2023年山西省吕梁市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2023年山西省吕梁市成考专升本数学（理）

自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.

第3题函数y=e|x|是（）

A.奇函数，且在区间（0,+与上单调递增

B.偶函数，且在区间（-*0）上单调递增

C.偶函数，且在区间（-*0）上单凋递减

D.偶函数，且在区间（-*+与上单调递增

（15）।导=I与圆=2的公共点个数是

2.（A）4（B；21C）I（0）0

3.以抛物线y2=8x的焦点为圆心，且与此抛物线的准线相切的圆的方

程是（）

A.A.(x+2)2+y2=16

B.(x+2)2+y2=4

C.(x-2)2+y2=16

D.(x-2)2+y2=4

4.若函数f(x)的定义域为[0,1],贝!|f(cosx)的定义域为()

A.[0,l]B.(-oo,+oo)C.[-n/2,n/2]D.[2k7t-n/2,2k7t+7t/2](keZ)

5.■线yx?-3»-2在点(-1,2)处的初线斜率是

A.-1B.-2A

G-5D.-7

6.设函数/&)="+法+、已知f(x)=0的两根分别在区间(1,2)和

(2,3)内，则()

A.f(l)*f(2)>0B.f(l)*f(2)<0C.f(l)*f(3)<0D.f(2)*f(3)>0

7.函数f(x)的定义域为全体实数，且是以5为周期的奇函数，f(-2)=l,

则f(12)等于()

A.lB.-lC.5D.-5

8.G展开式中的常数项是()

A.7150B.5005C.3003D.1001

9.下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是()

A.A.f(x)=l/(l+x2)

B.f(x)=x2+x

C.f(x)=cos(x/3)

D.f(x)=2/x

10.已知向量a=(3,4),向量b=(0,-2),则cos<a,b>的值为

A.4/5B.-4/5C.2/25D.-2/25

11.设角a的终边经过点(4,-3),则cos(a+ir/3)=()

.4+373

A.A.A

4—3^3

B.R-7o~

,,3+4百

C.1-

DP

12.函数，y=lg(2x-l)的定义域为()

A.A.RB.{x|x>1}C.{x|x>2}D.{x|x>0}

13.下列()成立.

A.O.76012<1

>()

I。=I

B.3

C.loga(a+1)<loga+ia

D.2°-32<20-31

14.

设函数/(51)=1。8十/尹\则/(-!)-

A.A.

C.2

D.-2

有6名男生和4名女生，从中选出3名代表，要求代表中必须有女生，则不同的选

法的种数是()

(A)100(B)60

15.(C)80(D)192

16.复数x=n+bi(«,b£R且a,b不同时为0)等于它的共朝复数的倒数

的充要条件是()

A.A.a+b=lB.a2+b2=lC.ab=lD.a=b

(#=38蜘，___„

方H.人小的也f；

17.()

A.A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

18.设全集I={0,1,2,3,4},A={0,1,2,3},B={0,3,4},则AAB是()

A.{2,4}B.{1,2}C.{0,l}D.{0,l,2,3)

在等比数列{aj中，巳知对任意正整数n,a,+a2+•••+a.=2*-1,则a：+

+…+a：h()

(A)(2*-I)1(B)-|-(2,-I)1

(C)4"-1(D)；(4"-l)

1Q

已知有两点4(7,-4),8(-5,2),则线段的垂直平分线的方程为()

(A)2x-y-3=0(B)2x-y+3=0

20.(C)2x+v-3=0(D)2x+y+3=0

21.

(12)若a.8是两个相交平面，点4不在a内.也不在6内•用过4且与。和6卷平行的〃纹

(A)只有一条(B)只有两条

(C)只有四条(D)有无效条

22.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数有

()

A.36个B.72个C.120个D.96个

23.已知向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则a{b+c)=

()

A.A.8

B.9

C.13

D.

抛物线丁=-4x的准线方程为

,4(A)x--l(B)x=l(C)y=\(D)v=-l

25.设函数f(x+2)=2x〃2-5,贝IJf(4)=()

A.-5B.-4C.3D.l

26.设一次函数的图象过点(1,1)和(-2,0),则该一次函数的解析式为

()

A.A.y=(l/3)x+(2/3)B.y=(l/3)x-(2/3)C.y=2x-1D.y=x+2

巳知圆(*+2)'+(y-3)J=1的圆心与一抛物线的顶点重合，则此抛物线的方

程为()

(A)y=(*+2)2-3(B)y=(x+2)1+3

2

27(C)y=(x-2尸-3(D)r=(z-2)+3

某人打靶的命中率为0.8,现射击5次,那么恰有两次击中的概率为()

(A)0.82(B)0.8:x0.2J

(C)C；0.81x0.2J(D)C,O.8Jx0.22

28.

29.函数)='1的值域为。。

A.RB.[3,+oo)C.[0,+oo)D.[9,+oo)

30.设f(x)是以7为周期的偶函数，且f(-2)=5,则f(9)=()

A.-5B.5C.-10D.10

二、填空题(20题)

31.

若不等式|az+1IV2的解集为卜|一擀VzV：，,则a=

32.

函数y=3=+4的反函数是

33.在5把外形基本相同的钥匙中有2把能打开房门，今任取二把，则能

打开房门的概率为.

34.f(u)=u-l,u=(p(x)=Igx,则f[(p(10)]=.

+3z」-4在点(-1,2)处的切线方程为

35.

36.已知随机变量自的分布列是:

2012345

P0.10.20.30.20.10.1

贝!IEg=____________

37.

lim?9.

——.r-T-Z—

以桶圆(+==l的焦点为质点,而以椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程为

on

38.

-2x+1

39.,

40.正方体ABCD—A'B'C'D'中，A'C'与B'C所成的角为

41.设离散型随机变量x的分布列为

X-2-102

P0.2010.40.3

则期望值E(X)=

21.曲线y=至；.七］在点（-1,0）处的切线方程___________.

42.x+2

如果二次函数的图像经过原点和点（-4,0），则该第二次函数图像的对称轴方程

43.为------

44.设i,j,k为单位向量且互相垂直，向量a=i+j,b=-i+j-k,贝!）

a*b=__________

45.

sin200cos20"cos40°=

rr»100,

46.

47.已知/⑴=八，.则〃少=-----

48.已知|a|=2,|b|=4,|a+b|=3,则<a,b>=

校长为a的正方体ABCDA'B'CD'中，异面直线噎与DC的距离

49.

50.已知正四棱柱43©口-40，。。的底面边长是高的2位,则AC与

CC所成角的余弦值为

三、简答题（10题）

51.

（本小题满分12分）

已知函数/（X）=1-3/+6在［-2,2］上有最大值5.试确定常数m,并求这个函数

在该闭区间上的最小值.

52.（本小题满分12分）

设两个二次函数的图像关于直线X=1对称，其中一个函数的表达式为

Y=x2+2x-l,求另一个函数的表达式

53.（本小题满分12分）

设数列满足5=2.<17=3a.-2（"为正■数），

⑴求*；

a,-1

（2）求数列片」的通项•

54.

（22）（本小题满分12分）

面积为6的直角三角形三边的长由小到大成等差数列,公差为d.

（I）求d的值；

（H）在以最短边的长为首项，公差为d的等差数列中,102为第几项?

55.

（本小题满分12分）

已知参数方程

'x=-1-(e,+e")cosd,

y-e'-e~')sin0.

(1)若，为不等于零的常量,方程表示什么曲线？

(2)若山e射~,kGN.)为常量.方程表示什么曲线?

(3)求证上述两个方程所表示的曲线有相同的焦点•

56.(本小题满分12分)

已知等比数列；aj中,a,=16.公比g=—.

(1)求数列I。」的通项公式；

(2)若数列|玛！的前n项的和S.=124.求"的优

57.(本小题满分12分)

分别求曲线y=-3x2+2x+4上满足下列条件的点

⑴过这些点的切线与X轴平行；

⑵过这些点的切线与直线y=x平行.

58.

(本小题满分12分)

在(a%+l)7的展开式中,%3的系数是％2的系数与％4的系数的等差中项,

若实数a>l,求a的值.

59.(本小题满分12分)

已知点4(在曲线，=x--±.

⑴求出的值；

(2)求该曲线在点.4处的切线方程.

60.

(本小题满分13分)

已知08的方程为—+/+a*+2y+『=0'一定点为4(1,2).要使其过差点4(1,2)

作BS的切线有两条.求a的取值范围.

四、解答题(10题)

61.正三棱柱ABC-A，B，C,底面边长为a,侧棱长为h

(I)求点A到aATC所在平面的距离d;

(II)在满足d=I的上述正三棱柱中，求侧面积的最小值.

62.

(本小题满分12分)

在△ABC中，A=30°,AB=2,BC=。求：

(l)sinC;

(2)AC

63.如图：在三棱柱P-ABC中，侧面PAC_L底面ABC,

PA=BC=a,PC=AB=2a,ZAPC=60°,D为AC的中点

⑴求证：PA±AB

⑵求二面角P-BD-A的大小

⑶求点A到平面PBD的距离

64.

已知双曲线(一£=1的两个焦点为F.6,点P在双曲线上.若求:

(I)点P到1轴的距离；

cn)APF.F2的面积.

65.

已知数列D和数列仍3且a尸8,瓦一46.数列也.)是公比为2的等比数列，求数列

{a.)的通项公式a..

66.设函数f(x)=x3+x-l.

(I)求f(X)的单调区间；

(H)求出一个区间(a,b),使得f(x)在区间(a,b)存在零点,且b-aV

0.5.

67.某城有东西方向的街道七条，相邻两街的距离为b南北方向的街道

八条，相邻两街的距离为a,形成一个矩形。

I.从A到D的最短途径有多少条？解析：每一条最短途径有6段b

及7段a,因此从A到D的最短途径共1716条。H.从A经B和C到

D的最短途径有多少条？

巳知函数〃*)=X+—.

X

(1)求函数大口的定义域及单调区间；

(2)求函数〃x)在区间［1,4］上的最大值与最小值.

68.

69.

设一次函数/(X)满足条件次1)+3f(2)=3且次-1)-八0)=-1,求〃工)的解

析式.

70.

△XBC中，已知『+J-b?=ac,且lo&sin4+lo&sinC=-1，面积为有cm?，求它三

边的长和三个角的度数.

五、单选题(2题)

71.下列四组中的函数f(x),g(x)表示同一函数的是()

A.A.

B.

c.

D.

刀若等比数列匕力的公比为3,A=9,则a[=c

A.27B.l/9C.l/3D.3

六、单选题(1题)

73.下列四组中的函数f(x),g(x)表示同一函数的是()

A.A.1

C.

D."x)»*

参考答案

1.C

2.D

3.C

抛物线y2=8x的焦点，即圆心为(2,0),抛物线的准线方程是x=一

2,与此抛物线的准线相切的圆的半径是r=4,与此抛物线的准线相

切的圆的方程是(x+2)2+y2=16.(答案为C)

4.D求f(cosx)的定义域，就是求自变量x的取值范围，由已知函数f(x)

的定义域为[0,1],利用已知条件，将cosx看作x,得OWcosxgl,2krt-

7T/2<x<2k7r+7t/2(k£Z).

5.C

C建标:，'(2i-3)-5

6.B

方程的两根分别在区间(1,2)和(2,3)内，如图，所以

9题答案图

,.〃工)在.r=l与x=2处异号，即/(I)•/(2X0.

7.BYf(x)是奇函数，，f(-2)=-f(2),，,f(2)=-l,V5为f(x)的周期，，

f(x+5)=f(x),/.f(12)=f(5x2+2)=f(2)=-l.

8.B

15-r-rr

Tr+1=Ci5(j-T)•(j-l)•(-l)

--r

=Ci5jTff(-l),

15r-^-=0=>r=6,

T3

15X14X13X12X11X10

=5005.

C"6!

9.B

求cos《a,b〉，可直接套用公式cos<a.b>=.?>

a\•

a・b=(3,4)•(0,-2)=3X0+4X(-2)=-8,

cos<a,b〉="----8--=-—

—+♦•，。2+(-2)2105,

10.B

11.A

\OP

V3

12.D

如图，AJ；O.76°12,a=0.76<1为减函数.又

VO.12>0,.\0.76。12Vl.

BJogy5-^-,a=V2>l为增函数，又•；0vW-Vl....log/rgV0.

JJ3

C,log.(a+1).因为a没有确定取值范围，分两种

II<a

情况.

令5工——1•得工二一可•则

/20X/—上\+8

/(-l)=/(5j：)=log4q---2^----=log172=log,2'=log|<y)--^=-y.

(答案为B)

15.A

16.B

17.B

消去参数，化曲线的参数方程为普通方程,

（X-3co«5.

所以方程，表示的曲线是椭版.（答案为B）

|了=3可罔

18.BAAB={0,1,2,3}A{1,2}={1,2}.

19.A

20.A

21.A

22.B用间接法计算，先求出不考虑约束条件的所有排列，然后减去不符

合条件的

*1.2.S.4.5q.APl41ftI3*46。I*

1,2..的.Pi)>4tA,-^*.***

”.A2R..一..„

偌****.Pt-ZP!tt0-tX2«-12O****，7Z

23.B

24.B

25.B利用凑配法，就是将函数的解析式写成关于(x+2)的函数式；

26.A

27.B

28.C

29.B

该小题主要考查的知识点为函数的值域.【考试指导】

因为对任意的工都有一+9-9,即

>"6+9=3,则函数》=厅,9的值

域为［3,+oo).

30.B

因为f(x)是偶函数，所以f(2)=f(-2)=5,又因为f(x)是以7为周期的函

数,则f(9)=f(7+2)=f(2)=5.

31.

【答案】2

【解析】该小题主要考查的知识点为不等式的解集.

【考试指导】

Iar4-1|<2=>-2<ar+l<2=>

31

-----VzV一,由题意知a=2.

a--------a

32.

由产3—4,傅(孑)；,一4.即尸lo研(y7).

即函数v=3,+4的反函数班y=1og+(工-4)(£>4),《答案为>=logi(x-4)(x>4))

33.

在5把外形茶本相同的钥匙中有2把能打开房门,今任取二把.则能打开房门的概率为

qq+q7，业**工、

P一飞"^记•'答案为16)

34.0

■:(p(x)=Igx(p(l0)=IglO=l,f[(p(10)]=(p(i0)-l=l-l=0.

35.

y=x+3

【解析】该小题主要考查的知识点为切线方程.

【考试指导】

,y=工2+3z+4=>y=21+3,

YI'・T_1，故曲线在点(一1,2)处的切线方程为

广2=Z+1,即3=7+3.

36.

37.

叫/一备二】•(然案为1)

38.

或-£=】

35

39.

40.

答案：600【解析】正方体中A'C'与B'C为异面直线，因为AC

〃A'C',所以AC与B'C所成的角，即为A7C'与B'C所成的

角.又4AB'C为等边三角形.所以NACB7=60。。即A‘C'与B'C

成60o的角.求异面直线所成的角关键是将其转移至同一平面内.并表示

出该角，再求解.

43「

44.答案：0【解析】由向量的内积坐标式和坐标向量的性质得：

i2=j2=k2=l,i*j=j*k=i*O,*.*a=i+j,b=-i+j-k,得a,b=(i+j)(-i+j-k)=-

i2+j2=-l+l=0.【考点指要】本题考查考生对向量坐标的掌握情况.

45.

sin200cos20。8840°了3in80：]j_

8sl0"cos(^0*-80*)sin80*4'4

46.

•八3'('为等由一侑形.48"J.n所成的力为60.余弦值为｝.(答案为

1I

47.

48.

【答案】Xarccos||

+=(a+^)•(o4-6)

・0•0+2a•b+0"b

-lap4-2ia|•161•coMa.b〉+|b|

・4+2X2X4c8《0.b》+16=9・

Mffcos<a«*>—一曰,

即《a・5)=arccos(-)-x~arccos

49.

楼氏为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中，异面红线与DC的距离为孝&(答案为名)

50.

51.

f(x)=3x2-6x=3JT(X-2)

令/(x)=0,得驻点A=0,x，=2

当x<0时J(M)>0；

当8<HV2时/⑺<0

.•.工=0是A*)的极大值点,极大值〃0)=">

../TO)=m也是最大值

J.m=5.又/(-2)=m-20

J\2)=m-4

・•・/(-2)=-15JT2)=1

:.函数。外在［-2,2］上的最小值为〃-2)=-15.

52.

由已知，可设所求函数的表达式为y=(x-m)'+n.

而y=『+2工-I可化为y=(x+l)'-2

又如它们图像的顶点关于直线*=1对称.

所以口=-2,m=3,

故所求函数的表达式为y=(*-3)'-2,即y=』-6x+7.

53.解

⑴4“=3a.-2

a..t-1=3a.-3=3(a.-1)

.ITT

a.-1

(2)[a.-11的公比为q=3.为等比数列

Aa.=g-*=3-*

a.=3"'+1

54.

(22)解：(I)由已知条件可设直线三角形的三边长分别为

a-</,Q,a+d,其中a>0,d>0,

则(a+d)2=a2+(Q-d)2.

a=4d,

三边长分别为3d,4d,5d.

S=-x3dx4d=6,d=l.

故三角形的三边长分别为3,4,5,

公差d=L

(11)以3为首项,1为公差的等差数列通项为

a,=3+(/i-l),

3+(n-l)=102,

n=100,

故第100项为102.

55.

(1)因为20.所以e'+e*VO.e,-e,0O.因此原方程可化为

---G=co»&'①

e+e

=sing.②

>e-c

这里e为参数.ay+②1,消去叁数。,得

(e,+e-)2+(J-，]=1'即(，亏.(/“]

44

所以方程表示的曲线是椭圆.

(2)由“竽入N.知co*，-。，曲”0.而，为参数,原方程可化为

—得

练-绦=(e'+e7)'-S-eT尸.

cos6sin0

因为2e'e'=2e°=2,所以方程化简为

?上,

因此方程所表示的曲线是双曲线.

(3)证由(I)知，在椭圆方程中记/=运亨工.〃=立三

44

则CJJ-y=1,C=1,所以焦点坐标为(±1.0).

由(2)知.在双曲线方程中记a'=ca".肥=$1nb

一则jn『+b'=l,C=1.所以焦点坐标为(±1,0).

因此(。与(2)中的两方程所表示的曲线有相同的焦点.

56.

(1)因为%即16=%X：,得.=64.

所以,该数列的通项公式为a.=64x(^-)-

(2)由公式工=」1，得124=一卡一，

1-9।_X

2

化博得2“=32,解得n=5.

57.

(1)设所求点为(工。.%).

y*=-6x+X

由于x轴所在直线的斜率为。,则-6%+2=0.&=/

因此/<>=-3•(y)3+2•y+4=y.

又点g.号)不在X轴上做为所求.

(2)设所求为点(知.%).

由(1)，…=-6与+2.

由于y=x的斜率为I,则-6«o+2=1』=y.

因此，。=-3■+2得+4年

又点(看帘不在直线…上'故为所求.

由于(<M：+I)'=(1♦OZ)'.

可见,屣开式中的系数分引为C：1.CQ)CQ4.

由巳知.2C"=C>、C".

wiawoj7x6x57x67x6x5i--

Xa>1,W?2x---•a=~—•a,5a3-10a+3=0.

，x/xnx/

58.

59.

(1)因为1=一二，所以名0=1・

⑵…d

曲线yw;；彳在其上一点(I,/)处的切线方程为

r-y=

即4+4y-3=0.

60.

方程/+/+3+2y+『=0表示圆的充要条件是:黯+4-V>0.

即a2Vg..所以-亨百vaV"!•百

4(1.2)在88外,应满足：1+2’+a+4+a'>0

曲J+a+9>0.所以aeR.

综上.0的取值范围是（-茅,茅）.

(I)在三A'一人BC中.ZSABC为正三角形.

S^yK'—十。'sin60'・^^a'•

又•；M=A,・•・心”-4a*A.

XM

在KtZSABA'中.(A'B)'-必+一•

在等♦△A'BC中.设底边的高为A'・剜

A'q“^BA-(G•尸*

Sg'ac—:/4A，+3a，♦

VAM-4'=1-•■；”+3a1,d.

由于匕》-4,・V*-MC•

.*•d—.

〃Q+3a,

(U)当d=1时.

由(I)得Wahx

3a1A1-4**4-3a1>2(均值定理),

3a3'34OaA,

•—.；.3aQ4。.

当且仅当M'=4A'时，守号成立，

乂，：3ah是此三检柱的倒囱根,故其・小值为4G.

62.

,i•sinCsinA

⑴•ABBC'

sinA心

:.sinCBC，AB

=73

3•

(2)由题意加，CV90°,

3，

sinB=sinf180°—(A+C)J

=sin(A+C)

ysinAcosC+cosAsinC

=3+痣

6，

；•AC=*sinB=1/3-\-j2.

63.解析：（I）在△PAC中，由已知利用余弦定理得因为平面PAC_L

平面ABC,

AC=/PA2+PC2-2PA・PC•cos60°=

Ga，NPAC=9，

所以PA_L平面ABC,所以PA_LAB.

(II)作AE_LBD于E连PE,PA_LBD所以.BD_L平面PAE,贝!|PE

±BD,所以NPEA是二面角P—BD—A的平面角因为RtAAED相

似RtABCD所以AE/BC=AD/BD

BD=Ja?+(§-)=岑“.

叵,

HnAPAD-8C_2°1t

即AE=~BD------万一〒

Ta

二tan/PEA=罂=4•

AE7213

~7~a

即NPEA=arctan

(HD过A作AHJ_PE于H.BD±AH(ih<U)

证知),所以AHI.平面PHD.

由射影定理可得

PE10

64.

(I)设所求双曲线的焦距为2c,由双曲线的标准方程可知<?=9,"=】6,

得.所以焦点F,(-5,0).F,(5,0).

设点P(4，%)Gro>0,*>0).

因为点*・”)在双曲线上，则有手嘘-1,①

又PF-PR,则5•£%=1，即一^•-^=7,②

,•4+5%-5

①②联立,消去4.用出=¥,即点P到工轴的距离为4一竽.

(U)SA7F.F.=y|F1F,l•A=yX^Xl0=16.

65.

由数列//是公比为2的等比数列，得仇='・2",,即6)­2,

s

■:A—6-8-6=2・••u9—6=2•2*7.0»=6+2,・

66.(I)f(X)=3X2+1>0,

故函数在R上单调递增，故其单调区间为R.

（II）令。=?,则有

Z4

/（T）=T+T-1<0,-/r（T）=H+T~1>0,

又由于函数在R上单调递增，故其在（十停）内存在零点,

且6-a=小一十=}V0.5（答案不唯一）.

4Z4

67.I.每一条最短途径有6段b及7段a,因此从A到D的最短途径共

13!,

7!'6「1716条。

II.同理，从A到B再到C最后到D的最短途径共。

从A到B有条

从口到C有祟M条\

乙！入o!

从C到D有鸵掰条

n4!*5!x4!___240

3!X1»2!X3!2JX2!

4

解（I）函数f（x）的定义域为{xeRbKOlZ（*）=»-T

x

令/（x）=0,解得阳=-2,x2=2.

当x变化时//«）的