第七章(1) 一阶电路

零输入响应重点掌握：第七章（1）一阶电路零状态响应三要素法返回目录目录6-1动态电路概述6-2电路的初始条件6-3一阶电路的零输入响应6-4一阶电路的零状态响应

6-6

阶跃函数和冲激函数6-7一阶电路的阶跃响应和冲激响应6-5一阶电路的全响应K未动作前i=0,uC

=0i=0,uC=Us一.动态电路i+–uCUsRC6-1动态电路概述稳态分析K+–uCUsRCi

t=0K接通电源后很长时间K+–uCUsRCi初始状态过渡状态新稳态t1USuct0?a.动态电路：含有动态元件的电路，当电路状态发生改变时需要经历一个变化过程才能达到新的稳态。上述变化过程习惯上称为电路的过渡过程。ib.动态电路与电阻电路的比较：动态电路换路后产生过渡过程，描述电路的方程为微分方程。电阻电路换路后状态改变瞬间完成，描述电路的方程为代数方程。K+–uCUsRCi+-usR1R2R3二.过渡过程产生的原因1.电路内部含有储能元件L、C能量的储存和释放都需要一定的时间来完成2.电路结构、状态发生变化支路接入或断开，参数变化换路三.稳态分析和动态分析的区别稳态换路发生很长时间后重新达到稳态换路刚发生后的整个变化过程微分方程的特解动态微分方程的一般解恒定或周期性激励任意激励四.一阶电路换路后，描述电路的方程是一阶微分方程。五.动态电路的分析方法1、根据KVL、KCL及元件的VCR

建立电路方程，该方程为以时间为自变量的线性常微分方程。2、求出微分方程的解，从而得到所求变量。一.t=0+与t=0-

的概念换路在t=0时刻进行0-

换路前一瞬间

0+

换路后一瞬间6-2电路的初始条件电路中的u，i及其各阶导数在t=0+时的值。0-0+0tf(t)初始条件：二.换路定律q

=CuCt=0+时刻当i()为有限值时iucC+-q

(0+)=q

(0-)uC

(0+)=uC

(0-)电荷守恒结论换路瞬间，若电容的电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。1.当u为有限值时

L

(0+)=

L

(0-)iL(0+)=iL(0-)磁链守恒结论换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。2.iuL+-L

L

(0+)=

L

(0-)iL(0+)=iL(0-)qc(0+)=qc

(0-)uC

(0+)=uC

(0-)换路定律：换路定律成立的条件注意:换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。三.电路初始值的确定(2)由换路定律uC

(0+)=uC

(0-)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效电路(1)由0-电路求uC(0-)或iL(0-)+-10V+uC-10k40kuC(0-)=8V(3)由0+等效电路求

iC(0+)iC(0--)=0iC(0+)例1+-10ViiC+uC-k10k40k求

iC(0+)

iL(0+)=iL(0-)=2A例2t=0时闭合开关k,求uL(0+)。iL+uL-L10VK1

4

由0+电路求uL(0+)：+uL-10V1

4

2A先求由换路定律:求初始值的步骤:1.由换路前电路（一般为稳定状态）求出uC(0-)和iL(0-)。2.由换路定律得uC(0+)和iL(0+)。3.画0+等效电路。4.由0+电路求所需各变量的0+值。b.若uC(0+)或iL(0+)不为零，电容（电感）用电压源（电流源）替代。电压源（电流源）取0+时刻值，其方向同原假定的电容电压、电感电流方向。电容（电感）相当于开路（短路）。a.若uC(0+)或iL(0+)为零，电容（电感）用短路（开路）替代。iL(0+)=iL(0-)=ISuC(0+)=uC(0-)=RISuL(0+)=–RIS求iC(0+),uL(0+)0+电路uL+–iCRISRIS+–例3K(t=0)+–uLiLC+–uCLRISiC+–uLiLC+–uCRISiC0-电路1.求uC(0-)和iL(0-)iL(0-)=ISuC(0-)=RIS2.求uC(0+)和iL(0+)3.求iC(0+)和uL(0+)

6-3一阶电路的零输入响应零输入响应：激励(独立电源)为零，仅由储能元件初始储能作用于电路产生的响应。一、RC放电电路已知uC

(0-)=U0iK(t=0)+–uRC+–uCR

uR=Ri一阶微分方程iK(t=0)+–uRC+–uCR特征根设特征方程RCp+1=0得则uC

(0+)=uC(0-)=U0A=U0令

=RC

,称

为一阶电路的时间常数。tU0uC0I0ti0电压、电流以同一指数规律衰减，衰减快慢取决于RC乘积。iK(t=0)+–uRC+–uCR时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=RC

大过渡过程时间的长

小

过渡过程时间的短电压初值一定：R

大（C不变）i=u/R放电电流小放电时间长U0tuc0

小

大C

大（R不变）W=0.5Cu2

储能大固有频率U00.368U00.135U00.05U00.007U0工程上认为,经过3

-5

,过渡过程结束。

：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。某点切距的长度t2-t1=

tuc0

t1t2t0

2

3

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

能量关系：C不断释放能量被R吸收,直到全部消耗完毕.设uC(0+)=U0电容放出能量电阻吸收（消耗）能量uCR+-C二.RL电路的零输入响应特征方程Lp+R=0特征根p=由初始值i(0+)=I0定积分常数AA=i(0+)=I0i

(0-)=i

(0+)=iK(t=0)USL+–uLRR1令

=L/R,称为一阶RL电路时间常数I0一定：L大起始能量大

R小放电过程消耗能量小放电慢

大-RI0uLtI0ti0iL

(0+)=iL(0-)

1AuV

(0+)=-10000V

造成V损坏。例iLK(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10Vt=0时,打开开关K，求uv。现象：电压表坏了电压表量程：50V分析小结：4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2.衰减快慢取决于时间常数

RC电路

=RC

,RL电路

=L/R3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。时间常数

的简便计算：

=L/R等=L/(R1//

R2)例1例2R等C

=R等C+-R1R2LR1R2L零状态响应：储能元件初始能量为零，电路在输入激励作用下产生的响应。列方程：iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=0

6-4一阶电路的零状态响应

非齐次线性常微分方程解答形式为：齐次方程的通解非齐次方程的特解一.

RC电路的零状态响应强制分量与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量。变化规律由电路参数和结构决定齐次方程的通解：特解（强制分量）=US：通解（自由分量，暂态分量）iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=0全解uC

(0+)=A+US=0

A=–US由起始条件uC

(0+)=0定积分常数A=USiK(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=0强制分量(稳态)自由分量(暂态)-USuC"uC'USti0tuc0能量关系电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。电容储存：电源提供能量：电阻消耗RC+-US二.RL电路的零状态响应iL(0-)=0求:电感电流iL(t)已知tuLUStiL00iLK(t=0)US+–uRL+–uLR

6-5一阶电路的全响应全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应一.一阶电路的全响应及其两种分解方式iK(t=0)US+–uRC+–uCR稳态解uC'=US解答为

uC(t)=uC'+uC"uC

(0-)=U0非齐次方程

=RC暂态解1、全响应uC

(0+)=A+US=U0

A=U0

–US由起始值定A强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uc全解tuc0(1).

全响应=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)2、全响应的两种分解方式iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=U0iK(t=0)US+–uRC+–

uCR=uC

(0-)=0+uC

(0-)=U0C+–

uCiK(t=0)+–uRR(2).

全响应=零状态响应+零输入响应零状态响应零输入响应等效+-ucuC

(0-)=U0iC+-U0uciC零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0(3).两种分解方式的比较零状态响应零输入响应物理概念清楚便于叠加计算

全响应=零状态响应+零输入响应全响应=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)稳态解暂态解(t≥0)二.三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶微分方程：令t=0+其解答一般形式为：1A2

例11

3F+-uC已知：

t=0时合开关求换路后的uC(t)。解：tuc2(V)0.6670例2i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)3

2

已知：电感无初始储能

t=0时合k1,t=0.2s时合k2

求两次换路后的电感电流i(t)。解：0<t<0.2st>0.2s(0<t

0.2)(t

0.2)it(s)0.25(A)1.262例3换路前：iL(0-)=

-IS=

-2A求换路后的戴维宁电路SUs+-(t=0)iLRLiIsab10V4H2W2A??Uoc+-(t≥0+)iLReqLab=10-2×2=6VUoc=Us-RisReq

=R=2W求iL的三个要素：iL(0+)=iL(0-)=-2AiL(∞)=

Uoc

/

Req=6/2=3(A)t=L/Req=4/2=2(s)f(t)=f(∞)+[f(0+)-f(∞)]e-ttiL(t)3-232iL(t)=3-5e-0.5tAi(t)=IS+iL(t)=5-5e-0.5tA例4：电路如图，求uL。SiL+-2AuL4W2W4W12-+8Vi1+-2i10.1HUoc=4i1+2i1Req==10WUi解：iL(0-)=

-

4A=

iL(0+)SiL+-2AuL4W2W4W12-+8Vi1+-2i10.1H(t≥0)求换路后的戴维宁电路=12VReqUi=(4+4)i1+2i1i1uL(0+)

=Uoc-Req

iL(0+)=12-10×(-4)=52ViLUoc+-(t≥0+)ReqL+-uL0.1H也可以先求iL：uL=LdtdiLuL(∞)=0t=ReqL==

0.01s100.1得

uL=52e-100t

V例4：电路如图，求uL。解：iL(0-)=-4A=

iL(0+)代入三要素公式f(t)=

f(∞)+[f(0+)-f(∞)]-ttet=0.01siL(0-)=-4A=

iL(0+)iL(∞)=Uoc/Req=1.2AiL

=1.2-5.2e-100tA再由求出uL。Uoc=4i1+2i1Req=Ui求换路后的戴维宁电路=12VuL(0+)

=Uoc-Req

iL(0+)=52V=10WiLUoc+-(t≥0+)ReqL+-uL0.1H例5：图示电路原本处于稳定状态，t=0时开关S闭合，求换路后的电流i(t)

。iU=10V+-R1=2WSL=1HR2=5WC=0.25FiL(0-)=0，uC(0-)=10V，换路后变为两个独立的单回路iL(0-)+-uC(0-)iU=10V+-R1=2WSL=1HR2=5WC=0.25F+-uCiLiC解：电容电路的三要素为iC(0+)=

uC(0+)／R1

=5At1

=R1C

=0.5s,iC(∞)=0电感电路的三要素为iL(0+)=

iL(0-)=0t2

=L／R2

=0.2s,iL(∞)=

U／R2

=10／5=2Ai(t)=iL(t)+

iC(t)

求出iC(t)、iL(t)后(t≥0)例5：t=0时S1从位置1拨向位置2，经0.12s后S2打开，求uC(t)并绘波形图。U1+-R210mFS250VR1=20kWCS121U2-+30kW10V+-uC解：先求初始值uC(0-)