数学实验课件 第6章6.3

6.3矩阵的相似对角化定义设A为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P，使得P-1AP=D为对角矩阵，则称A可以相似对角化.6.3.1向量组的线性相关性

在MATLAB中，可以利用rank(A)判断线性相关性，利用rref(A)求一个极大无关组.例6.9设向量组

，（1）求向量组的秩，判断向量组的线性相关性；（2）求向量组的一个极大无关组，将向量组中其余向量用极大无关组线性表示.

解先将向量组构造出一个矩阵（1）>>A=[11221;0215-1;203-13;1104-1]

>>rank(A)

ans=

3因为向量组的秩=矩阵A的秩=3<5，所以向量组线性相关；（2）>>[B,j]=rref(A)B=100100103-1001-1100000j=123由

j

可知A中的第1、2和3列是一个极大无关组，即向量

是一个极大无关组.由B可知

，

.6.3.2特征值

工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题.

在MATLAB中，eig(A)可以计算方阵A的特征值.例6.10求

的特征值和特征向量.解>>A=[73-2;34-1;-2-13]A=73-234-1-2-13>>[V,D]=eig(A)V=0.5774-0.0988-0.8105-0.57740.6525-0.49080.57740.75130.3197D=2.00000002.39440009.6056可知A的特征值是λ1=2，λ2=2.3944，λ3=9.6056.对应于λ1,λ2,λ3的特征向量分别是:6.3.3方阵的相似对角化

定理6.2

n

阶矩阵

A

能相似对角化的充分必要条件时

A

有

n

个线性无关的特征向量.

推论

如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A能对角化.

根据定理和推论，判断方阵A是否可以相似对角化可以由A的特征向量来判断，在MATLAB中可以利用rank(A)和eig(A)进行判断.例6.11判断下列矩阵A是否可以相似对角化，若可以相似对角化，求出可逆矩阵P和对角矩阵D，使得P-1AP=D.解（1）>>A=[2-20;-21-2;0-20]

>>[V,D]=eig(A)

V=

-0.33330.6667-0.6667

-0.66670.33330.6667

-0.6667-0.6667-0.3333

D=

-2.000000

01.00000

004.0000

可知A有三个特征值互不相等，所以A能够相似对角化.

矩阵V可逆，取P=V，使得P-1AP=D.（2）>>A=[-110;-430;102]

>>[V,D]=eig(A)

V=

00.40820.4082

00.81650.8165

1.0000-0.4082-0.4082

D=

200

010

001

>>rank(V)

ans=

2得到V的秩为2，可知3阶矩阵A只有2个线性无关的特征向量，所以A不能相似对角化.

例6.12城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础.根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵.图6-1单行道4节点交通图图6-1是某城市的交通图.每一条道路都是单行道，图中数字表示某一个时段的机动车流量（单位：辆）.针对每一个十字路口，进入和离开的车辆数相等.（1）建立确定每条道路流量的线性方程；（2）为了唯一确定未知流量，还需要增添哪几条道路的流量统计？（3）当x4=150时，确定x1、x2、x3的值；请计算每两个相邻十字路口间路段上的交通流解根据已知条件，得到各节点的流通方程A：x1+360=x2+260B:x2+220=x3+292C:x3+320=x4+357D:x4+260=x1+251（1）整理得方程组为（2）在命令行窗口输入：>>A=[1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1];>>b=[-100;72;37;-9];>>B=rref([A,b])B=100-19010-1109001-13700000得到方程组得解为：为了唯一确定未知流量，只要增加x4统计的值即可.（3）当x4=150时，确定x1=159，x2=259、x3=187.

例6.13（人口迁徙问题）假设一个城市的总人口数固定不变，但人口的分布情况变化如下：每年都有5%的市区居民搬到郊区；而有15%的郊区居民搬到市区.若开始有700000人口居住在市区，300000人口居住在郊区.请分析：（1）10年后市区和郊区的人口各是多少？（2）30年后、50年后市区和郊区的人口各是多少？（3）分析（2）中数据的原因.解令人口变量其中xn为市区人口，yn为郊区人口.在第n+1年的人口分布状态为：用矩阵乘法表示为：其中

可以得到n年后市区和郊区的人口分布：（1）10年后的人口分布可用MATLAB求解：>>A=[0.95,0.15;0.05,0.85];>>X0=[700000;300000];>>X10=A^10*X0X10=1.0e+05*7.44632.5537可知x10=744630，y10=255370.

即10年后市区和郊区的人口各是744630和255370.（2）30年和50年后的人口分布可用MATLAB求解：>>A=[0.95,0.15;0.05,0.85];>>X0=[700000;300000];>>X30=A^30*X0X30=1.0e+05*7.49942.5006>>X50=A^50*X0X50=1.0e+05*7.50002.5000可知x30=749940，y30=250060，即30年后市区和郊区的人口各是749940和250060；x50=750000，y50=250000，即50年后市区和郊区的人口各是750000和250000.（3）要求An，需要将A对角化.>>[V,D]=eig(A)V=0.9487-0.70710.31620.7071D=1.0000000.8000可知存在可逆阵

，使得A=VDV-1，其中

，则有