【月考试卷】2020年春季高一数学必修二第一、二章单元试卷及答案

2020年春季高一数学必修二第一、二章单元试卷

班级姓名号数

一、选择题（每小题5分，共60分）

1,下列命题正确的是......................................（）

A.三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面

C.四边形确定一个平面D.两条相交直线确定一个平面

2.棱长都是1的三棱锥的表面积为

A.V3B.20C.3石D.4石

3.在正方体ABCD-ABCD中，E为棱CG的中点，则异面直线AE与CD所成角的

正切值为（）

斓立交/

A.TB.TC.2D.T

4.直线a〃平面a,a内有〃条直线交于一点，那么这〃条直线中与直线a平行

的（）

A.至少有一条B.至多有一条C.有且只有一条D.没有

5.若平面a〃平面0,则（）

A.平面a内任一条直线与平面夕平行

B.平面a内任一条直线与平面夕内任一条直线平行

C.平面a内存在一条直线与平面/?不平行

D.平面a内一条直线与平面0内一条直线有可能相交

6.已知/,m是两条不同的直线，a是一个平面，则下列命题中正确的是（）

A.若/〃a,mua,则/〃mB.若/〃a,m//a,则/〃m

i

C.若/J_m,mua,则/_LaD.若/_La,/〃m,则m_La

7.已知a,B是两个不同的平面，m,n为两条不重合的直线，则下列命题中

正确的为（）

A.若a_LB,-aA0=n,m±n,贝i]m_La

B.若m<=a,r）uB,m//n,则a〃B

C.若m-La,nJ-B,m±n,则aJ-B

D.若（11〃a,n//0,m〃n,则a〃B

8.在正方体ABCD-ABCD中，E为棱CD的中点，则（）

A.A1E±DCiB.AiE±BDC.A】E_LBGD.A,E±

AC

9.如图所示的正方形O'A'B'C'的边长为1cm,它是水平

放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）

A.6cmB.8cmC.（2+3啦）cmD.（2+2铺）

cm

10.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为3,E,F分别是棱BC,D»上的点，且

DF二F»,如果RE_L平面ABF,则&E的长度为（）

11.在正方体A8CO-A4CQI中，过它的任意两条棱作平面，则能作出与A1成30。

角的平.面的个数为（）

A.2个B.4个C.6个D.8个

12.如下图，梯形4BCD中,AD//BCfAD=AB=1,AD1AB,乙BCD=45°,将A4BD沿对角线BD

折起.设折起后点4的位置为1,并且平

2

C

面力’BD，平面BCD.给出下面四个命题：

①4'DJ.BC;②三棱锥4,-BCD的体积为

③CD1平-面4'BD;④平面/I,BCJ.平面/DC.

其中正确命题的序号是（）

A.①②B.③④C.①③D.②④

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.长方体的长、宽、高分别为2cm,2cm»3cm,若该长方体的各顶点都在球O的表面

上，则球。的表面积为

14.如图60°的二面角的棱上有A,5两点，直线AC,5。分别在二面角两V7:--------\

个半平面内，且垂直于AB,AC=3Z）=6,AB=8,则8=.

15.在边长为1的菱形ABCD中，NABC=60°,将菱形沿对角线

6----------------A

AC折起，使折起后BD=1,则二面角B—AC—D的余弦值为—\\

16.如图，在透明塑料制成的长方体ABC。-4耳CQ容器内灌进/,

一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，A\1^r

随着倾斜角度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱BC

柱状;

②水面四边形EEG”的面积不改变；

③棱AR始终与水面EFGH平行；

④当时，AE+M是定值.其中正确说法是

三、解答题（共6题，共70分）

17.（10分）在正方体ABCD-ABCD中挖去一个圆锥，得到一个几何体M,已知

圆锥顶点为正方形ABCD的中心，底面圆是正方形ABCD的内切圆，若正方体的

3

棱长为acm.(圆锥的表面积公式S="2+用，其中「为圆锥的底面半径，/为母线长，

圆锥的体积公式为/=!s/b其中S为底面面积，〃为高).

3

(1)求挖去的圆锥的侧面积.

(2)求几何体的体积.

18.(12分)如图，四棱锥P的底面/BCD为

菱形，PB=PD,E,F分别为和PD的中点.

(1)求证：EF||平面PBC.

(2)求证：BD1平面P4C.

19.(12分)如图，在多面体4BCDEF中，四边形4BCD是菱形，EF〃/C,EF=1,

ZABC=60°,C£_L平面ABC。，CE=V3,CD=

2,G是DE的中点.

(1)求证：平面/CG〃平面BEF;

(2)求直线B尸与平面48勿所成的角的正弦值.

4

20.(12分)如图，在长方体力83—486。中，AB=2,

BB尸BC=',£为〃G的中点，连结EC,EB^08.

⑴求证：平面EDB工平面EBC;

⑵求二面角E—DB—C的正切值.

(2)若PE_L平面ABC。，PE=AB=2,求四面体P-D所的体积.

5

22.（12分）四边形ABCD中，AB±AD,AD/7BC,AD=6,BC=4,AB=2,E,F分别

在BC,AD上，EF〃AB.现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF_L平面EFDC.

⑴当BE=1,是否在折叠后的AD上存在一点P,使得CP〃平面ABEF?若存在,

求出P点位置，若不存在，说明理由;

⑵设BE二x,问当x为何值时,三棱

锥A-CDF的体积有最大值？并求

出这个最大值.

6

参考答案

一、选择题

1-5DACBA6-10DCCBA11-12BB

13.17m加14.1015.116①③④

3

3选C.因为CD〃AB,所以NEAB即为异面直线AE与CD所成角，连接BE,在直

BE、后

角三角形ABE中，AB=1,BE=2,所以tanNEAB=族二万.

4.B【解析】直线a和该交点确定一个平面，由线面平行的性质得，此平面与平

面a的交线与a平行，故至多有一条.

5.【答案】C

【解析】解：由平面a〃平面£,知：

在4中，平面a内任一条直线与平面/?平行或异面，故/错误；

在8中，平面a内任一条直线与平面0内任一条直线平行或异面，故8错误；

在C中，平面a内任一条直线与平面/?平行或异面，

从而平面a内存在一条直线与平面/?不平行，故C正确；

在，中，平面a内任一条直线与平面£平行或异面，故。错误.

7.选C.A中m,a可能平行，相交或直线在平面内；B中两平面可能平行，可能相

交;C中由面面垂直的判定可知结论正确；D中两平面可能平行，可能相交.

8.选CA,若AE_LDG,那么DiE_LDG,很显然不成立.

B,若AE_LBD,那么BD_LAE,显然不成立.

7

C,若A|E_LB&,那么BG_LB£成立，反过来BG_LB£,也能推出AiE_LBG.

D,若A】E_LAC,那么AE_LAC,显然不成立.

9.试题分析：由斜二测画法知，原图为四边形OABC为平行四边形，0B垂直0A,

0A=1,OB=兽序，所以AB=3,因此其周长为3+1X2=8.

考点：斜二测画法.具体考查直观图与原图形中长度关系、平行关系与垂直关系

的变化情况.

10.选A.取CG的中点为G,连接BG,FG,易得&EJ_AF,所以&E_LBG,从而N

1

GBC二NBBE所以tanNGBC=tanNBBiE=2,所以E为BC的中点，从而有&E二

11B【解析】画出图像如下图所示，由图可知，正方体表面6个面与A/所成的角

不是30。.符合题意的面为平面A4CC、平面4片8、平面ABCQ和平面3£>£>蜴，

共四个.

12

归【解析】①...^BAD=90UD=AB>

./.ADB=£ABD=45'，

：AD//BC.LBCD=45。

・BDLDC)

•・・平面4M_L平面BCD,且平面4Mn平面BCD=BD,

8

.•.CDJ.平面/BO,

•J/CU平面力‘BD,

:.CDLAD,

故4DJ.BC不成立，故①错误；

②棱锥A'-BCD的体积为*M福叁堂，故②错误；

3zz6

③由①知CDJ.平面4的，故③正确；

④由①知C。平面4'BD,

又•••4'Bu平面4'BD,

.-.CDLAB,

^ABLAD,且4力、CDu平面4万c,ADaCD=D,

••.4为1.平面71'。（；，又4‘Bu平面4'BC,

二平面A'BC，平面才DC,故④正确.

故选：B.

13.

试题分析：长方体的对角线长d=VF7汨手=后,,利，由于长方体外接球的直径

长等于长方体的对角线长，所以球。的表面积S=4万R2=4万（乎）2=17万C/。

14.10

【解析】由题意得，过点6作BEDAC,且BE=AC=6,如图所示，则NDBE=60。，

义BD=BE=6,所以QBDE为等边三角形，且四边形/WEC为矩形，即CE=AB且

CE1平面BDE,而DEu平面BDE,所以CEA.DE,由勾股定理得，

CD=ylCE2+DE2=V82+62=1（）.

9

c

15.1

3

16①③④【解析】随着倾斜度的不同，水面四边形历函的面积改变,但水的部

分始终呈棱柱状，

且棱|BG□忏■面:国4cl口4闻,•••|4〃口|平面|七以汨|,二,体积是定值，高匠］

为定值，则底面积后B/d为定值,则底面积后川为定值,即|E4+一|为定值,

综上①③④正确.

17

ai'n2

—1Q9

Q,I-------FCL4

（1）圆锥的底面半径r=2,高为a,母线/内4=Ta,

所以挖去的圆锥的侧面积为

a2^5V5

・22

nr/=n・22a=4an（cm）.

（2）因为M的体积为正方体体积减去圆锥的体积，

1《）2L与

所以M的体积为a'-3口121•a=\a3（cm3）.

18.【解析】分析：（1）证明线面平行，只需在面内找一条直线与已知线平行即

可，取PC中点为G,证明四边形BEFG是平行四边形即可；（2）证明线面垂直则

需在面内找两条相交直线与已知线垂直即可，BDLAC,8。1P。即可得证.

详解：

10

(1)证明：取PC中点为G,

•.•在△PCD中，F是PD中点，G是PC中点，

：.FG||CD,且FG=\CD,

又•.•底面4BUD是菱形，

：.AB||CD,

「E是中点，

：.BE||CD,且BE=池，

：.BE||FG,且BE=FG,

...四边形BEFG是平行四边形，

：.EF||BG,

又EFU平面PBC,BGC平面PBC,

，EF||平面PBC.

(2)证明：i^AC^BD=0,则。是BD中点,

；底面ABCD是菱形,

ABD1AC,

义VPB=PD,。是BD中点，

：.BD1PO,

11

又/cnP。=。,

：.BD1平面P/C.

点睛：本题考查了空间直线平面的平行，垂直，关键是熟练掌握定理，定义，把

空间问题转化为平面问题求解，属于中档题.

19.

(I)连接劭交47于0,易知0是劭的中点，故067/8£BEu面BEF,QG在

面BEF外,所以0G//面BEF;

又EF//AC,4c在面BEF外,AC//^BEF,又4;与0G相交于点0,面ACG有两条

相交直线与面弼平行，故面祀G〃面BEF；

(II)2分之根号2

20

证明：3在长方钵ABCD—ABCD、中，AB=2,BR=BC=\,E为的中点.，

△为等腰直角三角形，N7=45°.同理NG&?=45°.ZDEC=90°,即

DELEC.

在长方体A8C。一A4GR中，8c上平面DQcq,又DEu平面D、DCC、,

：.BC.LDE.又Ecn3C=c,:.DEI平面EBC.•:平面DEB过DE,:.平面DEB

_L平面EBC.

(2)解：如图，过£■在平面"DCC中•,作EOA.DC

于0.在长方体ABCD-A8CA中，•.•面ABCD±面

12

AB

DtDCC},：.EO-L面ABCD.过0在平面DBC中作0F1DB于F,连结EF,：.EFLBD.Z

为二面角£一，8—C的平面角.利用平面几何知识可得勿心」，（第

V5

18题）

又0£=1,所以，tan/EFO=亚.

21•【解析】试题分析：（1）由线面平行的判定定理证明得到；（2）以后函为底

面，点F到|△/>£）*的距离为高,由于F为PB的中点，所以点回到平面应互］的距

离等于点网到平面叵目的距离的一半，算出体积。

试题解析：（1）证明：连接{园、画，面交回］于点回

•.,因为线段［国的中点，|AD//BC|,BC=；AD=ED,BCHED

，四边形|8CDE|为平行四边形，

，叵］为质的中点，又国是［画的中点，

：.\OF//PD\,

又|»U|平面|C£F|,平面号函,

平面|C£F|.

（2）解法一：由（1）知，四边形|8C国为平行四边形,：.\BCUED\,

,四边形回画为等腰梯形，|AD//BC|,IA5=BC=1/1D,

：.\AB^AE^BE\,；.三角形是等边三角形，:.乙DAB=%,

做|8〃LAD|于同,则怛”|=有，

•/IPEJ平面踵函，|PEU|平面IPAD|,，平面IPADJ■呼面|ABCD|,

又平面IPADcl平面|ABCD=A5］,AP|,|B"u|平面|A8Cr）|,

，IBHJJ平面I，点因到平面IPAO的距离为怛M=6,

又,因为线段画的中点，...点回到平面|如。|的距离等于点因到平面近回的距离的

13

一半，即卜=斗又",用郎=2,

,,VpDEF=§SPDE-h

解法二：\CDHBE\,|cr)z怦■面后明,|BEU|平面区