2022-2023学年辽宁省大连市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省大连市高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在等差数列｛a列中,a2=1,a5+a7=18,则｛aj的公差为（）

A.1B.2C.4D.8

2.根据如表样本数据：

Xi357

y64.53.52.5

得到回归直线方程为y=bx+a，则（）

A.a<0,b<0B,a>0,b>0C.a<0,b>0D,a>0,b<0

3.中国古代著作怫丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行

七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天

一共行走了700里路，则该马第六天走的里程数约为（）

A.5.51B,11.02C.22.05D,44.09

4.第24届冬奥会奥运村有智能餐厅4、人工餐厅B,运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐,

如果第一天去4餐厅，那么第二天去4餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去

月餐厅的概率为0.8.运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（）

A.0.75B,0.7C.0.56D.0.38

5.在。一56的展开式中常数项是（）

A.-120B.120C.-20D.20

6.已知函数/（x）=靖-出nx（e为自然对数的底数）在区间（1,2）上单调递减，则实数a的最小

值为（）

A.1B.yj-eC.eD.2e2

7.刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭

学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，分10次还清所有的欠款，且每个月还款的

钱数都相等，贷款的月利率为t.则小明每个月所要还款的钱数为元.（）

A.a(l+t)】。B.*

•10[(l+t)10-l]'(l+t)10-l

8.已知实数a,b,c6（l,4-oo）,且e。-3=2a,=3瓦e,q=4「其中e为自然对数的底

数,则（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列说法中正确的是（）

A.在（1+乃6的展开式中，奇数项的二项式系数和为64

B.已知事件4,B满足PG4|B）=0.6,且2小=0,4，则事件4与8相互独立

C.已知随机变量X服从正态分布N（3,l）,且「（2印XW4）=0.6826,则P（X>4）=0.3174

D.一个与自然数有关的命题，已知n=3时，命题成立，而且在假设n=k（其中kN3）时命

题成立的前提下，能够推出n=k+1时命题也成立，那么n=90时命题一定成立，而n=2时

命题不一定成立

10.有甲、乙、丙等6个人站成一排，则（）

A.共有120种不同的站法

B.如果甲和乙必须相邻，共有240种不同的站法

C.如果甲、乙、丙三人两两不相邻，共有144种不同的站法

D.如果甲不能站在首位，乙不能站在末位，共有480种不同的站法

11.已知函数/'（X）=/一2%一2,则（）

A./（x）有三个零点

B./（x）有两个极值点

C.点（0,—2）是曲线y=f（x）的对称中心

D.曲线y=/（x）有两条过点（一1,0）的切线

12.数列｛心｝满足加=2—；（71€可且n22）,贝女）

A.若为=1,则数列｛cm｝是等比数列

B.若%#1,则数列｛4｝是等差数列

C.若5=2,则数列｛怎｝中存在最大项与最小项

D.若1<的<2,则1<czn+1<an<2

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.若离散型随机变量X~B（n,6，且。（X）=则n=.

14.已知函数=ae\a*0,e为自然对数的底数）的图象在点（0,/（0））处的切线与函数

g（x）=-x2-x的图象也相切，则该切线的斜率为.

15.欧拉函数.0(n)(neN*)的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数,

例如9(1)=1,9(3)=2,数列｛人｝满足人=8(2"),若存在neN*,使得不等式24•an<

2n-9成立，则实数4的取值范围是.

16.已知函数/'(%)=Inx,若存在区间(尤1，*2)，当时，f(x)的值域为(化匕上外)，

且[%1]+[x2]=4,其中口]表示不超过久的最大整数，则k的取值范围为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

设又是公差不为。的等差数列｛趣｝的前n项和，已知:53与的等比中项为且：S3与牛$4的

等差中项为V

(1)求数列｛aj的通项公式；

1

(2)设与=丁丁一，求数列｛b｝的前n项和q.

an，an+ln

18.(本小题12.0分)

2023年世界乒乓球锦标赛决赛阶段比赛于2023年5月20日至5月28日在南非德班国际会议中

心举行，中国男女选手包揽了各项目的冠军，国球运动又一次掀起了热潮.为了进一步推动乒

乓球运动的发展，增强学生的体质，某学校在高二年级举办乒乓球比赛，比赛采用了5局3胜

制，每场11分，每赢一球得1分，比赛每方球员轮流发两球，发完后交换发球，谁先达到11分

谁获得该场胜利，进行下一局比赛,但当双方球员比分达到10：10时，则需要进行附加赛，即

双方球员每人轮流发一球，直至一方超过另一方两分则获得胜利.现有甲、乙两人进行乒乓球

比赛.

(1)已知某局比赛中双方比分为8：8,此时甲先连续发球2次，然后乙连续发球2次，甲发球时

甲得分的概率为本乙发球时乙得分的概率为|,各球的结果相互独立，求该局比赛乙以11：9

获胜的概率：

(2)已知在某场比赛中，第一局甲获胜，在后续比赛中，每局比赛中获胜的概率为|,乙获胜

的概率为|，且每局比赛的结果相互独立.两人又进行了X局比赛后比赛结束，求X的分布列与

数学期望.

19.(本小题12.0分)

己知函数f(%)=ex-ax(aGR,e为自然对数的底数)，g(x)=2/n(x+/)-%.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若a<e,证明：当久>0时，f(x)>g(x)+1—2m2.

20.(本小题12.0分)

某技术工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平

均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们

某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分

为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]

分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图:

(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下

组”工人的概率.

(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产技术能手”，请你根据已知条件完成如表2X

2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产技术能手与工人所在的年龄组有关”.

25周岁以上25周岁以下

生产技术能手——

非生产技术能手——

(3)以样本中的频率作为概率，为了更好地了解该工厂工人日均生产量情况，从该厂随机抽取

20名工人进行一次日均生产量分析，若这20名工人中有k名工人本次日均生产量在[80,90)之

间的概率为外(0<k<20,/cGZ),求P团取得最大值时k的值.

2

2_n(ad-bc)

一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(%2>k)0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

21.(本小题12.0分)

记数列｛厮｝的前n项和为已知%=2,｛3an-2Sn｝是公差为2的等差数列.

(1)求｛即｝的通项公式；

(2)若勾=华，数列｛%｝的前n项和为7；,求证：Tn<2.

an

22.(本小题12.0分)

已知函数/'(%)=2cosx+ln(l+x)—1.

(1)判断函数f(%)在区间(0,令上零点和极值点的个数，并给出证明；

(2)若无20时，不等式/'(X)Sax+1恒成立，求实数a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：等差数列｛%｝中，设公差为d,,・,口2=1，◎5+。7=2。6=18,Aa6=9,

4d=—。2=8,d=2.

故选：B.

由题意，利用等差数列的定义和性质，计算求得结果.

本题主要考查等差数列的定义和性质，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：由表中数据可得，随着X的增大，y越来越小，所以b<0,

又x=1时，y=6,所以当x=0时，必有y=a>6>0.

故选：D.

根据线性回归直线的函数特征，结合题中数据，即可判断出结果.

本题考查回归方程的应用，属于中档题.

3.【答案】B

【解析】解：设该马第n(n€N*)天行走的里程数为an,

由题意可知，数列｛an｝是公比为q=T的等比数列，

所以，该马七天所走的里程为竺字=粤=700，

1-164

2

解得由=辔，

故该马第五天行走的里程数为=%G)5=Z镖X条=翳，11.02.

故选：B.

设该马第n(neN*)天行走的里程数为a”，分析可知，数列｛的｝是公比为q=g的等比数列，利用等

比数列的求和公式求出的的值，即可求得。6的值.

本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题.

4.【答案】A

【解析】解：设4表示第i天甲去4餐厅用餐，(i=1,2),

设&表示该生第一天去B餐厅用餐，则。=4iUBi，且4，Bi互斥，

由题意得P(4)==0.5,=0.7,PC&IBD=0.8,

二运动员甲第二天去4餐厅用餐的概率为：

P(A2)=P(A1)P(A2IA1)+P(B1)P(4|B1)=0.5x0.7+0.5x0.8=0.75.

故选:A.

第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，利用全概率计算公式能求出运动员

甲第二天去4餐厅用餐的概率.

本题考查概率的求法，考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

5.【答案】C

【解析】解：(久一:1展开式的通项为晨+]=C，-k(一5k=f""6_2k,

令6-2k=0得k=3,

展开式中的常数项为-瑶=-20.

故选：C.

用展开式的通项求常数项.

本题主要考查二项式定理，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：已知/(x)=靖一a/nx,函数定义域为(0,+8),

可得(。)=/一7，

若函数f(x)在区间(1,2)上单调递减，

则1(x)<0在(1,2)上恒成立，

即a>尤e*在(1,2)上恒成立，

不妨设9。)=》短，函数定义域为(1,2),

可得g'(x)=(x+l)ex>0,

所以函数g(x)在(1,2)上单调递增，

此时gQ)<g(2)=2e2,

则a>2e2.

故选：D.

由题意，对函数/(x)进行求导，将函数f(x)在区间(1,2)上单调递减转化成a>xe》在(1,2)上恒成

立，构造函数g(x)=xe，，对函数g(x)进行求导，利用导数得到函数g(x)的单调性和最值，进而

即可求解.

本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力.

7.【答案】D

【解析】解：根据等额本息还款法可得，第一个月末所欠银行贷款为：%=a(l+t)-%,

第二个月末所欠银行贷款为：=a1(l+t)—x=a(l+t)2—x(l+t)—x,

第10个月末所欠银行贷款为:

aI。=a(l+-x(l+t"—x(l+t)'—........—x(l+t)-x

=a(l+t)10-x[(l+t)9+(1+t)8+.........+(1+t)+1]

-a(l+,-t)io

=a(l+t)10+二二竽

由于分10次还清所有的欠款，故a(i+t)i。+中一(；+。叫=0,

at(l+t严

解得x=

a+t严-I，

故选：D.

表达出第10个月末所欠银行贷款数，因为分10次还清所有的欠款，故得到方程，求出答案.

本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题.

8.【答案】A

【解析】解：已知e。〃=2a,eb~3=3b,ec-4=4c

对等式两边同时取对数，Wa—1=ln2a,b—\=ln3b,c—\=ln4c,

234

整理得a—Ina=ln2+，b—Inb=ln3+，c-Inc=ln4+

234

不妨设/(%)=x-Inx,函数定义域为(1,+8),

可得八x)=l-”号>0,

所以函数/Xx)在定义域上单调递增，

不妨设g(x)=/nx+：,函数定义域为(1,+8),

可得g'(X)=H=绫>0,

所以函数g(x)在定义域上单调递增，

此时g(4)>g(3)>g(2),

可得/4+»仇3+>仇2+9,

即c—Inc>b—Inb>a—Ina,

则f(c)>f(b)>f(a),

此时c>b>a.

故选：A.

由题意，根据对数的运算性质进行整理，构造函数八乃=x-mx,对函数f(x)进行求导，利用导

数得到函数/(%)的单调性，构造函数g(x)="X+5对函数g(x)进行求导,利用导数得到函数g(x)

的单调性，结合两函数单调性进行求解即可.

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理和运算能力.

9.【答案】BD

【解析】解：对于4(1+%)6=%+%%++…+

6

令％=1,得劭+%+曲■*---Fa6=2,

令》=-1,得％)—---F。6=0，

二式相加化简得劭+%+4+。6=当=32,A错误；

对于B,由题意P(4)=1-0.4=0.6,所以有P(4|B)=需^=0.6=P(A),

即P(4B)=P(4)P(B),B正确;

对于C,根据正态分布的对称性可知所求概率为上等生=0.1587,C错误；

对于D,根据数学归纳法原理，。正确.

故选：BD.

结论概率与统计相关知识进行分析即可.

本题主要考查概率与统计相关知识，属中档题.

10.【答案】BC

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4,甲、乙、丙等6个人站成一排，有虢=720种不同的站法，A错误；

对于B,将甲乙看成一个整体，与其余4人全排列即可，有掰用=240种不同的站法，8正确；

对于C,将其余3人排好，再将甲乙丙三人安排在3人的空位中，有房房=144种不同的站法，C

正确；

对于D,分2种情况讨论：甲站在末位，剩下5人全排列即可，有度=120种结果，

甲不在末位，甲有4种情况，乙也有4种结果，余下的4个人在四个位置全排列，共有4x4x*=

384种结果，

共有120+384=504种不同的站法，。错误.

故选：BC.

根据题意，由排列组合公式依次分析选项，综合可得答案.

本题考查排列组合的应用，涉及分布、分类计数原理的应用，属于基础题.

11.【答案】BCD

【解析】解：对B,由题，f(x)=3x2-2,令r(x)>0,得x>?或x<—

令((%)<0,得一苧<》<?,

所以f(x)在(-8,一殍)，(浮,+8)上单调递增，

在(_?,苧)上单调递减，所以x=±?是极值点，故8正确；

对A,由f(x)的单调性，且因极大值/(—?)=警一2<0,/⑵=2>0,

所以函数/'(x)在定义域上有且仅有一个零点，故A错误；

对C,令/i(x)=/一2%,该函数的定义域为R,

h(-x)=(-x)3-2(-x)=-x3+2x=-h(x),则h(x)是奇函数，

(0,0)是似x)的对称中心,

将无(%)的图象向下移动2个单位得到/(x)的图象，

所以点(0,-2)是曲线y=/(x)的对称中心，故C正确；

。项，设切点为(%040)，，(乃=/一2x—2的导数为f'(x)=3/-2,

则切线的斜率为3以-2,

切线的方程为y—以+2%Q+2=(3%Q—2)(%—%Q),

代入(一1,0)，可得-端+2XQ+2=(3%Q—2)(—1—%Q)f

整理并解得：&=0或沏=|,则过点(-1,0)的切线方程有两条，£>正确.

故选：BCD.

结合的单调性、极值可判断4项；利用极值点的定义可判断8项，利用平移可判断C项；利用

导数几何意义判断。项.

本题考查导数的应用，考查函数的单调性，对称性，切线问题，属于中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：对于4若%=1,则。2=1,以此类推厮=1,可见数列｛即｝是以1为公比的等比

数列，A正确；

对于B,即一1=1一户=竽匚，若内41,则有六=卢%，即六一一1=1，所以

an-lan-lan-lan_l^n-1-1

数列｛占｝是以1为公差的等差数列，B正确；

an~L

对于C,由于%=2=|,假设当n=k,k>l,k&Z,an=号成立，即纵=牛，则以+i=2-^=

雷，显然该式满足即=手，可见数列似"是递减数列，没有最小项，C错误；

11

贝H<<1

4H2--

对于0,由于假设几=匕fc>1,fceZ,1<ak<2f纵川「以1<@k+i=

又以Hl,所以以2-2耿+1>0,所以依>2-h=Qk+i，B|J1<a<a<2。正确.

akn+1nf

故选：ABD.

利用递推法和归纳法结合选项进行分析即可.

本题主要考查数列的递推法和归纳法，属中档题.

13.【答案】4

【解析】解：离散型随机变量X〜8(71，。且D(X)=%

33

贝HnXX1=

u4--4-

故答案为：4.

根据已知条件，结合二项分布的方差公式，即可求解.

本题主要考查二项分布的方差公式，属于基础题.

14.【答案】1

【解析】解：函数/(x)=aex(a力0,e为自然对数的底数)的图象在点(0,f(0))处的切线的斜率为:

a,

切线方程为：y-a=ax,即丫=£1%+<2,

函数/'(x)=aex{a*0,e为自然对数的底数)的图象在点(04(0))处的切线与函数g(x)=-x2-%

的图象也相切，

可得M+(a+l)x+a=0,所以zl=(a+l)2—4a=0,解得a=1.

则该切线的斜率为1.

故答案为：1.

求解切线方程，联立切线方程与g(x)=-/-x,利用判别式为0转化求解即可.

本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，是中档题.

15.【答案】(一8,与)

【解析】解：因为2n的约数除了1之外的一定是偶数，奇数的约数不可能为偶数，

所以2n与奇数不可能有除了1以外的公约数，所以2n与奇数是互素的，

并且2n与偶数的公约数除了1以外一定有公约数2,所以2n与偶数是不互素的，

所以9(2")为不超过2n的正整数中的奇数的个数，

nr

所以<p(2)=曰=2"T，•••a7l=2*T,

若存在九EN*,使得不等式2a-an<2n-9成立，

即存在716N*,使得不等式;I<竽成立，

故2<(7^n-)max^令f(九)=¥-，

2n-72n—911—2n

则f(n+1)-f(n)

当neN*且口<5时，f(n+1)-/(n)>0,即/⑴<f(2)<</(6),

当Ti6N*且《>6时，f(n+1)-/(n)<0,即f(6)>f(7)>/(8)>…

所以f5)=竽的最大值为f(6)=卷,

由题意，2即为所求.

故答案为：(-8,号).

首先根据欧拉函数的定义，推出8(2")的值，得到厮表达式，再通过分离参数，将不等式能成立

的问题化为关于n的函数的最大值求解即可.

本题在新定义的背景下考查了数列与不等式的综合问题，属难题.

16.【答案】嫄9

【解析】解：f(%)=p①

将①与方程y=kjX联立解得同=

将(3,m3)代入y=kox,解得々0=苧，

由于苧x2="3久》2，

所以当铮<k<±

3e

满足当％W01/2)时，/(%)的值域为((h1，/2)，且［与］+=4.

故答案为：(铮3).

求出与=相切的直线y=kiX,其斜率即为符合条件的k的上限，过点(3,)3)的直线y=

的斜率即为符合条件的k的下限.

本题主要考查对数函数的值域，属中档题.

17.【答案】解：(1)设等差数列｛即｝的公差为d(d#O),由：S3与的等比中项为2S5,

可得“3al+3d)(4%+6d)=表(5%+10d)2,

化为3%+5d=0,①

由与;的等差中项为—J,可得(%+d)+(Qi+,d)=—?,即2ai+Jd=—.②

OI*T4乙乙乙

由①②可得的=—5,d=3,

则a九=-5+3(n—1)—3n—8；

⑵%=a„-a,1+]=(3n-8)(3n-5)=3(3n-8-3n-5))

则数列｛%｝的前n项和7=-4+三一1+1-;+…+不/~不占)

3、53?i-5725-15n

【解析】(1)由等差数列的求和公式以及等差数列、等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，

即可得到所求；

(2)求得b==一=!(磊一/不)，由数列的裂项相消求和，可得所求和.

本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等差数列、等比数列的中项性质，以及数列的裂

项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题.

18.【答案】解:(1)设事件4为“该局比赛乙以11：9获胜”

则p(a=0q.(1一年•鼾+(1一令2.(1一手〈=挤

(2)易知随机变量X的所有取值为2,3,4,

此时P(X=2)=|x|=qP(X=3)=C2X|X《X|+(|)3=^,

P(X=4)=^x|x(|)2x|+Cfx(|)2x|x|=^,

则x的分布列为：

X234

94436

P

25125125

^*fliU、i£L(/XV)A=2nx-9+30x—44+4.x—36=—366.

【解析】(1)由题意，根据相互独立事件的概率公式进行求解即可；

(2)得到X的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解.

本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查了数据分析和运算能力.

19.【答案】解：(1)函数/。)=蛾一QX的定义域为R,则/。)=靖一。，

当Q40时f'(%)>0,故f(%)在R上单调递增；

当a>0时，令f(x)<0,%<Ina,令f'(x)>0,得不>Ina,

故/1(x)的减区间为(一8,Ina),增区间为(Ina,+8).

(2)当a<e时,则/(x)>ex—ex,

设九(%)=ex-ex-g(x)-14-2/n2,

则九(x)=ex-ex—2Zn(x+1)+x—1+2仇2,

7

x，

h'(、x)J=e—e---x-+-l-+1

又当x>0时，九'(乃单调递增且h(l)=0,

则当0<x<l时,h'(x)<0,当x>l时，/i'(x)>0,

故的减区间为(0,1),增区间为(1,+8).

故九(x)>/i(l)=0,即ex—ex>2bl(x+1)+x+l—2ln2,

所以/(x)>g(x)+1-2ln2.

【解析】(1)求导数，分类讨论，即可讨论/(%)的单调性；

(2)当a<e时,则/(%)>ex—ex,设h(x)=ex—ex—g(x)—1+2ln2,利用导数即可证明.

本题考查了导数与函数单调性，考查了运算能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)已知25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名，

若从中抽取了100名工人，

则从25周岁以上的工人抽取100x丁磊=60人,

其中日平均生产件数不足60件的工人有60x0.0050x10=3人，分别记为力，B,C；

从25周岁以下的工人抽取100x.瑞o,。=40人，

其中日平均生产件数不足60件的工人有40x0.0050x10=2人，分别记为x,y,

若从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，

共有(4B),(A,Q,(Ax),(Ay),(B,C),(B,y),(C,x),(C,y),(x,y)这10种情况，

其中,至少抽到一名“25周岁以下组”工人的情况有(4%)，(Ay).(B,y),(C,x),(C,y),

(x,y)这7种情况，

则至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率「=看；

(2)易知25周岁以上的工人抽中日平均生产件数不少于80件的工人有60x(0.0050+0.02)x10=

15人，少于80件的工人有45人，

25周岁以下的工人抽中日平均生产件数不少于80件的工人有40x(0.0325+0.0050)x10=15

人，少于80件的工人有25人，

则2x2列联表如下:

25周岁以上25周岁以下

生产技术能手1515

非生产技术能手4525

此时2_100(15X25-15X45)2

X-60x40x30x70〜1.786<2.706-

所以，没有90%的把握认为“生产技术能手与工人所在的年龄组有关”；

(3)易知样本中日均生产量在［80,90)的频率为0.2x0.6+0.325x0.4=

不妨设在抽取的20名工人中，日均生产量在［80,90)的人数为X,

此时X〜8(20,》，

所以P(X=k)=C%G)k(a20-k,

人,_P(X=k)_啖G)kq)20-〃_21-k

之=P(X=k-l)=C%l@)kT信)21-k=

当t>1时，k<5.25,

此时P(X=k-1)<P(X=K),

当£<1时，k>5.25,

此时P(X=k-1)>P(X=k),

所以当k=5时，Pk取得最大值.

【解析】(1)由题意，根据分层抽样原理以及频率分布直方图求出每组应抽取的人数，进而即可求

解；

(2)结合所给信息列出2x2列联表，代入公式中求出X2,将其与临界值对比，即可得到答案；

(3)设在抽取的20名工人中，日均生产量在［80,90)的人数为X,得到X〜B(20=),此时P(X=k)=

以06)气》2。-尢令t=「客)i),对t<1和t>1进行讨论,进而即可求解.

本题考查独立性检验，考查了数据分析和运算能力.

21.【答案】解：(1)由的=2,｛3a.-2S"｝是公差为2的等差数列，

可得3即—2Sn=2+2(n-1)=2n,

当n=1时，a1=2,

当ri22时，由3a”-2Sn=2n,可得3。._1-2S"_i=2n-2,

上面两式相减可得3a；,—2Sn—3ci"_i+2s71T=2>

即为即=3an_i+2,即有an+1=3(an_i+1),

则也久+1｝是首项和公比均为3的等比数列，

所以an+luB71,即有an=3n-l；

(2)证明:%=髀含，

当n=1时，瓦=1,7\<2；

当nN2时，3M-l>2n+1.

可由数学归纳法证明.

当71=2时，3?-1=23=8,成立；

设n=k(k>2,keN)时，3卜一122k+1.

则n=k+1时，3卜+1-1>3x2fc+1+2>2k+2,

所以n>2时，3n—122n+1.

所以以W会，

则;隔=*+1+…+/■,

上面两式相减可得;%=3+*+^+…+玄一

__n+2

=_q--科=di-尹

所以必=2--pr<2,

则7；<Wn<2.

综上，Tn<2.

【解析】(1)由等差数列的通项公式和数列的通项与前n项和的关系，结合等比数列的通项公