2021-2022学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷

2021-2022学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有

一个是符合题意的.

1.(2分)已知NA为锐角，且sinA=工，那么/A等于（）

2

A.15°B.30°C.45°D.60°

2.(2分)已知3a=4。则下列各式正确的是（）

A.包二AB.包驾C.包四D.包二

b3b4343b

3.(2分)抛物线y=?-2的顶点坐标为（）

A.(0,-2)B.(-2,0)C.(0,2)D.(2,0)

4.(2分)已知反比例函数〉=乜（左W0）的图象经过点A（2,3）,则k的值为（）

X

A.3B.4C.5D.6

5.(2分)如图，A0是△A3C的外接圆。。的直径，若N3C4=50°,则N8AO=()

6.（2分）如图，面积为18的正方形ABC。内接于O。，则OO的半径为（）

7.（2分）关于二次函数y=-（x-2）2+3,以下说法正确的是（）

A.当天＞-2时，y随尤增大而减小

B.当x＞-2时，y随x增大而增大

C.当尤＞2时，＞随彳增大而减小

D.当x＞2时，y随x增大而增大

8.（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为2,与x轴，y轴的正半轴分别

交于点A,B,点、C（1,c）,D（V2，d）,E（e,1）,PCm,n）均为窟上的点（点P

不与点A,8重合），若，相，则点尸的位置为（）

D

\E

A.在BC上B.在CD上C.在DE上D.在EA上

二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）

9.（2分）写出一个开口向下，与y轴交于点（0,1）的抛物线的函数表达式：.

10.（2分）已知。。的半径为5c",圆心。到直线/的距离为4cm,那么直线/与O。的位

置关系是.

11.（2分）若扇形的圆心角为60°,半径为2,则该扇形的弧长是（结果保留TT）.

12.（2分）点A（-1,yi）,B（4,”）是二次函数y=（尤-1）2图象上的两个点，则yi

”（填或“=

13.（2分）如图，A8为。。的直径，弦COLAB于点"，若AB=10,CD=8,则的

长度为____.

14.（2分）已知反比例函数尸的图象分布在第二、四象限，则机的取值范围是.

x

15.（2分）如图，PA,分别与。。相切于A,8两点，C是优弧A8上的一个动点，若

ZP=50°,则NAC8=°.

c

o.p

B

16.(2分)点A(xi,yi),B(%2,»)(xi・x220)是y=oy2(〃=0)图象上的点，存在|xi

-%2|=1时，|竺-"|=1成立，写出一个满足条件〃的值.

三、解答题(本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第

27、28题，每小题5分，共68分)

17.(5分)计算：2sin600+tan45°-cos30°tan60°.

18.(5分)如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,AB=5,点。在AC上且AD=3,DE

_LA5于点E,求AE的长.

19.(5分)已知：二次函数y=W-4x+3.

(1)求出二次函数图象的顶点坐标及与入轴交点坐标;

(2)在坐标系中画出图象，并结合图象直接写出yVO时，自变量x的取值范围.

L一十一r

」_▲_」_______L一।_____J____i___

-6-4-6-2-11。

L_±JL

r2

3

__i__

20.（5分）如图，在△ABC中，ZB=30°，AB=4,AO_LBC于点。且tan/CAD=』,

2

求BC的长.

21.（5分）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB=AC.

求作：一点P,使得/APC=NA4C.

作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；

②以点8为圆心，BC长为半径画弧，交OA于点C,。两点;

③连接DA并延长交OA于点P.

点尸即为所求.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明：

证明：连接PC,BD.

'：AB=AC,

...点C在OA上.

"：BC=BD,

Z=Z.

/.ZBAC^^-ZCAD.

2

:点。，P在04上，

：.ZCPD=^ZCAD.（）（填推理的依据）

2

ZAPC=ZBAC.

22.（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（〃，2）是一次函数y=x-1的图象与反比

例函数y=Kl（无#0）的图象的交点.

(1)求反比例函数y=K(kWO)的表达式；

x

(2)过点尸(％0)且垂直于x轴的直线与一次函数图象，反比例函数图象的交点分别

为M,N,当SAOPM>&OPN时，直接写出”的取值范围.

23.(6分)居庸关位于距北京市区50余公里外的昌平区境内，是京北长城沿线上的著名古

关城，有“天下第一雄关”的美誉.某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具，

测量南关主城门上城楼顶端距地面的高度，下表是小强填写的实践活动报告的部分内容:

请你帮他计算出城楼的高度AD(结果精确到0.1m,sin35°»0.574,cos35°-0.819,

tan35°-0.700)

题测量城楼顶端到地面的高度

目

思

图

相BM=L6m,BC=13m,ZABC=35°,ZAC£=45°

关

数

据

24.（6分）如图，。。是△ABC的外接圆，是。。的直径，ABLCZ）于点E,P是AB

延长线上一点，且NBCP=NBCD.

（1）求证：CP是O。的切线；

（2）连接。。并延长，交AC于点h交。。于点G,连接GC.若。。的半径为5,OE

=3,求GC和。尸的长.

25.（6分）随着冬季的到来，干果是这个季节少不了的营养主角，某超市购进一批干果，

分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本20元.销售过程中发现，每天销售量y

（袋）与销售单价无（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y=-2x+80（20WxW40）,

设每天获得的利润为卬（元）.

（1）求出vv与尤的关系式；

（2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？

26.（6分）在平面直角坐标系尤Oy中，点（1,相）和点（3,n）在二次函数y=/+Zzx的图

象上.

（1）当m=-3时.

①求这个二次函数的顶点坐标；

②若点（-1,yi）,（a,>2）在二次函数的图象上，且y2>yi,则a的取值范围是；

（2）当相“<0时，求b的取值范围.

27.（7分）已知/2。。=120°,点A,8分别在OP,OQ±,OA<OB,连接AB,在A8

上方作等边△ABC,点。是80延长线上一点，且连接AD

(1)补全图形；

(2)连接。C,求证：/COP=/COQ；

(3)连接CD,CD交OP于点F,请你写出一个的值，使CD=OB+OC一定成

立，并证明.

且POW2,我们称点P是线段。。的“潜力点”.已知点。(0,0),Q(1,0).

(1)在P1(0,-1),P2(-1,微)，P3(-1,1)中是线段0。的“潜力点”是

(2)若点P在直线y=x上，且为线段。。的“潜力点”，求点尸横坐标的取值范围；

(3)直线＞=2尤+匕与工轴交于点",与y轴交于点N,当线段MN上存在线段。。的“潜

力点”时，直接写出6的取值范围.

4-4-

3

2

1

3工

-4-3-2-1°1234

-1

-2

2021-2022学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有

一个是符合题意的.

1.（2分）已知/A为锐角，且sinA=上，那么NA等于（）

2

A.15°B.30°C.45°D.60°

【分析】根据特殊角的三角函数值求解.

【解答】解：：sinA=工，NA为锐角，

2

AZA=30°.

故选：B.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函

数值.

2.（2分）已知3a=46（成/0）,则下列各式正确的是（）

A.包lB.包卫C.包2D.包』

b3b4343b

【分析】比例的性质：内项之积等于外项之积，依此即可求解.

【解答】解：A、由曳=匹可得3°=46,故选项正确；

b3

B、由包=2可得4a=36,故选项错误；

b4

C、由_A=也可得4d=36,故选项错误；

34

D、由」_=9可得滴=3X4=12,故选项错误.

3b

故选：A.

【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

3.（2分）抛物线y=f-2的顶点坐标为（）

A.（0,-2）B.（-2,0）C.（0,2）D.（2,0）

【分析】根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标即对称轴.

【解答】解：抛物线y=f-2是顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，

顶点坐标为(0,-2),

故选:A.

【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a(x-/z)2+々的顶点坐标为"，k),

对称轴为X=/7.

4.(2分)已知反比例函数y=K"W0)的图象经过点A(2,3),则左的值为()

X

A.3B.4C.5D.6

【分析】把A点坐标代y=K(%#0)中即可求出左的值.

X

【解答】解：•••反比例函数y=K(人力0)的图象经过点A(2,3),

X

•2—k

••J—,

2

.,.k=6,

故选：D.

【点评】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一

定适合此函数的解析式是解答此题的关键.

5.(2分)如图，是△ABC的外接圆O。的直径，若N2CA=50°,则NA4Z)=()

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】根据圆周角定理推论：直径所对圆周角为直角、同圆中等弧所对圆周角相等即

可得到结论.

【解答】解：是△ABC的外接圆O。的直径，

.•.点A,B,C,。在OO上，

VZBCA=50°,

/.ZADB=ZBCA=50°,

,：AD是△ABC的外接圆O。的直径，

AZABD=90°,

：.ZBAD=90°-50°=40°,

故选：B.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，由圆周角定理得到NAO8=

50°,ZABD=9Qa是解题的关键.

6.（2分）如图，面积为18的正方形ABC。内接于。0,则。。的半径为（）

D.372

B.我

【分析】连接04、0B,则△OAB为等腰直角三角形，由正方形面积为18,可求边长为

3我，进而可得半径为3.

【解答】解：如图，连接OA,OB,贝I]04=08,

/左

•..四边形ABC。是正方形,

.•.408=90°,

AOAB是等腰直角三角形,

•.•正方形ABC。的面积是18,

：.0A=0B=^~AB=3,

故选：C.

【点评】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质、构造等腰直角三角形是解题的关键.

7.（2分）关于二次函数y=-（x-2）2+3,以下说法正确的是（）

A.当x>-2时，y随尤增大而减小

B.当尤>-2时，y随x增大而增大

C.当尤>2时，y随x增大而减小

D.当x>2时，y随x增大而增大

【分析】根据二次函数的顶点式可以得出图象的对称轴和开口方向，从而确定函数的增

减性.

【解答】解：：抛物线的解析式为y=-(x-2)2+3,

该抛物线的对称轴为直线x=2,开口向下，

...当x<2时，y随x增大而增大，当尤>2时，y随x增大而减小，

故选：C.

【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记顶点式与图象的关系.

8.(2分)如图，在平面直角坐标系尤Oy中，O。的半径为2,与x轴，y轴的正半轴分别

交于点A,8,点C(1,c),D(近,d),E(e,1),P(m,ri')均为窟上的点(点P

A.在前上B.在加上C.在廉上D.在面上

【分析】如图，过点C作轴于点H,过点D作DGLx轴于点G,过点E作EF

轴于点凡利用勾股定理求出c、d、e的值，观察点的坐标变化规律即可得出答案.

【解答】解：如图，过点C作CHLx轴于点X,过点。作。G,无轴于点G,过点E作

EFLx轴于点;R

VC(1,c),D(V2，d),E(e,1),

1,0G=&,EF=1,

\"OC=OD=OE=2,ZCHO=ZDGO=ZEFO=90°,

22

c=CH=A/OC-OH=d?2-12,

d=DG=VOD2-OG2=62_(&)2=&'

e=OF=7oE2-EF2=V22-l2=M，

：.C(1,«),D(我,&),E(6，1),

由图可知：随着/COH--ZDOG--/EOP角度逐渐变小，点C、D、E的横坐标逐

渐增大，纵坐标逐渐减小,

*/m<n<V3m,

二点尸在而上.

【点评】本题考查了圆的性质，坐标与图形性质，勾股定理，运用勾股定理求出C、D.

E的坐标是解题关键.

二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）

9.（2分）写出一个开口向下，与y轴交于点（0,1）的抛物线的函数表达式：y=-/+l.

【分析】开口向下可确定二次项系数小于0,与y轴交于点（0,1）可确定常数项为1.

【解答】解：设二次函数的解析式为〉=内2+公+,,

:该函数的图象开口向下，

.,.a<0,可以取cz=-l,

,当尤=0,y=l,

满足条件的一个函数为y=-/+i,

故答案为：y=-7+l,（答案不唯一）.

【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，关键是要牢记系数和图象开

口，顶点，对称轴，坐标轴交点之间的关系.

10.（2分）已知。。的半径为5。相，圆心。到直线/的距离为4cm,那么直线/与OO的位

置关系是相交.

【分析】由题意得出d<r,根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可.

【解答】解：的半径为5c7",如果圆心。到直线/的距离为4"7,

；.4<5,

即d<r,

，直线/与OO的位置关系是相交.

故答案为：相交.

【点评】本题考查了直线和圆的位置关系的应用；注意：已知。。的半径为广，如果圆心

。到直线/的距离是d,当•时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当

时，直线和圆相交.

11.（2分）若扇形的圆心角为60°,半径为2,则该扇形的弧长是Zu（结果保留it）.

一3一

【分析】利用弧长公式计算即可.

【解答】解：•.•扇形的圆心角为60°,半径为2,

扇形的弧长=6°兀*2=27T.

1803

故答案为：2Tl.

3

【点评】此题考查弧长公式：/=史曳，关键是记住弧长公式，属于中考基础题.

180

12.（2分）点A（-1,竺），8（4,*）是二次函数y=（x-1）2图象上的两个点，则yi

<V2（填“〈”或“=

【分析】由于知道二次函数的解析式，且知道A、8两点的横坐标，故可将两点横坐标分

别代入二次函数解析式求出yi、”的值，再比较即可.

【解答】解：把A（-1,yi）、2（4,*）代入二次函数y=（尤-1）2得，

yi=（-1-1）2=4；yi=（4-1）2=9,

所以y\<yi.

故答案为<.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，要明确：二次函数图象上点的坐标

符合函数解析式.

13.（2分）如图，为。。的直径，弦COJ_AB于点H,若A8=10,CD=S,则OH■的

长度为3.

【分析】根据垂径定理由得到。/=上8=4,再根据勾股定理计算出08=3.

【解答】解：连接0C,

'：CD±AB,

.".CH=DH=1-CD=AX8=4,

22

•.,直径AB=10,

OC=5,

在中，

RtZXOCHO//=^QC2_CH2=3,

故答案为：3.

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

14.（2分）已知反比例函数〉=成的图象分布在第二、四象限，则机的取值范围是」1

X

<1.

【分析】根据反比例函数的图象和性质，由m-1V0即可解得答案.

【解答】解：..•反比例函数y=QL的图象分布在第二、四象限，

X

.*.m-K0.

解得m<1.

故答案是：m<l.

【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质：当左>0时，图象分别位于第一、三象限；

当ZVO时，图象分别位于第二、四象限.

15.（2分）如图，PA,总分别与。。相切于A,B两点,C是优弧A5上的一个动点，若

ZP=50°,则NAC5=65°.

【分析】连接。4、0B,根据切线的性质得到0ALB4,OB±PB,根据四边形的内角和

定理求出/AO8,再根据圆周角定理计算，得到答案.

【解答】解：连接。4、OB,

,：PA,尸8分别与。。相切于A,8两点，

J.OALPA,OBLPB,

VZP=50°,

：.ZAOB=360°-90°-90°-50°=130°,

：.ZACB=AZAOB=^X130°=65°,

22

故答案为：65.

B

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径

是解题的关键.

16.(2分)点A(xi,yi),B(x2,>2)(xi・x220)是>=奴2(〃W0)图象上的点，存在阳

-％2|=1时，|山-泗=1成立，写出一个满足条件〃的值1(答案不唯一).

【分析】根据题意当％1>我=0时，则X1=L由Iyi-y2|=l,得到〃-0=1,解得〃=1.

【解答】解：(。70),

・••对称轴为y轴，

，X1、X2不在对称轴的异侧，

•\x\-X2|=1,

当％1>%2=0时，则Xl=l,

・・yi=〃，y2=0,

.\a-0=1,

・・Q=1,

故答案为：1(答案不唯一).

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意设出XI、X2的值，代入解

析式即可求得。的值.

三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第

27、28题，每小题5分，共68分）

17.（5分）计算：2sin60°+tan45°-cos30°tan60°.

【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可.

【解答】解：2sin60°+tan45°-cos30°tan60°

=V3+1

2

=V3-y-

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

18.（5分）如图，在△ABC中，NC=90°,AC=4,A8=5,点。在AC上且AO=3,DE

于点E,求AE的长.

【分析】由DELAB得到NOEA=/C=90°,然后得到△。瓦Is△Bd,再利用相似三

角形的性质求得AE的长.

【解答】解：••,OEL48于点E,ZC=90°,

AZA£D=ZC=90°，

'：ZA=ZA,

AADEsLABC,

•••AD-AE,

ABAC

\'AB=5,AD=3,AC=4,

•.•-3--A-E-,

54

5

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知垂直的定义得到NAED

=NC=90°.

19.（5分）已知：二次函数y=/-4x+3.

（1）求出二次函数图象的顶点坐标及与x轴交点坐标；

（2）在坐标系中画出图象，并结合图象直接写出y<0时，自变量x的取值范围.

【分析】（1）将函数解析式化为顶点式求解顶点坐标，令y=0求图象与无轴交点坐标.

（2）通过观察抛物线在x轴下方的无取值范围求解.

【解答】（1）解：'.'y—x1-4x+3=（x-2）2-1,

抛物线顶点坐标为（2,-1）.

令y=0,则JC-4无+3=0.

解得尤1=1,X2—3.

，图象与x轴交点坐标为（1,0）（3,0）.

（2）如图，

当y<0时，自变量x的取值范围为l<x<3.

【点评】本题考查二次函数与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的

关系.

20.（5分）如图，在△ABC中，ZB=30°,AB=4,于点。且tan/CA£）=工，

求BC的长.

【分析】在RdAB。和RtAWC中，分别求出A。、BD、CD,再利用线段的和差关系

求出BC.

【解答】解：于点。，

：.AABD,△ADC为直角三角形.

•.•RtZVIDB中,ZB=30°,48=4,

：.AD=2,

「RtZXADC中，tan/CAD=L,A£>=2,

2

.•.tanZCAD=^5_=A.

AD2

：.CD=1.

:.BC=2^3+1.

【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键.

21.（5分）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB=AC.

求作：一点P,使得/APC=/8AC.

作法：①以点A为圆心，A8长为半径画圆；

②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交。A于点C,。两点；

③连接DA并延长交OA于点P.

点P即为所求.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明：

证明：连接PC,BD.

'：AB=AC,

.•.点C在OA上.

"：BC=BD,

：.ZBAC=ZBAD.

：.ZBAC=AZCA£）.

2

:点。，P在OA上，

；./CPD=L/CAD（一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）（填推理的

2

依据）

NAPC=ZBAC.

【分析】（1）根据要求作图即可;

（2）根据圆周角定理求解即可.

【解答】解：（1）如图所示.

（2）证明：连接尸C,BD.

'：AB^AC,

...点C在OA上.

•：BC=BD,

：.ZBAC=ZBAD.

：.ZBAC=^ZCAD.

2

:点。，P在OA上，

（一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半），

2

ZAPC=ZBAC.

故答案为：BAC,BAD,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.

【点评】本题主要考查作图一复杂作图，解题的关键是掌握圆周角定理.

22.（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（〃，2）是一次函数y=x-1的图象与反比

例函数y=K（左W0）的图象的交点.

x

（1）求反比例函数y=X（女W0）的表达式；

（2）过点尸（小0）且垂直于x轴的直线与一次函数图象，反比例函数图象的交点分别

为M,N,当SZ0PM>S^OPN时，直接写出〃的取值范围.

【分析】（1）把A（4,2）代入y=x-l,求出①得到A点坐标，再将A点坐标代入反

比例函数解析式即可求得k的值；

（2）先画出两函数的图象，再根据SAOPM>S^OPN时即可得出〃的取值范围.

【解答】解：（1）把A（〃，2）代入y=x-1,

得，a-1=2,解得〃=3,

・••点A坐标为（3,2）.

把A（3,2）代入y=K（k卉0），

x

得，2=*,解得左=6.

3

所以反比例函数表达式为了♦•.；

X

（2）一次函数y=x-1的图象与丫=殳的图象相交于点（3,2）和（-2,-3）.

x

观察函数图象可知：过点P（小0）且垂直于x轴的直线与一次函数图象，反比例函数

图象的交点分别为M,N,当SAOPMASAOPN时，PM>PN,

则n的取值范围是〃<-2或n>3.

环

T6--

•**

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特

征以及待定系数法求函数解析式，利用数形结合是解题的关键.

23.（6分）居庸关位于距北京市区50余公里外的昌平区境内，是京北长城沿线上的著名古

关城，有“天下第一雄关”的美誉.某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具，

测量南关主城门上城楼顶端距地面的高度，下表是小强填写的实践活动报告的部分内容:

请你帮他计算出城楼的高度AD（结果精确到0.1加，sin35°七0.574,cos35°-0.819,

tan35°打0.700)

据

【分析】设AE为切:，根据三角函数列方程求得AE的值，进而求出即可.

【解答】解：根据题意，得BM=ED=L6m,ZAEC=90°,

设AE为在RtAACE中，

VZAC£=45°,

.•.ZCAE=45°,

：.AE=CE,

在RtAABE中,

■anNAB「幽，

BE

又•.•/ABE=35°,

解得了N30.3,

：.AD=AE+ED^30.3+1.6^3l.9Qm）,

答：城楼顶端距地面约为319〃.

【点评】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练利用三角函数求值是解题的关键.

24.（6分）如图，。。是△ABC的外接圆，A2是。。的直径，ABLCD于点E,尸是AB

延长线上一点，且N8CP=N8C。.

（1）求证：CP是。。的切线；

（2）连接。。并延长，交AC于点尸，交。。于点G,连接GC.若。。的半径为5,OE

=3,求GC和。尸的长.

A

【分析】（1）连接0C.根据圆周角定理和同角的余角相等可得/OC8+NBCD=90°.然

后由切线的判定方法可得结论；

（2）由垂径定理及三角形的中位线定理可得GC=2OE=6,OE//GC.然后根据相似三

角形的判定与性质可得答案.

【解答】(1)证明：连接。C.

"：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB.

于点E,

：.ZCEB=90°.

：.ZOBC+ZBCD=90°.

：.ZOCB+ZBCD=9Q°.

•：/BCP=NBCD,

：.ZOCB+ZBCP^90°.

：.OCLCP.

OC是半径，

；.CP是。。的切线.

(2)于点£,

为CO中点.

为GO中点，

：.OE为ADCG的中位线.

；.GC=2OE=6,OE//GC.

'：AO//GC

.,.△GCF^AOAF.

.GC_GF_6_GF

*'OA=OF

'：GF+OF=5,

：.OF=—.

11

【点评】此题考查的是切线的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、垂径

定理及圆周角定理，正确作出辅助线是解决此题关键.

25.（6分）随着冬季的到来，干果是这个季节少不了的营养主角，某超市购进一批干果，

分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本20元.销售过程中发现，每天销售量y

（袋）与销售单价无（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y=-2x+80（20WxW40）,

设每天获得的利润为卬（元）.

（1）求出w与x的关系式；

（2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？

【分析】（1）由利润=每袋利润X销量求解.

（2）将函数解析式化为顶点式求解.

【解答】解：（1）由题意可得vv=（x-20）y

=（尤-20）（-2尤+80）

=-2/+120x-1600.

二卬与龙的关系式为w=-2X2+120X-1600.

（2）：w=-2?+120x-1600=-2（x-30）2+200,

'."20WxW40,且。=-2<0,

，当x=30时，y最大值=200.

答：当销售单价定为每袋30元时，每天可获得最大利润，最大利润是200元.

【点评】本题考查二次函数的应用，解题关键是通过题意列出等式，掌握求二次函数求

最值的方法.

26.（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（1,相）和点（3,n）在二次函数y=/+6x的图

象上.

（1）当m=-3时.

①求这个二次函数的顶点坐标；

②若点（-1,ji）,（a,”）在二次函数的图象上，且yi>yi,则a的取值范围是_a

<7或a>5；

（2）当优w<0时，求6的取值范围.

【分析】（1）①利用待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐

标；②根据二次函数的增减性和对称性即可得到a的取值范围；

（2）分两种情况讨论，根据题意得到关于6的不等式组，解不等式组即可求得.

【解答】解：（1）当m=-3时.

①把点（1,-3）代入y=W+/?x,得b=-4,

二次函数表达式为y=—-4x=（x-2）2-4,

所以顶点坐标为（2,-4）；

②,・•抛物线y=7-4x=（x-2）2-4.

・・.开口向上，对称轴为直线x=2,

・••点（-1,yi）关于直线x=2的对称点为（5,户），

..•点（-1,#）,（〃，”）在二次函数的图象上，且y2>yi,

.•.“V-1或。>5,

故答案为：-1或。>5；

（2）将点（1,m）,（3,n）代入可得m=1+。，n=9+3b.

当m〃V0时，有两种情况：

①若卜I"把片1+儿〃=9+3。代入可得（此时不等式组无解.

n<0.[9+3b<0.

②若卜把片1+4〃=9+3b代入可得解得-3V0V-1.

n>0.[9+3b>0.

所以-3<b<-1.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，分类

讨论是解题的关键.

27.（7分）已知/尸。。=120°,点A,8分别在OP,。。上，OA<OB,连接A2,在A2

上方作等边△A2C,点。是8。延长线上一点，且A3=A。，连接AD

（1）补全图形；

（2）连接OC,求证：NCOP=/COQ；

（3）连接CD,CD交OP于点F,请你写出一个的值，使CD=OB+OC一定成

立，并证明.

p

p

oQ

备用图

【分析】(1)根据题意补全图形；

(2)在8。上截取BE=A。，连接CE,证明△CA。丝△CBE,根据全等三角形的性质得

至1JCO=CE,NCOA=NCEB,根据邻补角的定义证明即可；

(3)根据等腰三角形的性质和判定定理得到。B=DC,再证明。O=OC,结合图形证明

结论.

【解答】(1)解：补全图形如图1所示；

(2)证明：如图2,在3。上截取BE=A。，连接CE,

：△ABC为等边三角形，

：.CA=CB,ZACB=6Q°,

；NPO0=12O°,

：.ZCAO+ZCBO=180°,

VZCBO+ZCBE=180°,

：.ZCAO=ZCBE,

在△CAO和△C8E中，

rCA=CB

"ZCA0=ZCBE)

kAO=BE

.•.△CAO^ACB£(SAS),

：.CO=CE,ZCOA=ZCEB,

：.ZCOE=ZCEB,

J.ZCOP^ZCOQ；

(3)解：ZDAB=150°时，CD=OB+OC,

证明如下：VZZ)AB=150°,DA^AB,

：.ZADB=ZABD=15°.

：△ABC为等边三角形,

：.ZCAB=ZCBA=ZACB=60°,

AZCAD=150°,

,

：AD=AB=ACf

：.ZADC=ZACD=15°,

：.ZDBC=ZDCB=75°,

：.DB=DC,

*：ZPOQ=120°,/BDC=30°,

AZDFO=90°,

VAZ)=AC,

：.DF=FC.

：.DO=OC,

：.DB=DO+OB=CO+OB,

图3

图2