的法向量为元=(x,y,z),

Ix+_y=0____

所以｛2\,令％=C，则y=-l,z=5,故记=(/3,-1,5),

-jz=0

所二匚以I”cos/(一7*n,一2\=砌沅员二5V方-29’

所以二面角M-BE-C的余弦值为穿.

【解析】(1)作BQ垂直CD于点Q,连接QM,然后证明面BQM〃面40E,利用面面垂直性质定理,

结合已知可得；

(2)以。为原点，以DE,DC,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用法向量求

解可得.

本题主要考查二面角的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

21.【答案】解：⑴因为点，石,1)在C上，所以提一a=1①，

由题意知，2c=4,c=2,

所以M+刈=4②，

由①②解得小=3,b2=1,

2

故双曲线。的方程为景—y2=i.

(2)设直线/的方程为y=kx+m,

y=kx-Vm

联立得/，消y可得，（1—31）%2—6/^^%—3（7n2+i）=0,

匕-y=i

有韦达定理可得，X1