人教版初中（九年级）数学：二次函数公式及知识点总结

新人教版初三数学二次函数知识点总结是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。2.二次函数y=ax²+bx+c的结构特征：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.(2)a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0.向下y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0.a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c.向下y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值c.a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0向下x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值04.y=a(x-h)²+k的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k.小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库1..小程序搜索：天浩提优资料知识点总结-试题试卷-课件教案-电课本资料下载向下x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k.平移个单位平移个单位y=ax2+ky=a(x-h2.平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：者，即五、二次函数y=ax²+bx+c图象的画法小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库2小程序搜索：天浩提优资料知识点总结-试题试卷-课件教案-电课本资料下载1.当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为顶点坐标为时，y随x的增大而减小；当2.当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为顶点坐标为x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；业有抛物线与x轴有交点，即b²-4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a(1)当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；(2)当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.(1)在a>0的前提下，(2)在a<0当b>0当b=0的前提下，结论刚好与上述相反，即3小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库3小程序搜索：天浩提优资料知识点总结-试题试卷-课件教案-电课本资料下载当b<0时，即抛物线对称轴在y轴的左侧.总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.同右异”3.常数项c(1)当c>0(2)当c=0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;总之，只要a,b,c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：2.已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称2.关于y轴对称3.关于原点对称y=a(x-h)²+ky=-a(x+h)²-k;4.关于顶点对称(即：抛物线绕顶点旋转180°)y=a(x-h)²+ky=-a(x-h)²+k.4小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库455小程序搜索：天浩提优资料知识点总结-试题试卷-课件教案-电课本资料下载抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):图象与x轴的交点个数：②当△=0时，图象与x轴只有一个交点；③当△<0时，图象与x轴没有交点.2.抛物线y=ax²+bx+c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0,c)3.二次函数常用解题方法总结：(1)求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；(2)求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；判断图象的位置，要数形结合；(4)二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.下面以a>0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与x轴无交点_y=2x2二次三项式的值恒为正_y=2x2一元二次方程无实数根，V≤3y=2(x-4)2Ay=2(x-4)²-3超全学习资料库小程序搜索：天浩提优资料知识点总结-试题试卷-课件教察-电课本资料下载十一、函数的应用y=-2x2最大面积是多少1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：求这条抛物线的解析式。4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：(1)确定抛物线的解析式；(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库6小程序搜索：天浩提优资料知识点总结-试题试卷-课件教案-电课本资料下载5.考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0;④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个点在点(0,2)的下方.下列结论：①a<b<0;②2a+c>0;③4a+c<0;④2a-b+1>0,其中正确结论的个数为()A1个B.2个C.3个D.4个会用待定系数法求二次函数解析式例3.已知：关于x的一元二次方程ax²+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax²+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为()A(2,-3)B.(2,1)C(2,3)D.(3,2)例4、如图(单位：m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合.设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym².(1)写出y与x的关系式；(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间?求抛物线顶点坐标、对称轴.(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查，第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系.求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。(1)根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式?若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库7小程序搜索：天浩提优资料知识点总结-试题试卷-课件教案-电课本资料下载(2)请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评：对于第(1)小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A(c,一2)”,就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第(2)小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第(1)小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。的图象经过点A(c,一2),图象的对称轴是x=3,解所以所求二次函数解析式为(2)在解析式中令y=0,令x=3代入解析式，得2等。函数主要关注：通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图),其中AF=2,BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积.生的综合应用能力.同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间.例2某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系x·y若日销售量y是销售价x的一次函数.小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库8小程序搜索：天浩提优资料知识点总结-试题试卷-课件教察-电课本资料下载(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?【解析】(1)设此一次函数表达式为y=kx+b.则解得k=-1,b=40,即一次函数表达(2)设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元w=(x-10)(40-x)=-x²+50x-400=-(x-25)2+225.产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元.【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：(1)设未知数在“当问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程.A.y=-2(x+1)²B.y=-2(x-1)²c.y=-2x²+1D.y=-2x²-1在同一直角坐标系中图象可能是图中的()AA.-1.3B.-2.3C.-0.3D.-3.39小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库9小程序搜索：天浩提优资料知识点总结-试题试卷-课件教察-电课本资料下载C.第三象限D.第四象限的正根的个数为()A.0个B.1个C.2个.3个A.y=x²-x-2B.y=-x²+x+2C.y=x²-x-2或y=-x²+x+2D.y=-x²-x-2或y=x²+x+2二、填空题满足上述两条性质的函数的解析式是(只写一个即可)。三角形面积为14.如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是(π取3.14).(1)求这个二次函数的解析式；第15题图小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库10小程序搜索：天浩提优资料知识点总结-试题试卷-课件教察-电课本资料下载(0<t≤2),其中重力加速度g以10米/秒²计算.这种爆竹点燃后以v₀=20米/秒的初速度上升，(1)这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米?(2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.点A、B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线顶点为D.(1)求此抛物线的解析式；18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时，月销售量为45吨.该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x(元),该经销店的月利润为y(元).(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围);(3)该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元?(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗?请说明理由.小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库