北京市八年级上册期末数学试卷汇编：压轴题（含答案）

压轴题专题

1、(19-20顺义期末)29.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=BC,在线段延长线上取一点P,以

AP为直角边，点尸为直角顶点，在射线C2上方作等腰RtZXAPD,过点。作。ELC8,垂足为点E

(1)依题意补全图形；

(2)求证：AC=PE；

(3)连接DB,并延长交AC的延长线于点尸,用等式表示线段CF与AC的数量关系，并证明.

c1----------------------------------

B

29.(6分)

(1)依题意补全图形；

BPE

............................1分

(2)求证：

证明：

\,DElCB,ZC=90°,

：.ZDEP=ZC=90°,.........2分

.*.Z3+Z2=90°,C—

PE

又・.・乙4尸。=90°,

.•.Zl+Z2=90°,

AZ1=Z3,

又VAP=DP,

：.AACP^ADEP....................................................3分

：.AC=PE.

1

(3)

线段CF与AC的数量关系是CF=AC.

△ACPgLDEP,

：.PC=DE,

又：AC=BC,

:.BC=PE,..........................................................4分

：.PC=BE=DE,................................................5分

即△OBE为等腰直角三角形，

易证△BCF为等腰直角三角形,

：.BC=CF,

：.AC=CF...............................................................6分

30.(5分)

(1)3,12；..................................................................................................................2分

(2)2=1+_1_.......................................................................................................3分

73+工

2

(3)10.............................................................................................................................5分

2、(19-20昌平期末)28.在同一平面内，若点户与△46。三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形

都是等腰三角形，则称点户是△/回的巧妙点.

(1)如图1,求作彳的巧妙点户(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).

图1

2

(2)如图2,在△/回中，ZA=80°,AB=AC,求作△/肉的所有巧妙点尸(尺规作图，不写作法，保

留作图痕迹)，并直接写出/如C的度数是.

图2

(3)等边三角形的巧妙点的个数有().

(A)2(B)6(C)10(D)12

28.解：(1)

¥

C

点P为所求.2分

(2)

3

••.《，与小为所求.

P2,

40°,160°,140°,80°..........................................6分

(3)C.............................................................7分

3、(19-20房山期末)28.定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角

形叫做“半角三角形”.例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”.

在钝角三角形ABC中，ZBAC>90°,ZACB=a,ZABC,过点4的直线交边于点。.点E

在直线上，且BC=BE.

(1)若A3=AC,点E在AD延长线上.

①当a=30。，点。恰好为中点时，依据题意补全图1.请写出图中的一个“半角三角形”:

②如图2,若ZBAE=2a,图中是否存在“半角三角形”(△A3。除外)，若存在，请写出图中的“半角

三角形”，并证明；若不存在，请说明理由;

图1

(2)如图3,若A3VAC,保持N的的度数与(1)中②的结论相同,

请直接写出NR4E,a,/3满足的数量关系:

4

图3备用图

28.解:(1)①如图,1分

图中的一个“半角三角形”：△4£0或44。或48。£或4钻石；

...............2分

②存在，“半角三角形”为ABAE................3分

延长ZM到E,使得AF=AC,连接BE.

7AB=AC,

：.a=/3,

：.ZBAC=180°-2a.

NBAE=2a,

:.ZBAF=180°-2a.

NBAF=ABAC.

在△BAb和AB4c中，

AF=AC,

<NBAF=ABAC,

BA=BA,

5

ABAF咨ABAC.

：.ZF=ZC,BF=BC.

'：BE=BC,

，BF=BE.

：.ZBEA=ZF=ZC=a...............................4分

(2)NBAE=e+4或NBAE+a+/3=180°................................6分

解：①延长C4到点尸，使得CF=AE,

VBC=BE,ZAEB=ZACB=a,

:.ACBFmAEBA.

过点B分别作5G,CF于点G,

可得66=次九

/.ZFAB=ZBAE=a+J3.

②因为NR4c>90。，所以以3为圆心,8C长为半径作圆与直线AD一定有两个交点，当第

一种情况成立时，必定存在一个与它互补的NBAE'.

可知：ZBAE'=180°-ZBAE=180°-(iz+/7)

综上所述，这三个角之间的关系有两种，

ZBAE=a+4或NBAE+a+尸=180。.

6

4、（19-20海淀期末）26.如图，在△/及:中，AB=AC,/曲信90°,点〃是边充上的动点，连接力〃，点C

关于直线AD的对称点为点E,射线座与射线4?交于点F.

（1）在图1中，依题意补全图形;

（2）记ND4C=（z（«<45°）,求的大小；（用含4的式子表示）

若是等边三角形，猜想瓦'和8c的数量关系，并证明.

图1备用图

26.(1)

(2)连接AE

由题意可知，ZEAD=ACAD=a,AC=AE,

：.ZBAE=90°-2a,

\'AB=AC,

：.AB=AE,

：.ZABE=ZAEB,

7

.…a1800-ZBAE

..ZABF=-----------------=4A5CO+a.3分

2

(3)EF=-BC,

2

证明：由(2)可知NAEB=NA3E=45°+a,

NCBF=a.4分

,•1点C关于直线AD的对称点为点E,

：.AACF=ZAEF=135°-a,

：.ZBCF=90°-a,

,/ZCBF+ZBCF^90°,5分

：.△BCT是直角三角形.

「△ACE是等边三角形,

/.(X=30°.

NCBF=30°

EF=CF=-BC.6分

2

5、（19-20平谷期末）29.如图，/MON=60°，点A是。M边上一点，点、B,C是ON边上两点,

且AC,作点8关于。河的对称点点。，连接AD,CD,OD.

(1)依题意补全图形;

(2)猜想/ZMC=°,并证明;

(3)猜想线段0A、OD、0C的数量关系,并证明.

29.解:

解：（1）依题意补全图.................................1

(2)60°.............................................2

证明：方法一:

作AHXBC于H

,.,AB=AC

AZ1=-ZBAC..........................3

2

•点B与点D关于0M轴对称

/.Z2=-ZDAB

2

VZA0B=60°,ZAH0=90°

.\Z0AH=Z1+Z2=30°

/.ZDAC=2(Z1+Z2)=60°.......................4

方法二：

设N0AB=a°

•点B与点D关于0M轴对称

/.ZDA0=Z0AB=6Z°.......................3

ZA0B=60°

/.ZABC=(a+60)

,.,AB=AC

/.ZACB=ZABC=(a+60)

AZBAC=180-2(a+60)=(60-2a)

/.ZDAC=ZDA0+Z0AB+ZBAC=60°..........................4

方法三：

•点B与点D关于0M轴对称

，ZAD0=ZAB0..........................3

ZD0A=ZA0B=60°

,.,AB=AC

/.ZACB=ZABC

ZAB0+ZABC=180°

ZAD0+ZACB=180°

,••四边形的内角和360°

.*.ZDAC+ZD0C=180°

VZD0C=120°..........................4

.*.ZDAC=60°

(3)AO=OD+OC.........................5

证明：方法一：

在0A上截取OE=OD,连接DE..........6

•点B与点D关于0M轴对称

.,.ZD0A=ZA0B=60o

.'.△DOC是等边三角形由(2)可知，ZDAC=60°

,.,AC=AB=AD

...AADC是等边三角形

10

在4ADE和△口€«：中

AD=DC

ZADE=ZCDO

DE=DO

：.AADE^ACDO(SAS)

/.AE=OC

/.OA=OD+OC.......1

方法二：

延长CO到F,使OF=OD,连接FD........6

・••点B与点D关于OM轴对称

.,.ZD0A=ZA0B=60°

.,.ZD0F=60°

.'.△DOF是等边三角形由(2)可知，ZDAC=60°

,.*AC=AB=AD

AADC是等边三角形

在△ADO和4DFC中

AD=DC

•;<NADO=NCDF

DO=DF

：.AADOgACDF(SAS)

/.OA=FC

.\OA=OD+OC

证明：方法三：

在ON上截取OP=OA,连接AP.

ZA0P=60°

...△AOP是等边三角形

/.ZAP0=ZA0D=60°,AP=AO

Z0AP=ZDAC=60°

/.ZDA0=ZPAC

在AADE和△口€«：中

'ADAO=APAC

■：＜AO=AP

ZAOD=ZAPC

AAOO乌AAPC(SAS)

.\PC=DO

.\OA=OP=OD+OC

6、(19-20大兴期末)28.已知：在△力BC中，AB=AC,。是8c的中点，动点E在边4B上(点E不与点4,B

重合)，动点尸在射线4c上，连接龙，DF.

(1)如图1,当ZDEB=NDFC=90°时，直接写出。E与。尸的数量关系;

(2)如图2,当/DEB+ZDFC=180°(/DEB*/DFC)时，猜想DE与DF的数量关系，并证明;

(3)当点E,D,F在同一条直线上时,

①依题意补全图3；

12

②在点£运动的过程中，是否存在EB=FC?(填“存在”或“不存在”).

28.

(DDE与DF的数量关系是DE=DF；■1分

(2)猜想:DE与DF的数量关系是DE=DF；2分

证明：连结AZ),作。G_LAB于点G,Z)H_LAC于点”

/.NEGD=NFHD=9。

ZDEB+ZGED=\SO°

ZDEB+ZDFC^1SO°

：.ZGED=NDFC..............................................................3分

'：AB=AC,。是8C的中点

ZBAD=ZCAD

：.DG=DH..............................................................4分

在△EG。和中，

AGED=ZDFC

NEGD=ZFHD

DG=DH

:AEGD"AFHD.

：.DE=DF.5分

⑶

①

②不存在

7、(19-20东城期末)27.在△ABC中，直线/垂直平分AC.

13

(1)如图1,作NA8C的平分线交直线/于点。，连接A。，CD.

①补全图形；

②判断/氏4。和NBC。的数量关系，并证明.

(1)如图2,直线/与△ABC的外角/A2E的平分线交于点。，连接A。，CD.

求证：ZBAD=ZBCD.

图1

27.解：⑴①补全图形;

1分

②结论：ZBAD+ZBCD=180°..................................2分

证明：过点。作。E_LAB于E,作。F_LBC交8C的延长线于凡

贝！J/AED=/CFD=90°.

平分N4BC,

：.DE=DF.

•.,直线/垂直平分AC,

：.DA=DC..................................3分

在RtAADE和RtACDF中，

DA=DC,

DE=DF,

14

/.RtAADE^RtACDF.

：.ZBAD=ZFCD.

VZFCD+ZBC£>=180°,

ZBAD+ZBCD=18Q°..................................4分

(2)结论：ZBAD=ZBCD..................................5分

证明：过点。作。N_L4B于N,作。M_LB£于M,

则/AND=ZCMD=9Q°.

：8。平分/ABE,

：.DM=DN.

•.,直线/垂直平分AC,

DA=DC..............................6分

在RtAAON和RtACDM中，

DA=DC,

DN=DM,

.*.RtAADN与RtACDM.

：.ZBAD=ZBCD..................................7分

M

8、（19-20东城期末）28.对于△ABC及其边上的点P,给出如下定义：如果点M，％，％，……-n

都在△ABC的边上，且PMX=PM,=PM3==PMn,那么称点,M3,........,M“为△

ABC关于点P的等距点，线段PMX,PM,,PM3,……,PMn为4ABC关于点P的等距线段.

（1）如图1,ZXABC中，ZA<90°,AB=AC,点尸是BC的中点.

①点8,C△ABC关于点P的等距点，线段外,PBZVIBC关于点P的等距线段；（填

“是”或“不是”）

②△ABC关于点尸的两个等距点,“2分别在边AbAC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画

出线段PMi，PM?；

15

(2)△ABC是边长为4的等边三角形，点尸在BC上，点C,。是△ABC关于点P的等距点，且尸C=l,

求线段OC的长；

(3)如图2,在RtZXABC中，ZC=90°,/8=30°.点P在BC上，ZiABC关于点尸的等距点恰好有

四个，且其中一个是点C.若BC=a,直接写出PC长的取值范围.(用含a的式子表示)

...............3分

(2)如图，DC=2,或〃C=l；...............5分

32

16

9、(19-20西城期末)如图1,在等腰直角三角形ABC中，48=4。,/氏4。=90。,点。在3。边上，连

接连接CE,DE

(1)求证：ZB^ZACE

(2)点A关于直线CE的对称点为〃，连接CM,EM

①补全图形并证明NEMC=ZBAD

②利用备用图进行画图、试验、探究，找出当。，瓦M三点恰好共线时点D的位置，请直接写出此时

NA4D的度数，并画出相应的图形

A

二

BDCBC

圉1部用图

26.(1)证明：如图7.・公

VZBAC=9Q°,

Zl+Z3=90°

VAE±AD,

:.Z2+Z3=90BDC

Z1=Z2.

一图7

17

AB=AC,

ZI=Z2,

AD=4E.

:.“BDWMCE..................................................................................2分

:.NB=NACE......................................................................................3分

（2）①补全图形见图8.............................................................................................4分

证明：•••点彳关于直线CE的对称点为点C,点E在对称轴上,

AEMCQAEAC.

NEMC=NEAC.

,:NEAdNBAD,

10、(19-20燕山期末)29.在中，AD平■分/BAC交BC千D,NMW的两边分别与46,AC相交于

M,"两点，AD后DN

(1)如图甲，若NC=90°,ZBAC=60°AC=9,ZMDN=120°,ND〃AB

①写出/皿=°,的长是.

②求四边形AMDN的周长

(2)如图乙，过。作处工力。于凡先补全图乙再证明"除册2/£

A

18BD

(图乙)

29.在△ABC中，AO平分NA4C交3C于。，NMDN的两边分别与A民AC相交于M,N两点、,且

(1)如图，若NC=90°,ZBAC=60°AC=9,ZMDN=120°，ND〃AB

①写出NMD4=90°，A3的长是182分

②求四边形AMDN的周长

解：VZC=90°,ZBAC=60°

ZABC=30°

VND〃AB

:・NNDC=30°又NMDN=120°

：.ZNDC=30°

：.ZMDB=30°

又TA。平分NA4C

ZMAD=ZNAD=ZAD7V=3O0

AZMDA=90°,

・・・BM=MD=DN=AN

在中，设MD=x，贝！jAM=2x,

BM二MD=DN=ANr,

ARtAACB中,AC=9

.*.AB=18

A3x=18

Ax=6,：.AM=12,MD=DN=AN=6

四边形AMDN的周长=AM+MD+DN+AN=304分

19

(2)补全图

证明：由作图知，

ZDEM=9Q°,ZDFN=90°

由已知，AD平分NB4C且。M=DV

：.ADEM^/\DNF

AM+AN=AE+EM+AF-NF=

AF+EM+AF-N尸=2Ab..............6分

BD

11、(19-20丰台期末)28.如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP,ZACP=a(0°<a<60°),点A

关于射线CP的对称点为点D,BD交CP于点E,连接AD,AE.

(1)求ND3C的大小(用含a的代数式表示)；

(2)在a(0°<a<60°)的变化过程中，NAEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出

变化的范围；如果不发生变化，请直接写出NAE3的大小；

(3)用等式表示线段AE,BD,CE之间的数量关系，并证明.

28.解:

(1)连接CD

•••点A关于射线CP的对称点为点D,

ZACP=ZDCP=a，CD=AC.

20

「△ABC是等边三角形.

：.AB=AC=BC,ZBAC=ZACB=60°.

：.CD=BC,ZBCD=600+2a.

：.ZBDC=ZDBC=60°~a.2分

(2)NAEB不发生变化，ZAEB=60°.4分

(3)在3E上取一点凡EF=AE,连接AF.

，ZkA在是等边三角形.

：.AE=AF=EF,ZEAF=60°.

：.ZBAF=ZCAE.

：.AABF^AACE.

：.BF=CE.

•.•点A关于射线CP的对称点为点D,

：.AE=DE=EF.

"：BD=BF+EF+DE,

：.BD=CE+2AE.7分

证法不唯一，其他证法请参照示例相应步骤给分.

其他证法如下图：

21

p

12、(19-20门头沟期末)28.我们规定在网格内的某点进行一定条件操作到达目标点：H代表所有的水平

移动，H1代表向右水平移动1个单位长度，H-1代表向左平移1个单位长度；S代表上下移动，S1代表向

上移动I个单位长度，S-1代表向下移动1个单位长度，P(»—fS_)表示点P在网格内先一次性水平

移动，在此基础上再一次性上下移动；P(S_fH_)表示点p在网格内先一次性上下移动，在此基础上

再一次性水平移动.

(1)如图28-1,在网格中标出S2)移动后所到达的目标点A'；

(2)如图28-2,在网格中的点8到达目标点A,写出点8的移动方法；

(3)如图28-3,在网格内有格点线段AC,现需要由点A出发，到达目标点D,使得A、C、。三点构成的

格点三角形是等腰直角三角形，在图中标出所有符合条件的点D的位置并写出点A的移动方法.

解：⑴1分

⑵2.S—3)或B(S—3fX—2)3分

28-2

(3)点确定正确5分

MHAS-1、52)、A(H—2-S4)、SI)、A(H—IfS2)7分

说明:

若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。

13、(19-20延庆期末)27.(7分)如图，点A在直线/上，点2在直线/外,

点B关于直线/的对称点为C,连接AC,过点B

作3DLAC于点。，延长BD至E使连接

AE并延长与BC的延长线交于点F.

(1)补全图形;

(2)若NA4C=2a,求出NAEB的大小(用含a的式子表示)；

(3)用等式表示线段跖与8C的数量关系，并证明.

27.(1)补图1分

NAE8=45°+a.

理由如下:

设BC与直线/交于点”

:点8与点C关于直线I对称

AABH^AACH

A

23/

E

D

：.AB=AC

ZBAH=ZCAH=-ABAC=a

2

：.ZBHA=ZCHA=9Q°

BH=HC

'：BD±AC

：.ZBDA=90°

：.ZABE=90°-2a

'：AB=BE

180°-（90°-2a）八

/AEB=/BAE=----------------------L=45°+a-------------3分

2

（2）线段EF与BC之间的数量关系：BC=J2EF--------4分

理由如下：如图

过点E做EM±BF于M,

ZBME=90°

,：ZBHA=ZCHA=900（已证）

ZBME=ZAHC

'：AB=AC（已证）AB=BE（已知）

：.AB=AC=BE

在ABHO和△ADO中

VZ1=Z2,ZBDA=ZBHA=9Q°

：.ZHBO=ZCAH=a

在△A"C和△氏!/£中

NHBO=NCAH

<NBME=NAHC

AC=BE

24

AAHC和△BME(AAS)

：.ME=HC=-BC

2

ZBEA=45°+a,ZHBO=a

：.ZF=45°

，AMEF是等腰直角三角形，

.MF五FF

..ME=——EF

2

-BC=~EF

22

：.BC=42EF--------------------------------7分

14、（19-20石景山期末）28.如图，在等边A/IBC中，点D是线段BC上一点.作射线2D,点B关于射线力。的

对称点为E,连接EC并延长，交射线力。于点F.

（1）补全图形；

（2）求4FE的度数；

（3）用等式表示线段4/、CF、EF之间的数量关系,

并证明.

28.解：⑴补全图形（如图1）

又4E=AC.

：.ZAEC=Z.ACE=80°-(60°-2叫=60P+a.

Z.AFE=180°-NFAE-NFEA=60°.4分

25

(3)AF=EF+CF

证明：如图3,作/尸CG=60。交/。于点G,连接3户.

CG是等边三角形.

/.GF=CF=GC.4CGF=Z.GFC=4FCG=60°.

Z?1CG=60°-ZGCD

=2BCF

在AZCG和△4CF中,

10

CA=CB,

<&CG=々BCF，

CG=CF,

：./\ACG^/SBCF.

：,AG=BF.

•.•点B关于射线AD的对称点为E,

BF=EF.

VAF=AG+GF.

：.AF=EF+CF.....................7分

朝阳区

26.如图，△ABC是等边三角形，△AOC与△ABC关于直线AC对称，AE与C。垂直交BC的

延长线于点E,ZEAF=45°,且AP与A8在AE的两侧，EF-LAF.

(1)依题意补全图形.

(2)①在AE上找一点尸，使点P到点8,点C的距离和最短；

A

②求证：点。到AR跖的距离相等./\

BC

26

26.(1)补全图形，如图

.................................................................................2分

(2)①如图，连接B。，尸为5。与AE的交点.

.....................................................................................4分

②证明：连接OE,DF.

VAABC,△AOC是等边三角形，

：.AC=AD.ZACB=ZCAD=60°.

*：AE±CD,

：.ZCAE=-ZCAD=30°.

2

ZCEA=ZACB-ZCAE=30°.

：.ZCAE=ZCEA.

：.CA=CE.

・・・CD垂直平分AE

：.DA=DE.

27

\'EF±AF,ZEAF=45°,

：.ZFEA^45°.

：.ZFEA=ZEAF.

：.FA=FE.

：ZAD空MFED.

：.ZAFD^ZEFD.

:.点D到AF,EF的距离相等.7分

密云区

27.如图，4ABC中，ZBAC=9Q°,AB=AC,P是线段BC上一点，且0。<4AP<45°.作点B关于直

线AP的对称点D,连结BD,CD,AD.

(1)补全图形