福建高考数学二轮专题复习教案――空间角度

专题(三)空间角主干知识整合：立体几何的空间角度中，对三种角度的求解与性质的探究，属于高考永恒的话题经典真题感悟：1．（07全国Ⅱ•理•7题）已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1AA． B． C．D．2（07浙江•理•16题）已知点O在二面角的棱上，点P在内，且。若对于内异于O的任意一点Q，都有，则二面角的大小是________。3．（07广东•理•19题）如图6所示，等腰△ABC的底边AB=6，高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE。记BE＝x，V(x)表示四棱锥P－ACFE的体积。（Ⅰ）求V(x)的表达式；（Ⅱ）当x为何值时，V(x)取得最大值？（Ⅲ）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值；解：1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，，V(x)=（）（2），所以时，，V(x)单调递增；时，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值；（3）过F作MF//AC交AD与M,则，PM=，，在△PFM中，，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为；热点考点探究：考点一：异面直线所成的角——空间角的最小元素直线与直线所成角是立体几何的所成角（线线角、线面角、面面角）中最简单的一种，只需要把两条直线（或其中一条直线）平移，使它们相交于一点，就可以把两条异面直线所成角的问题转变为平面中两条相交直线所夹角的问题了.要注意的是角的取值范围，分清那个角是这两条直线的所成角（或者它的补角）.其范围是.【例1】如图（1）所示，在空间四边形ABCD中，已知AD=1，BC=，且AD⊥BC，对角线BD=，求AC和BD所成的角.【解析1】如图（2）所示，分别取AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H，连结EF、FH、HG、GE、GF.由三角形中位线定理知，EF∥AC，且EF=，GE∥BD，且GE=.GE和EF所成的锐角（或直角）就是AC和BD所成的角.同理，GH=，GH∥AD，HF∥BC.又AD⊥BC，∴.∴在△EFG中，图（2）∴，即AC和BD所成的角为.【解析2】如图（3），在平面BCD内，过C作CE∥BD，且CE=BD，连DE，则DE∥BC且DE=BC.∴∠ACE就是AC和BD所成的角（若∠ACE为钝角，则∠ACE的补角就是AC和BD所成的角）.又AD⊥BC,∴AD⊥DE.∴图（3）在△ACE中，∴∠ACE=90°，即AC和BD所成的角为90°.【点评】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”.平移的方法一般有下面三种类型：利用图有已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移，计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.考点二：线面角——直线与射影的夹角为主体直线与平面所成的角分两种，一是平面的斜线与平面所成的锐角，即斜线与平面内的射影所夹的角；二是平面的垂线与平面所成的直角.直线与平面所成角不存在补角的问题.直线与平面成角的范围是.【例2】如图（4），在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．(Ⅰ)求证：OD∥平面PAB；(Ⅱ)当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的大小.【解析】(Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC的中点：∴OD∥PA,又AC平面PAB,图（4）∴OD∥平面PAB.(Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB,又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE,作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.又OD∥PA,∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF.图（5）在Rt△ODF中,sin∠ODF=,∴PA与平面PBC所成角为arcsin【点评】求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角.考点三：二面角——用平面角来量度面面成角是立体几何中的所成角问题的重点，二面角的两个面是两个半平面，因此二面角中有钝角存在，二面角的取值范围与线线角、线面角不同，它的取值范围是【0,】.二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小求解，以利用平面几何、三角函数等重要知识.【例3】在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点.图（6）(1)求证：四边形B′EDF是菱形；(2)求直线A′C与DE所成的角；(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角；(4)求面B′EDF与面ABCD所成的角.【解析】(1)证明：如上图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=a,下证B′、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG，由EGABA′B′知，B′EGA′是平行四边形.∴B′E∥A′G,又A′FDG,∴A′GDF为平行四边形.∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四点共面故四边形B′EDF是菱形.(2)解：如图（7）所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，图（7）则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角.在△A′CP中，易得A′C=a，CP=DE=a,A′P=a由余弦定理得cosA′CP=故A′C与DE所成角为arccos.(3)解：∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上.如下图所示.图（8）又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线，故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′在Rt△B′AD中，AD=a，AB′=a,B′D=a则cosADB′=故AD与平面B′EDF所成的角是arccos.(4)解：如图，连结EF、B′D，交于O点，显然O为B′D的中点，从而O为正方形ABCD—A′B′C′D的中心.图（9）作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，再作HM⊥DE，垂足为M，连结OM，则OM⊥DE，故∠OMH为二面角B′—DE′—A的平面角.在Rt△DOE中，OE=a,OD=a,斜边DE=a,则由面积关系得OM=a在Rt△OHM中，sinOMH=故面B′EDF与面ABCD所成的角为arcsin.【点评】对于第(1)问，若仅由B′E=ED=DF=FB′就断定B′EDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B′、E、D、F四点共面.求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应用面积射影法.考点四：探索性问题ABCDE例4.如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且另一个侧面是正三角形，在线段上是否存在一点，使成角，若存在，确定的位置，若不存在，请说明理由。ABCDE分析：如图5把在三棱锥补成以为棱的正方体HCDB---AMNG,使我们对题意及图形有透彻理解找到与面所成的角。在上任取一点使，利用所成的角为来构建方程，再求ACBDEMNGH的值，若ACBDEMNGH解法1：如图6，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，是正三角形，则DABCOEFH取的中点连结则，，，，作交的延长线于，则平面平面则，在Rt中，，DABCOEFH在中，，在中，，，在中，设，作，平面平面，就是所成的角。由(※)，在中，，要使成角，只需使，当时成角解法2在解法1中接（※）以为坐标原点，以直线分别为轴，轴的正方向，以过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示则，又平面的一个法向量为，要使成角，AHFEBODCxyAHFEBODCxyz当时成角规律总结：1、求线面角关键是找、作线与面垂直，通常是先寻找面面垂直，得到线面垂直；2、二面角的平面角的基本作法有：定义法，三垂线定理法，垂面法。点到面的距离通常在面面垂直背景下向线作垂线得到线面垂直得射影。另空间距离和角的求解应遵循：一作二证三计算。3、向量法在题目中的应用专题能力训练：一．选择题：1．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小为 （C） A．arccosB．arccosC． D．2．正四面体A—BCD中E、F分别是棱BC和AD之中点，则EF和AB所成的角 （A）A．45 B．60 C．90 D．303.已知正四面体ABCD中,AE=AB,CF=CD,则直线DE和BF所成角的余弦为(A) A. B. C.－ D.－4．等边三角形和等边三角形在两个相互垂直的平面内，则（B）A． B． C． D．5.已知单位正方体ABCD－A1B1C1D1对棱BB1,DD1上有两个动点E,F,BE=D1F=,设EF与AB所成的角为,与BC所成的角为,则的最小值(B) A.等于60º B.等于90º C.等于120º D.等于135º 填空题：6.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中,若点P为三角形BCD的重心,则D1F与平面ADD1A17．若正三棱锥的侧面均为直角三角形，则它的侧面与底面所成二面角的为大小为三．解答题：8、如图，在四面体P-ABC中，PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，，F是线段PB上一点，，点E在线段AB上，且EF⊥PB.（1）求证：PB⊥平面CEF；（2）求二面角B—CE—F的大小。解（I）证明：∵∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形。故PA⊥平面ABC又∵而故CF⊥PB,又已知EF⊥PB∴PB⊥平面CEF（II）由（I）知PB⊥CE,PA⊥平面ABC∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1