2021年山东省枣庄市中考数学模拟试卷（三）（附答案详解）

2021年山东省枣庄市中考数学模拟试卷（三）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.下列计算正确的是（）

A.a2-a3=a6B.a6+a~2=a-3

C.（—2ah2）3=-8a3b6D.(2a+b)2=4a2+b2

2.如图所示，该几何体的俯视图是（）

3.甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表所示，如果从这四位同学中,

选出一位同学参加数学竞赛.那么应选（）去.

甲乙丙T

平均分85909085

方差50425042

A.甲B.乙C.丙D.T

4.有两个直角三角形纸板，一个含45。角，另一个含30。角，如图①所示叠放，先将含

30。角的纸板固定不动，再将含45。角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC〃DE,如

图②所示，则旋转角482。的度数为（）

cc

A.15°D.60°

5.若关于x的分式方程芸=鼻+5的解为正数，则m的取值范围为（）

A.m<—10B.m<—10

C.m>—10且m*—6D.m>—10且?n丰—6

6.定义运算：mEln=nin2-nm-l.例如：4132=4x22-4x2-1=7,则方程

（―1）回x=0的根的情况为（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.只有一个实数根

7.在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”给出下列函数

①y=—%：@y=p③y=%+2；④y=x2-2x.其图象中不存在"好点"的函

数个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.如图，在△ABC中，乙4cB=90。，边BC在x轴上，

顶点A,B的坐标分别为（一2,6）和（7,0）.将正方形

OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点。的

坐标为（）

A.（|,2）

B.(2,2)

C.(芳,2)

D.(4,2)

9.如图，点力，B,C,D在。。上，04_LBC,垂足为E.若乙4CC=30°,

AE=1,则BC=()

A.2

B.4

第2页，共28页

C.V3

D.2V3

10.如图，在矩形4BCD中，AB=2,BC=2居E是BC的中点，

将△ABE沿直线4E翻折，点B落在点F处，连接CF,则cos/ECF

的值为（）

A.|B.叵C.在D.2

3435

11.如图，直线［与X轴，y轴分别交于4B两点，且与反

比例函数y=：（%>0）的图象交于点C,若SMOB=

S^BOC=1，则卜=（）

A.1

B.2

C.3

D.4

12.如图，抛物线y=aM+bx+c（a彳0）与x轴交于点

2（-1,0）和B,与y轴交于点C给出下列结论:①abc>

0；②2a+b<0；③4a-2b+c>0；⑨④3a+

c>0.其中正确的结论个数为（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.在函数y=等中，自变量X的取值范围是.

14.学校计划用200元钱购买48两种奖品，A奖品每个15元，B奖品每个25元，两种

都要买且钱全部用完，则购买方案有种.

15.如图，海上有一灯塔P,位于小岛A北偏东60。方向上，一

艘轮船从小岛4出发，由西向东航行24nm〃e到达B处，这

时测得灯塔P在北偏东30。方向上，如果轮船不改变航向

继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与

灯塔P的距离是nmile.(结果保留一位小数，旧约

等于1.73)

16.匈牙利著名数学家爱尔特希(P.Erdos,1913-1996)

曾提出：在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等

腰三角形，人们将具有这样性质的71个点构成的点集称

为爱尔特希点集.如图，是由五个点A、B、C、D、。构

成的爱尔特希点集(它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成)，则

乙4D0的度数是

17.如图，在正方形力BCD中，对角线4C与8D交于点。，点E在CD

的延长线上，连接力E,点F是AE的中点，连接OF交4。于点

G.若DE=2,OF=3,则点4到。F的距离为.

47

101316

19222528

3134374043

18.将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个

数是.

三、解答题(本大题共7小题，共60.()分)

19.先化简，再求值”一行悬，其中。是不等式组的最小

整数解.

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20.枣庄某学校为了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家

学习时每天学习时间(包括线上听课及完成作业时间).如图是根据调查结果绘制的

统计图表.请你根据图表中的信息完成下列问题：

频数分布表

学习时间分组频数频率

4组(0<x<1)9m

8组(1<%<2)180.3

C组(2<%<3)180.3

。组(3<x<4)n0.2

E组(4<x<5)30.05

(1)频数分布表中m,n=,并将频数分布直方图补充完整；

(2)若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调

查结果，估计全校需要提醒的学生有名.

(3)已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了

解学生居家学习情况，请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率.

人数频数分布直方图

18

1?

9

6

3

012345时间(小时)

21.如图，反比例函数y=[(kKO)的图象与正比例函数y=2x的图象相交于A(l,a)、

B两点，点C在第四象限，BC〃x轴.

(1)求k的值；

⑵以48、BC为边作菱形4BCD,求。点坐标.

22.如图，在平行四边形4BCD中，对角线4c与BD交于

点。，点M,N分别为。力、0C的中点，延长BM至点

E,使EM=BM,连接DE.

(1)求证：4AMB三4CND；

(2)若BD=2AB,且AB=5,DN=4,求四边形

DEMN的面积.

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23.在等腰△ABC中，AB=BC,点、D,E在射线上，BD=DE,过点E作EF//BC,

交射线C4于点尸，请解答下列问题:

图①图③

(1)如图①，当点E在线段4B上，以)是4ACB的角平分线时，求证：AE+BC=CF,

(2)如图②，当点E在线段BA的延长线上，CD是AACB的角平分线时；如图③，当

点E在线段B4的延长线上，CD是AACB的外角平分线时；请直接写出线段4E,BC,

CF之间的数量关系，不需要证明.

24.如图，在Rt△4BC中，NC=90°,40平分/B4C交BC于点D,

。为4B上一点，经过点4、。的。0分别交4B、4C于点E、F.

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)若BE=8,sinB=5，求。。的半径；

(3)求证：AD2=ABAF.

25.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点4(一1,0),点B(3,0),与y轴交于点C(0,3),

(1)求抛物线的解析式及直线CE的解析式；

(2)若点P在抛物线上，点Q在%轴上，当以点D,C,P,Q为顶点的四边形是平行四

边形时，求点P的坐标；

(3)已知点H(0,詈),G(2,0),在抛物线对称轴上找一点F,使4F+F”的值最小此时，

在抛物线上是否存在一点K,使KF+KG的值最小？若存在，求出点K的坐标：若

不存在，请说明理由.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：力、a2-a3=a5,原计算错误，故此选项不合题意；

B、a6^a-2=a8,原计算错误，故此选项不合题意；

C、(一2M2)3=—8a3b6,原计算正确，故此选项合题意；

D、(2a+b)2=4a2+4ab+b2,原计算错误，故此选项不合题意.

故选：C.

根据同底数幕的乘法和除法法则，积的乘方法则以及完全平方公式逐一计算判断即可.

本题主要考查了同底数基的乘法和除法，幕的乘方与积的乘方的法则以及完全平方公式,

熟记运算法则和公式是解答本题的关键.

2.【答案】B

【解析】解：该几何体的俯视图是

故选：B.

根据俯视图的概念求解可得.

本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图.

3.【答案】B

【解析】解：%乙=%丙＞%甲=x丁,

•••四位同学中乙、丙的平均成绩较好,

又W<s3

・••乙的成绩比丙的成绩更加稳定,

综上，乙的成绩好且稳定，

故选：B.

先找到四人中平均数大的，即成绩好的；再从平均成绩好的人中选择方差小，即成绩稳

定的，从而得出答案.

本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的

一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值

的离散程度越小，稳定性越好.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了旋转的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.

由平行线的性质可得“凡4=ZD=90°,由外角的性质可求/BAD的度数.

【解答】

解：如图，设4。与BC交于点F,

图②

•••BC//DE,

•••/.CFA=4。=90°,

•・•Z.CFA=+Z.BAD=60°+4BAD,

・・・(BAD=30°

故选：B.

5.【答案】D

【解析】解：去分母得：3x=+5(x-2),

由方程的解为正数，得到m+10>0,且m+1044,

则m的范围为m>—10且m*—6,

故选：D.

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分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围

即可.

此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：由题意可知：(一1)团乂=一/+》一1=0,

•••4=1—4x(—1)x(—1)=—3<0,

没有实数根.

故选：C.

根据新定义运算法则列出关于x的方程，根据根的判别式进行判断即可.

本题考查了根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，难度不大，属于基础

题型.

7.【答案】A

【解析】解：••・横、纵坐标相等的点称为“好点”，

•••x=y,

@x=-X,解得x=0,所以y=—X图象中存在“好点”，

@x=l，解得工=土/，所以y=|图象中存在“好点”，

@x=x+2,此方程无解，所以y=x+2图象中不存在“好点”，

(4)x=x2—2x>解得x=0或％=3,所以y=x2—2x图象中存在"好点”，

上述图象中不存在“好点”的函数个数为：1,

故选：A.

根据题意可得x=y,然后代入每一个解析式进行计算即可判断.

本题考查了函数的概念，根据题意得出x=y,然后代入每一个解析式进行计算是解题

的关键.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图

形是解题的关键.

根据已知条件得到AC=6,0C=2,OB=7,求得BC=9,根据正方形的性质得到DE=

0C=0E=2,求得0®=O'C'=2,根据相似三角形的性质得到B。'=3,于是得到结

论.

【解答】

解：如图，设正方形D'C'0'E'是正方形。CDE沿x轴向右平移后的正方形，

•••顶点4,B的坐标分别为(一2,6)和(7,0),j"

[X

：.AC=6,OC=2,OB=7,、

:.BC=9,D--D,i—

•••四边形。CDE是正方形,

DE=OC=OE=2,

O'E'=O'C=2,

vE'O'1BC,

•••乙BO'E'=Z.BCA=90°,

E'O'//AC,

:.ABO'E'S^BCA,

EiOf_BOf

AC-BC

2_BOf

6~9

・•・BO'=3,

・・・OC'=7-2-3=2,

二当点E落在AB边上时，点。的坐标为(2,2),

故选反

9.【答案】D

【解析】解：连接。C,如图,

・・•^ADC=30°,

：•^LAOC=60°,

•・•OA1BC,

ACE=BE,

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在RtZiCOE中，OE=2OC,CE=V3OE-

vOE=OA-AE=OC-1,

OC-1=-OC,

2

:.OC=2,

・・・OE=1,

ACE=V3»

BC=2CE=2V3.

故选：D.

连接OC,根据圆周角定理求得乙4OC=60。，在RtACOE中可得OE=3。。=。。一1得

到OC=2,从而得到CE=V5,然后根据垂径定理得到BC的长.

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条

弧所对的圆心角的一半.也考查了垂径定理.

10.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，三角

形的外角性质，三角函数的定义；熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，证出N/1E8=

NECF是解决问题的关键.

由矩形的性质得出NB=90。，由勾股定理求出力E,由翻折变换的性质得出△力

ABE,得出N4EF=NAEB,EF=BE=V5.因此EF=CE,由等腰三角形的性质得出

/-EFC="CF,由三角形的外角性质得出NAEB="CF,cos乙ECF=cos^AEB=罪，

即可得出结果.

【解答】

解：如图，•••四边形4BCD是矩形，

NB=90°,

•••E是BC的中点，BC=2V5,

■1•BE=CE=-BC—V5,

2

AE=y/AB2+BE2=22+(V5)2=3,

由翻折变换的性质得：AAFEmAABE,

Z.AEF=Z.AEB,EF=BE=t，

EF=CE,

・•・Z-EFC=乙ECF,

•・•乙BEF=Z-EFC+乙ECF,

・•・Z.AEB=乙ECF,

・•・coszFCF=cosZ.AEB=—=--

AE3

故选：C.

11.【答案】D

【解析】解：如图，作CD1x轴于。，设。8=a(a>0).

•••S»AOB-S〉BOC»

・•・AB=BC.

•・•△4。8的面积为1,

■.-OAOB=1,

2

OA=

vCD//OB,AB=BC,

2

・・.OD=0A=CD=2OB=2a,

・・"(；,2a),

・・,反比例函数y=~(x>0)的图象经过点C,

2

：.k=-x2a=4.

故选：D.

作CD1x轴于D,设OB=a(a>0).|iSA?los=SABOC,根据三角形的面积公式得出AB=

BC.根据相似三角形性质即可表示出点C的坐标，把点C坐标代入反比例函数即可求得k.

此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求

线段长度是解题的关键.

12.【答案】C

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【解析】解：①由抛物线的开口向上知a>0,

•••对称轴位于y轴的右侧，

b<0,

•••抛物线与y轴交于负半轴，

•••c<0,

•••abc>0,

故正确；

②）对称轴为直线x=—卷<1，得2a>—b,即2a+b>0,

故错误；

③由图可知：当x=—2时，y>0,

•••4a-2b+c>0,

故正确：

④•:当x——1时，y=0,

■'-0=a—b+c<a+2a+c=3a+c,

即3a+c>0,

故正确.

综上所述，有3个结论正确.

故选：C.

根据抛物线的开口方向、对称轴、特殊点的位置、以及与x轴y轴的交点，综合判断即可.

本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的

关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系.

13.【答案】且XH2

【解析】解:由题可得，仔+污？，

解得｛北”

二自变量x的取值范围是x>一3且x力2,

故答案为：x>—3且x*2.

当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数.当表达式的分母中含有自变量时,

自变量取值要使分母不为零.

本题主要考查了自变量x的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都

有意义.

14.【答案】2

【解析】解：设购买了4种奖品X个，8种奖品y个，

根据题意得：15x+25y=200,

整理得：3x+5y=40,

vx,y为正整数,

,噂(x=55_或p.|fyx=2101

购买方案有2种，

故答案为：2.

设购买了4种奖品x个，B种奖品y个，根据学校计划用200元钱购买4、B两种奖品，4种

每个15元，B种每个25元，两种都要买且钱全部用完，列出二元一次方程，再根据》,y

为正整数可求出解.

本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键.

15.【答案】20.8

【解析】

【分析】

本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，等腰三角形的判定与性质等知识，正确

作出高线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关键.

过P作于D,易证A4BP是等腰三角形，得到BP=4B=24nm〃e.然后在直角

△PBD中，利用三角函数的定义求得PD的长即可.

【解答】

解：过P作PD1AB于。.

vZ.PAB=30°,乙PBD=60°,

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・•・Z.PAB=/-APB.

・•・BP=AB=24nmile.

在直角APB。中，PD=BP-sin^PBD=24xy=12^3«20.8(nmiZe).

即此时轮船与灯塔P的距离约为20.8nzn"e.

故答案为20.8.

16.【答案】18°

【解析】解：•.・这个五边形由正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成，

・••根据正五边形的性质可得04=OB=OC=0D,AB=BC=CD,

AOBBOCC0D(SSS),

・•・Z.0AB=Z-OBA=Z-OBC=Z-OCB=Z-OCD=Z.ODC,Z.AOB=Z.BOC=Z-COD,

・・,正五边形每个角的度数为：(5-2)；180。=log。,

・・・Z.0AB=Z.0BA=Z.OBC=Z.0CB=Z.0CD=Z.0DC=54°,

:.Z.AOB=乙B0C=乙COD=(180°-2x54°)=72°,

・・・乙AOD=360°-3x72°=144°,

vOA=OD,

:./.ADO=(180°-144°)=18°,

故答案为：18。.

先证明△AOBEABOCaCOD,得出NOAB=/.OBA=乙OBC=乙OCB=Z.OCD=

“DC,N40B=NB0C=NC0D,然后求出正五边形每个角的度数为108。，从而可得

Z.OAB=Z.OBA=Z.OBC=乙OCB=Z.OCD=Z.ODC=54°,乙AOB=乙BOC=乙COD=

72°,可计算出41。0=144。，根据。4=。。，即可求出410。.

本题考查了正多边形的内角，正多边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定

和性质，求出乙4OB=乙BOC=乙COD=72。是解题关键.

17.【答案】千

【解析】

【分析】

本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形

中位线定理，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键.

根据正方形的性质得到4。=D。，^ADC=90°,求得乙4DE=90。，根据直角三角形的

性质得到。尸=AF=EF=^AE,根据三角形中位线定理得到FG=1DE=1,求得AD=

CD=4,过4作4H1DF于H,根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论.

【解答】

解：・••在正方形4BCD中，对角线4c与B。交于点。，

­.AO=DO,/.ADC=90°,

/.ADE=90°,

•・•点尸是4E的中点，

DF=AF=EF=-AE,

2

・•・0F垂直平分O

AG=DG,

■■FG=-DE=1,

2

vOF=3,

・•・OG=2,

-AO=CO,

・•・CD=20G=4,

:.AD=CD=4,

过4作_LD/于H,

・•・乙H=/.ADE=90°,

•・,AF=OF,

・••Z-ADF=Z-DAE,

・••△ADH^LEADf

AHAD

:.——=——,

DEAE

・•・AE=7AD?+DE2=V424-22=2A/5»

第18页，共28页

.力H_4

一2一2遍，

・•・AH=—，

5

即点a到DF的距离为延，

5

故答案为延.

5

18.【答案】625

【解析】解：由图可得，

第一行1个数,第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+-+19+

20=210个数,

二第20行第20个数是：1+3x(210-1)=628,

・•・第20行第19个数是：628-3=625,

故答案为：625.

根据题目中的数据和各行的数字个数的特点，可以求得第20行第19个数是多少，本题

得以解决.

本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的数字的变化特点，

知道第n个数可以表示为1+3(n-1).

19.【答案】解：原式="：占J

a(a+l)(a-l)

_a+1

=­•

解不等式组卜212一°幺中的①，得。n2.

解不等式②，得a<4.

则2<a<4.

所以a的最小整数值是2,

所以，原式=等=|.

【解析】本题考查了分式的化简求值与一元一次不等式组的解法，熟练分解因式是解题

的关键.

先化简分式，然后将a的整数解代入求值.

20.【答案】0.1512450

【解析】解：(1)根据频数分布表可知：m=1-0.3-0.3-0.2-0.05=0.15,

•••180.3=60(A),

n=60-9-18-18-3=12(人),

(2)根据题意可知：1000x(0.15+0.3)=450(名),

答：估计全校需要提醒的学生有450名；

(3)设2名男生用4B表示，1名女生用C表示,

根据题意，画出树状图如下:

第一次

第二^

根据树状图可知：等可能的结果共有6种，符合条件的有4种,

所以所选2名学生恰为一男生一女生的概率为:=|.

o3

(1)频数分布表中m=0.15,n=12,并将频数分布直方图补充完整；

(2)若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结

果，估计全校需要提醒的学生有多少名？

(3)已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学

生居家学习情况.请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率.

本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、频数分布表、频数分布直方图，解决

第20页，共28页

本题的关键是掌握概率公式.

21.【答案】解：⑴•••点4(1,砌在直线丁=2%上,

Aa=2x1=2,

即点a的坐标为(1,2),

•••点2(1,2)是反比例函数)/=9/0丰0)的图象与正比例函数y=2%图象的交点，

Afc=1x2=2,

即%的值是2；

(2)由题意得：l=2x,

解得：x=1或-1,

经检验x=1或-1是原方程的解，

:.B(—1,—2),

,・・点4(1,2),

AB=,(1+1)2+(2+2尸=2相,

•••菱形力BCD是以4B、BC为边，且轴，

•••AD=AB=2s，

£)(1+24,2).

【解析1(1)根据点4(1,a)在y=2%上，可以求得点4的坐标，再根据反比例函数y=

丰0)的图象与反比例函数y=2x的图象相交于4(1,a),即可求得k的值；

(2)因为B是反比例函数y=:和正比例函数y=2x的交点，列方程可得B的坐标，根据菱

形的性质可确定点。的坐标.

本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结

合的思想解答.

22.【答案】解：⑴•••平行四边形4BCD中，对角线AC与BD交于点0,

・••AO=CO,

又,:点M,N分别为。4、OC的中点，

.-.AM=CN,

•••四边形4BCD是平行四边形，

:・AB"CD,AB=CD,

・•.匕BAM=乙DCN,

••△AMB三ACND(SAS)；

(2)OAMBNACND,

BM=DN,乙ABM=£CDN,

又•・•BM=EM,

・•・DN=EM,

-AB//CD,

乙ABO=Z.CDO,

:.4MBO=乙NDO,

・・.ME//DN

・•・四边形DEMN是平行四边形，

・・•BD=2AB,BD=2B0,

:.AB=OB,

又*:M是4。的中点，

・•・BM1AO,

・•・乙EMN=90°,

四边形DEMN是矩形，

•：AB=5,DN=BM=4,

■■.AM=3=MO,

•••MN=6,

二矩形。EMN的面积=6x4=24.

【解析】(1)依据平行四边形的性质，即可得到三ACND；

(2)依据全等三角形的性质，即可得出四边形DEMN是平行四边形，再根据等腰三角形

的性质，即可得到/EMN是直角，进而得到四边形DEMN是矩形，即可得出四边形DEMN

的面积.

本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及矩形的判定，全等三

角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等

时，关键是选择恰当的判定条件.

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23.【答案】证明：（1）延长FE,CD交于点G,

图①

・・•EF//BC,

•••Z-G=乙GCB,Z.AFE=乙ACB,

在ZiGED和ACBD中，

(Z.G=乙BCD

ZGDE=乙CDB,

WE=BD

.*.△GED与&CBD(44S),

:・BC=GE,

vBA=BC,

:.乙4=乙BCA,

・・・=LAFE,

・•・AE=FE,

・・・CD平分乙4CB,

・•・Z.ACG=乙BCG,

:.乙G=Z.ACG,

・・・FG=FC,

・・・4E+8C="；

(2)当点E在线段B4的延长线上，如图②，延长E尸，C。交于点G,

图②

由(1)同理得△GED=ACB0(/L4S),GF=CF,

・•・GE—BC,

v乙EFC=Z-ACB-乙BAC=Z.EAF,

：.EF=AE,

•••BC-AE=CF；

当点E在线段84的延长线上，如图③，延长CO交EF于G,

图③

由（1）同理得△GfDsACBCQ4AS）,GF=CF,EF=AE,

：.AE-BC=CF.

【解析】(1)延长FE,CD交于点G,利用平行线和中点可证GEO三△CBDQL4S),再根据

平行线和角平分线可得小CGF是等腰三角形，从而得出结论；

(2)当点E在线段B4的延长线上，如图②，延长EF,CD交于点G,由⑴同理得△GED*

CBD(44S),GF=CF,可得结论：当点E在线段B4的延长线上，如图③，延长CD交EF

于G,由(1)同理得△GED三△CBDQMS),GF=CF,EF=AE,则有4E-BC=CF.

本题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角

形的判定与性质等知识，熟练掌握基本几何图形是解题的关键.

24.【答案】解：(1)如图,连接OD,EF,

图1

则。4=0D,

:.Z-ODA=Z.OAD,

•••40是/B4C的平分线,

Z-OAD=Z.CAD9

・•・Z.ODA=Z.CAD，

・•・OD//AC,

第24页，共28页

：•4ODB=zC=90°,

•・•点。在。。上，

・・・8C是O。的切线;

(2)•・•乙BDO=90°,

OP_OD__5_

BO-BE+OD-13

:.OD=5,

・•・。0的半径为5；

(3)连接E凡

图2

,.TE是直径，

・•・Z,AFE=90°=Z,ACB,

・•・EF//BC,

・•・Z,AEF=CB，

又•・•Z-AEF=4力。尸，

・•・乙B=Z.ADF,

又LOAD=匕CAD,

・•・△DAB~>FAD,

—AD=—AF

ABAD

AD2=AB-AF.

【解析】(1)先判断出。。〃4C,得出NODB=90。，即可得出结论;

(2)由锐角三角函数可得5/8=^=^^=卷，即可求解；

(3)通过证明△/MB”△凡4。，可得号=受，可得结论.

本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质,

熟练运用这些性质进行推理是本题的关键.

25.【答案】解：(1)由抛物线丫=。/+加；+(:与％轴交于点4(-1,0),点B(3,0),设抛

物线的解析式为y=a(x+l)(x-3),

把C(0,3)代入y=a(x+1)(%-3)得-3a=3,

a=—1,

二抛物线的解析式为y=-(x+1)(%-3)=-x2+2x+3,

如图：

•••力(-1,0),B(3,0),

AB=4,

33

：

.AE=-8AB=-2,

・・

•OE=AE—OA=2

.,.吟0),

设直线CE的解析式为y=kx+b,

・•.g"b=°,解得｛:：-6.

二直线CE的解析式为y=-6x+3,

答：抛物线的解析式为y=-/+2x+3,直线CE的解析式为y=—6x+3；

(2)y——x2+2久+3=—(x—I)2+4,

••・抛物线顶点D为(L4),

设P(m,-m2+2m+3),Q(n,O),而C(0,3),

①当DP、QC是平行四边形对角线时，

•••平行四边形对角线互相平分，

DP.QC的中点重合，

第26页，共28页

1+m=n+0

解得m=1+遥或?n=1—V5>

4—m2+2m+3=0+3

P(1+花,-1)或(1-6,-1)，

②当DQ、PC是平行四边形对角线时，同理DQ、PC的中点重合,

；*二曹2；2m+3+3,解得m=l+遮或m=l_g，

P(I+75,1)或(1-V5,i),

③当DC、QP是平行四边形对角线时，DC、QP的中点重合,

:亶：纥2