2025版新高考版高考总复习数学 常用逻辑用语（十年高考）

2025版新高考版高考总复习数学1.2常用逻辑用语考点1充分条件与必要条件1.(2023新课标Ⅰ,7,5分)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:Snn为等差数列,则(A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案C若{an}为等差数列,设公差为d,则an=a1+(n-1)d,∴Sn=na1+n(n−1)d2,∴Snn当n≥2时,Sn−1n−1=a1∴Snn-Sn−1n−1=a1+n−12d-a∴Snn是以S1为首项,d若Snn为等差数列,设公差为d',则Snn=S1+(n-1)d'=a1+(n∴Sn=na1+n(n-1)d',当n≥2时,Sn-1=(n-1)a1+(n-1)(n-2)d',两式作差得,an=a1+2(n-1)d',又n=1时也满足上式,∴an=a1+2(n-1)d',n∈N*,当n≥2时,an-1=a1+2(n-2)d',∴an-an-1=a1+2(n-1)d'-a1-2(n-2)d'=2d',∴{an}是以a1为首项,2d'为公差的等差数列.综上,甲是乙的充要条件,故选C.2.(2023北京,8,4分,易)若xy≠0,则“x+y=0”是“yx+xy=-2”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C充分性:yx+xy必要性:由yx+xy=y2+x2xy=-2,得x2+y2+2xy=(x+y)23.（(2023全国甲理,7,5分)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sinα+cosβ=0,则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B∵sin2α+sin2β=1,∴sin2α=1-sin2β,即sin2α=cos2β,∴sinα=±cosβ,即sinα+cosβ=0或sinα-cosβ=0,所以充分性不成立;当sinα+cosβ=0时,sin2α=cos2β,∴sin2α=1-sin2β,即sin2α+sin2β=1,所以必要性成立.∴甲是乙的必要条件但不是充分条件.故选B.4.(2023天津,2,5分,易)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件答案B由a2=b2得|a|=|b|;由a2+b2=2ab,得(a-b)2=0,∴a=b.a=b⇒|a|=|b|,而由|a|=|b|不能推出a=b.∴“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B.5.(2022浙江,4,4分)设x∈R,则“sinx=1”是“cosx=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A根据sinx=1解得x=π2+2kπ,k∈Z,此时cosx=cosπ2+2kπ=cosπ2=0.根据cosx=0解得x=π2+kπ,k∈Z,此时sinx=sinπ2+kπ=±1.6.(2021浙江,3,4分)已知非零向量a,b,c,则“a·c=b·c”是“a=b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B解题指导:利用平面向量的数量积定义分别判断命题“若a·c=b·c,则a=b”与“若a=b,则a·c=b·c”的真假性即可.解析若c与向量a,b都垂直,则由a·c=b·c不一定能得到a=b;若a=b,则由平面向量的数量积的定义知a·c=b·c成立,故“a·c=b·c”是“a=b”的必要不充分条件.故选B.方法总结:(1)充分条件、必要条件的判断方法:①定义法:根据“若p,则q”与“若q,则p”的真假性进行判断;②集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(2)要判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.但要判断一个命题是真命题,必须通过严格的推理论证.7.(2021北京,3,4分)设函数f(x)的定义域为[0,1],则“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A若f(x)在[0,1]上单调递增,则f(x)在[0,1]上的最大值为f(1);若f(x)在[0,1]上的最大值为f(1),则f(x)未必在[0,1]上单调递增,如图.故选A.8.(2022北京,6,4分)设{an}是公差不为0的无穷等差数列,则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0,当n>N0时,an>0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C设等差数列{an}的公差为d(d≠0),则an=a1+(n-1)d.若{an}为递增数列,则d>0,由an=a1+(n-1)d可构造函数f(x)=xd+a1-d,令f(x)=0,得x=d−若a1>d,则x<0,取N0=1,即有n>1时,f(n)>f(1)>0成立;若a1<d,则x>0,取N0=d−a1d+1d−a1d表示不超过d−a1d的最大正整数,此时n>N0,必有f(n综上,存在正整数N0,当n>N0时,an>0,∴充分性成立.易知an是关于n的一次函数,若存在正整数N0,当n>N0时,an>0,则一次函数为增函数,∴d>0,∴必要性成立.故选C.9.(2019天津文,3,5分)设x∈R,则“0<x<5”是“|x-1|<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B|x-1|<1⇔-1<x-1<1⇔0<x<2.当0<x<2时,必有0<x<5;反之,不成立.所以,“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.一题多解因为{x||x-1|<1}={x|0<x<2}⫋{x|0<x<5},所以“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.10.(2018天津,理4,文3,5分)设x∈R,则“x−12<12”是“xA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断.由x−12<12得-12<x-1由x3<1得x<1.当0<x<1时能得到x<1一定成立;当x<1时,0<x<1不一定成立.所以“x−12<12”是“x方法总结(1)充分、必要条件的判断.解决此类问题应分三步:①确定条件是什么,结论是什么;②尝试从条件推结论,从结论推条件;③确定条件和结论是什么关系.(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件.解答此类题目,可先从结论出发,求出使结论成立的必要条件,然后验证得到的必要条件是否满足充分性.11.(2017北京理,6,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A由存在负数λ,使得m=λn,可得m、n共线且反向,夹角为180°,则m·n=-|m||n|<0,故充分性成立.由m·n<0,可得m,n的夹角为钝角或180°,故必要性不成立.故选A.12.(2017天津理,4,5分)设θ∈R,则“θ−π12<π12”是“sinA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A本题考查不等式的解法及充分必要条件的判断.∵θ−π12<π12⇔-π12<θ-π12sinθ<12⇔θ∈2kπ−0,π6⫋2kπ∴“θ−π12<π12”是“sin13.(2016天津理,5,5分)设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案C若对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0,则a1+a2<0,又a1>0,所以a2<0,所以q=a2a1<0.若q<0,可取q=-1,a1=1,则a1+a2=1-1=0,不满足对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0.所以“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的必要而不充分条件评析本题以等比数列为载体,考查了充分条件、必要条件的判定方法,属中档题.14.(2015重庆理,4,5分)“x>1”是“log12(x+2)<0A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案B当x>1时,x+2>3>1,又y=log12x∴log12(x+2)<log121=0,则x>1⇒log12(x+2)<0;当log12(x+2)<0时,x+2>1,x>-1,则log12(x+2)<0⇒/x>1.15.(2015天津理,4,5分)设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A因为|x-2|<1等价于-1<x-2<1,即1<x<3,由于(1,2)⫋(1,3),所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分而不必要条件,故选A.16.(2015湖南理,2,5分)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C若A∩B=A,任取x∈A,则x∈A∩B,∴x∈B,故A⊆B;若A⊆B,任取x∈A,都有x∈B,∴x∈A∩B,∴A⊆(A∩B),又A∩B⊆A显然成立,∴A∩B=A.综上,“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件,故选C.17.(2015陕西理,6,5分)“sinα=cosα”是“cos2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A由sinα=cosα,得cos2α=cos2α-sin2α=0,即充分性成立.由cos2α=0,得sinα=±cosα,即必要性不成立.故选A.18.(2014课标Ⅱ文,3,5分)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f'(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则()A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件答案C∵f(x)在x=x0处可导,∴若x=x0是f(x)的极值点,则f'(x0)=0,∴q⇒p,故p是q的必要条件;反之,以f(x)=x3为例,f'(0)=0,但x=0不是极值点,∴p⇒/q,故p不是q的充分条件.故选C.19.(2014安徽理,2,5分)“x<0”是“ln(x+1)<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案Bln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0⇒x<0;而x<0⇒/-1<x<0,故选B.20.(2014浙江理,2,5分)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A当a=b=1时,有(1+i)2=2i,即充分性成立.当(a+bi)2=2i时,有a2-b2+2abi=2i,得a2−b2=0,ab=1,解得评析本题考查复数的运算,复数相等的概念,充分条件与必要条件的判定,属于容易题.20.(2014北京理,5,5分)设{an}是公比为q的等比数列.则“q>1”是“{an}为递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D若q>1,则当a1=-1时,an=-qn-1,{an}为递减数列,所以“q>1”⇒/“{an}为递增数列”;若{an}为递增数列,则当an=-12n时,a1=-12,q=12<1,即“{an}为递增数列”⇒/“q>1考点2全称量词与存在量词1.(2015浙江理,4,5分)命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>nB.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>nC.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0答案D“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)>n”,全称命题的否定为特称命题,故选D.2.(2014湖北文,3,5分)命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是()A.∀x∉R,x2≠xB.∀x∈R,x2=xC.∃x∉R,x2≠xD.∃x∈R,x2=x答案D原命