人教版五年级数学下册第八单元-数学广角-找次品(附答案)

人教版五年级数学下册同步奥数课内延伸思维拓展潜能开发第第页第八单元数学广角——找次品在找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以在找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证找出次品时称量的次数最少。【例题1】在9个零件里有1个是次品（次品重一些），用天平称，至少称几次就一定能找出次品来？【练习1】有6个足球，其中有5个质量相同，另有一个由于气打得很足，比其他的足球略重一些。如果用天平称一称，至少称（）次就能保证找出这个足球。【例题2】有15袋饼干，其中14袋质量相同，另有一袋轻些。至少称几次能保证找出轻些的那袋？【练习2】有9袋糖果，其中8袋的质量相同，另外一袋的质量稍轻一些。用天平至少称（）次才能保证找出稍轻的那袋糖果。【例题3】有10袋盐，其中9袋质量相同，另有1袋重些。至少称几次能保证找出这袋重些的盐？【练习3】有13瓶水，其中12瓶质量相同，另外有1瓶是糖水，比其他略重一些，至少称（）次才能保证一定能找出这瓶糖水。【例题4】质检部分对某企业的产品进行质量抽检。在抽检的19盒产品中有1盒不合格（质量稍轻一些）。（1）至少称几次能保证将这盒不合格产品找出来？（2）如果在天平的左右两端各放9盒的话，称一次有可能称出来吗？为什么？【练习4】有14个球，其中的13个质量相同，余下的一个质量较轻，是不合格产品，用天平至少称几次能保证找出这个不合格产品？【例题5】有29瓶同样的水，往其中1瓶中加了一些盐。如果用天平称，至少称几次能保证找出加盐的水？【练习5】警察叔叔抓获了一个造假团伙，他们在银首饰外镀一层黄金，再拿到市场上冒充黄金首饰卖。没收的这批首饰全部是同样的戒指，共45枚，但其中有1枚是真的，你能帮助警察叔叔找到真的戒指吗？最少称几次就能找到真的金戒指？【例题6】有4个零件，其中3个质量都是60克，另1个质量不是60克，但不知道是比60克重还是轻。如果用天平称，至少称几次可以找出这个不合格零件？【练习6】有五个乒乓球特征相同，其中只有一个重量异常（次品），现在要求用一部没有砝码的天平称三次，将那个重量异常的球（次品）找出来。

【例题7】有8瓶矿泉水，编号是①至⑧，其中有6瓶一样重，是合格产品，另外2瓶都轻5克，是不合格产品。用天平称了3次，结果如下：第一次①+②比③+④重；第二次：⑤+⑥比⑦+⑧轻；第三次：①+③+⑤与②+④+⑧一样重，那么这2瓶不合格产品分别是几号？【练习7】有8个球编号是①至⑧，其中有6个球一样重，另外两个球都轻1克。为了找出这两个轻球，用天平称了3次。结果如下：第一次：①+②比③+④重；第二次：⑤+⑥比⑦+⑧轻；第三次：①+③+⑤与②+④+⑧一样重。两个轻球分别是（）。A.①、④B.③、⑧C.②、⑤D.④、⑤【例题8】甲、乙、丙、丁四个学生同时参加一次数学竞赛，赛后甲、乙、丙三人预测名次，甲说：丙是第一名，我是第三名；乙说：我是第一名，丁是第四名；丙说：丁是第二名，我是第三名；最后公布结果时，发现他们的预测都只对了一半。请你说出这次竞赛甲、乙、丙、丁四人的名次。【练习8】有一天，某珠宝店被盗走了一块贵重的钻石，经侦破，查明作案人肯定在甲、乙、丙、丁四人之中，于是，对这四个重大嫌疑犯进行审讯，审讯所得到的口供如下：甲：我不是作案的，乙：丁是罪犯。丙：乙是盗窃这块钻石的罪犯。丁：作案的不是我。经查实，这四个人的口供中只有一个是假的，那么作案人究竟是谁？【例题9】一把钥匙开一把锁，现在有10把钥匙10把锁，不知道哪把钥匙配哪把锁。那么至少试多少次可以确保钥匙和锁全部匹配？【练习9】一把钥匙开一把锁，现在有6把钥匙6把锁，但不知怎么匹配。那么至少试多少次可以确保钥匙和锁全部匹配？思维突破1.用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下关系。（只含一个次品，已知次品比正品重或轻。）要辨别的物口数目保证能找出次品需要的次数2～314～9210～27328～81482～2435……（1）要保证6次能测出次品，待测物品可能是多少个？（2）从上表你能发现什么规律？为什么？2.有三个盒子，第一个盒子里装了两个5克的红球；第二个盒子里装了两个6克的红球；第三个盒子里装了一个5克的红球和一个6克的红球。每个盒子外面贴的标明球的质量的标签都是错的。聪明的乐乐只从一个盒子里取出一个红球，放在天平称一下，就把所有的标签都改正过来了。你知道他是怎么做的吗？3.从前有个财主雇了一个长工，讲定一年给长工三筐稻谷。可是到了年底长工去要稻谷的时候，财主却提出一个条件，不准他把三筐稻谷一筐一筐地称，而且三次要称出三筐稻谷各自的重量，如果称不出，就一粒稻谷也不给。聪明的长工想了想，终于按要求称出了三筐稻谷各自的重量，拿走了属于他的全部稻谷。你知道这位长工是怎样称稻谷的吗？考试真题1.（2018·西城期末）25个乒乓球中混有一个质量较重的次品，小刚用天平称，第一次称量结果如下图。他接着用天平称，如果用最少的次数保证找到这个次品，第二次称量分组方法正确的是（）。B.C.D.2.（2016·西城期末）28个乒乓球中混有一个质量较轻的次品，小红用天平称，第一次称量的结果如下图，接下来，她至少还要再称（）次才能找到这个次品。（2015·西城期末）26个零件中混有1个质量较轻的次品，其余25个是合格的，用天平称，要用最少的次数找到这个次品，第一次应该将26个零件分成三组，这三组的个数分别是（）、（）和（）。4.（2012·西城期末）在20个零件中，有19个质量完全相同，另有一个质量较轻是次品，用天平称3次保证能找到这个次品的分组方法是（）。A.20（10，10）B.20（6，6，8）C.20（4，4，12）D.20（5，5，5，5）5.(2016·北京161中学新初一分班考试）甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，赛后猜测他们之间的考试成绩情况是：甲说：“我可能考的最差。”乙说：“我不会是最差的。”丙说：“我肯定考的最好。”丁说：“我没有丙考的好，但也不是最差的。”成绩公布后，只有一人猜错了，则此四人的实际成绩从高到低的次序是__________。本讲作业1.有18颗珍珠，其中混入一颗假的，另外17颗完全一样，而凭感官无法找出次品，次品比正品稍重一点。如果用天平称至少（）次就可以找出次品。A.2B.3C.6D.172.有9袋糖果，其中8袋每袋重300克，1袋少了2块，不到300克。（1）如果用天平称，至少称几次就能保证找出那一袋少了2块的糖果？（请你试着用图表示称的过程。）（2）王明说：“如果天平两边各放4袋，称一次不可能称出那袋少了2块的糖果。”王明说的对吗？为什么？3.有11盒糖果，其中有10盒质量相同，另有1盒质量重些。至少称几次能保证找出这盒重些的糖果？4.有13个零件，其中有12个质量相同，另有1个轻一些，是不合格产品。你至少称几次能保证找出这个次品？5.有10盒巧克力，其中的9盒质量相同，另有一盒少了1块。如果用天平称，至少称（）次能保证找出这盒巧克力。A.3B.4C.5D.66.有3袋食盐，其中2袋每袋500克，另一袋不是500克，但不知道比500克轻还是比500克重。用天平至少称（）次能保证称出这袋食盐比500克重或轻。7.有8个零件，编号是1～8，其中有6个一样重，是合格产品，另外2个都轻5克，是不合格产品，用天平称了三次，结果如下：第一次1+2比3+4重；第二次5+6比7+8轻；第三次1+3+5与2+4+8一样重，那么这两个不合格产品分别是几号？8.甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印了不同的号码。赵说：“甲是2号，乙是3号。”钱说：“丙是4号，乙是2号。”孙说：“丁是2号，丙是3号。”李说：“丁是1号，乙是3号。”又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，请问：丙的号码是几号？9.有红、黄、白三种颜色的小球各10个，混合放在一个布袋中，一次至少摸出个，才能保证有5个小球是同色的。参考答案：第八单元数学广角——找次品【例题1】至少称2次就一定能找出次品来。解析：把9个零件分成3份，每份的个数分别是3，3，3。把前两份分别放在天平两端，（1）如果天平平衡，再把第三份分成3份，每份的个数是1，1，1，再称，能找出次品。（2）如果天平不平衡，就把下降的一边再分成3份，每份的个数是1，1，1，再称，能找出次品。所以至少称2次就一定能找出次品来。【练习1】2【例题2】至少称3次能保证找出轻些的那袋。解析：把15分成（5，5，5），把其中任意两组放在天平上称，可找出有次品的一组，再把5分成（2，2，1），然后再把两个一组的放在天平上称，如平衡，则1个1组的是次品，如不平衡，可再把2分成（1，1），再放在天平上称，可找出次品。【练习2】2【例题3】至少称3次能保证找出这袋重些的盐。解析：把10袋盐分成（3，3，4），把两个3袋的盐放在天平两端，如果不平衡，则把下降的一组，再分成（1，1，1），可找出重一些的一袋；如果平衡，则把4袋盐分成（1，1，2),把两个1袋的盐放在天平两端，如果天平平衡，把2分成（1，1）再称，可找出重一些的一袋。【练习3】3解析：（1）把13瓶水分成4瓶，4瓶，5瓶三份，把4瓶，4瓶的两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则糖水在5瓶一份的里面；若天平不平衡，则糖水在天平较低端的4瓶里面。（2）把5瓶水分成2瓶，2瓶，1瓶三份，把2瓶，2瓶的两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则糖水就是1瓶的那一份，这样就需要称2次；若天平不平衡，则糖水在天平较低端的2瓶里面，然后把较低端的2瓶分放在天平两端，即能找出糖水，这样就需要称3次。把4瓶水分成1瓶，1瓶，2瓶三份，把1瓶，1瓶的两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则再把2瓶一份的分放在天平两端称一次，这样一共需要3次；若天平不平衡，则较低端的一瓶为糖水，这样需要2次找出糖水。综上：至少称3次才能保证一定找出那瓶糖水。【例题4】（1）3次（2）有可能。因为如果在天平的左右两端各放9盒，天平正好平衡，那么剩下的1盒就是次品。解析：（1）19（6，6，7）天平左右两端各放6个平衡不平衡76（2，2，3）（2，2，2）天平左右两端各放2个天平左右两端各放2个平衡不平衡平衡不平衡3222（1，1，1）（1，1）（1，1）（1，1）天平左右两端天平左右两端天平左右两端天平左右两端各放1个各放1个各放1个各放1个所以至少称3次能保证将这盒不合格产品找出来。（2）问题问的只是可能性，就需要考虑这种情况是否可能发生，如果在天平的左右两端各放9盒，当天平平衡时，则说明未放入的那盒为不合格产品。【练习4】用天平至少称3次能保证找出这个不合格产品。解析：把14个球尽可能平均分成3份，每份分别是5个、5个、4个，称法如下：平衡：4（1，1，2）3次14（5，5，4）天平两端各放5个。不平衡：5（2，2，1）3次【例题5】至少称4次能保证找出加盐的水。解析：首先明确加盐的一瓶质量较重。第一次先将29瓶水，分成3份，两份每份10瓶，还有1份9瓶，两份10瓶的用天平称一称，确定哪份有一瓶加了一些盐；第二次如果加了盐的一瓶在10瓶里，就把10瓶分成3份，分别是3瓶、3瓶、4瓶，用天平比较两个3瓶，若相等，则4瓶就有一瓶加了盐的，若不等，则重的一份里面有一瓶是加了盐的，从而确定哪一份加了盐；第三次用天平比较4瓶，把4瓶平均分成3份，分别是1瓶、1瓶、2瓶，用天平比较两个1瓶，若相等，则2瓶就有一瓶加了盐的，若不等，则重的一瓶是加了盐的，从而确定哪一份加了盐；第四次用天平比较2瓶，天平不平衡，则重的一瓶是加了盐的。【练习5】能。首先明确真的要比假的重，所以是要找到偏重的那一枚。把45枚戒指平均分成3组，每组15枚，然后比较前两组，哪个重真的就在哪一组，如果重量相等，则真的在第三组；然后将15再平均分成3份，每份5枚，按时上面的方法再称一次；最后将5枚分成3份，即（2，2，1），再将2分成（1，1），继续称量，可找到金戒指。所以最少要称4次④是不合格零件。【例题6】①②①③④是不合格零件。③是不合格零件。①③③是不合格零件。②是不合格零件。②是不合格零件。①是不合格零件。①是不合格零件。答：至少称2次可以找出这个不合格零件。【练习6】把五个球分别编号为A、B、C、D、E。

第一次称：把A、B和C、D分别放在天平两边，有三种情况：

i、A+B=C+D，E是次品

ii、A+B>C+D，E是标准品，A或B有可能是重次品；或者C或D有可能是轻次品。

iii、A+B<C+DE是标准品，A或B有可能是轻次品；或者C或D有可能是重次品。第二次称：假设是上面的第ii种情况，A+B>C+D。把A和B分别放在天平的两边，有三种情况：

i、A=B，次品在C或D中，A和B是标准品，且知道C或D是轻次品。第三次，把A和C称，有两种情况：（1）A>C，C是轻次品，（2）A=C，D是轻次品。

ii、A>B，A是重次品或者B是重次品，C和D标准品。第三次，把A和C称，有两种情况：（1）A>C，A是重次品，（2）A=C，B是重次品。

iii、A<B，和上面的第ii种相似，请自己分析。假设是上面的第iii种情况：分析类似上面。【例题7】列表：称量次数合格产品不合格产品第一次①②③或④第二次⑦⑧⑤或⑥第三次称量①+③+⑤=②+④+⑧，可推断①③⑤和②④⑧中各有一瓶次品，因为②和⑧是合格产品，所以④是不合格产品；由此又可推断③是合格产品，又①是合格产品，所以⑤是不合格产品。答：这2瓶不合格产品分别是④和⑤。【练习7】D【例题8】第一名是乙，第二名是丁，第三名是甲，第四名是丙。解析：根据题意，可用假设推理法。若推出矛盾再假设。把题目所述列成表格。甲乙丙丁甲说③①乙说①④丙说③②假设‘甲说：我是第三名正确’，根据题意则有：甲乙丙丁甲说③√①×乙说①√④×丙说③×②√所以有甲是第三名，乙是第一名，丁是第二名，丙是第四名。假设‘甲说：丙是第一名正确’，根据题意则有：甲乙丙丁甲说③×①√乙说①×④√丙说③√②×这样，就会推出矛盾，即丙是第一名或第三名。故假设错误。【练习8】乙是作案人【例题9】9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）答：至少试45次可以确保钥匙和锁全部匹配。【练习9】5+4+3+2+1=15（次）思维突破1.（1）244～729（2）测n次可以从[(n-1)个3相乘的积+1]个物品到（n个3相乘的积）个物品之中找出次品；因为每次称量，都可以把待测物品平均分成三组，确定次品在其中一组当中。2.从标有“一个5克的红球和一个6克的红球”的盒子里拿出一个红球，称量一下。若称出该球重6克，则此盒子里装的是两个6克的红球；标有“两个6克的红球”的盒子里装的是两个5克的红球；标有“两个5克的红球”的盒子里装的是一个5克的红球和一个6克的红球。若称出该球重5克，则此盒子里装的是两个5克的红球；标有“两个5克的红球”的盒子里装的是两个6克的红球；标有“两个6克的红球”的盒子里装的是一个5克的红球和一个6克的红球。3.先将三筐稻谷编号为甲、乙、丙；然后按甲乙、乙丙、甲丙每两筐一起称；再把三次称出的结果加起来，除以2，就得到甲、乙、丙三筐稻谷的总重量；最后，用总重量减去乙丙两筐的重量和，就得到甲筐稻谷的重量，同样，可得到乙、丙两筐稻谷各自的重量。考试真题C3998B5.解：甲不会错，①假设乙错了，于是丙、丁正确，有“丙□□乙”;②假设丙错了