2016年高考天津卷理数试题(解析版)

2叽£年普通高等学较招生全国统一考试(天津卷)

数学(理)试题

本试卷分为第I卷(选择题)和第n(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。

第I卷1至3页，第n卷4至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷

时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交

回。

祝各位考生考试顺利！

第I卷

注意事项：

1'每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号•其中S表示柱体的底面积其中

2•本卷共8小题，每小题5分，共40分参考h表不棱柱的局.

公式：

如果事件A,B相互独立，

如果事件A,B互斥，那么

P(AB)=P(A)P(B)

P(AUB)=P(A)+P(B)1

圆锥的体积公式V=Sh

3

柱体的体积公式V柱体=Sh,

其中S表示锥体的底面积，h表示圆锥的高.

、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

(1)已知集合A(1,2,3,4},B{y|y3x2,xA},则AlB=(

(A){1}(B){4}(C){1,3}(D){1,4}

【答案】D

【解析】试题分析：B{1,4,7,10},AIB{1,4}.选D.

考点：集合运算

【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本

题，难点系数较小•一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的

1

考查立足于元素互异性，做到不重不漏•

xy20,

(2)设变量x,y满足约束条件2x3y60,则目标函数z2x

5y的最小值为()

3x2y90.

(A)4(B)6(C)10(D)17

【答案】B

【解析】

试题分析’可行域为一个三角形£匚及其内部“其中亶线=>-汁过点弓时取最小值金舞3

考点：线性规划

【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实

线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的

斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围

(3)在AABC中，若AB=.13,BC=3,C120。则

AC=()

(A)1(B)2(C)3(D)4

【答案】A

【解析】

试题分析：由余弦定理得139AC?3ACAC1，选A.

考点：余弦定理

【名师点睛】1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，

既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解.

2•利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目

的.

(4)阅读右边的程序框图，运行相应的程

序，则输出S的值为()

(A)2(B)4(C)6(D)8

2

开始

...Mr—/

【答案】B

【解析】

试题分析：依次循环：s8,n2;S2,n3;S4,n4结束循环，输出S4，选B.

考点：循环结构流程图

【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查•先明晰算法及流程图的

相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环

终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项

(5)设｛an｝是首项为正数的等比数列，公比为q，贝U

q<0"是对任意的正整数n,a2n-i+a2n<0"

的()

(A)充要条件【解析】

(C)必要而不充分条件试题分析：由题意得，

(B)充分而不必要条件

【答案】C

(D)既不充分也不必要条件

a2n1a2n0玄心2，2q2ni)oq2(n11(q1)0q(,1)，故是必要不充

分条件,故选c.

考点：充要关系

【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法.

1•定义法：直接判断“若P则q”、“若q则P"的真假•并注意和图示相结合，例如“P?

q”为真，则P是q的充分条件.

2.等价法：利用p?q与非q?非p.q?p与非p?非q,p?q与非q?非p的等价关系，对

于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.

3•集合法：若A?B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B,则A是B的充要

3

条件.

22

(6)已知双曲线一占=1(b>0),以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲

4b

线的两条渐近线相交于A、B、CD四点，四边形的ABC口的面积为2b,则双曲线的方程

为(

22A222

(A)-(B)x4y，y=1(D乂=1

4=1(C)b12

AC

【答案】D

【解析】

V=

试题分析；根据肘称性，不妨设A在第一家限..

1(5

二一匚趣曲册方程为了

考点：双曲线渐近线

【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点：

(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两“定量”条件，“定位”是指

个

确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a,b的值，常用待定系数法.

(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论.

①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2+By2=1(AB<0).

②若已知渐近线方程为m灶ny=0,则双曲线方程可设为mx

(7)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D.E分别是边AB,BC的中点，连接DE并延

长到点F，使得DE2EF,则AFBC的值为(

(A)(B)(C)(D)|

【答案】

【解析】

、牛曰否zx七二・、几RAr3口a,ruuir1uuu小Q\尸匚uuir3(

试感分析•设BABCb•••DEr」(ba),DFuuur3(ba),

'2-DE4

-----r\

4

IiiiriiiiriiiiiirrQrrSror

AFADDFa[ba)a-b

2444

uuruur531故选B.

AFBC5rrab3r2b

44848

考向量数量积

【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量

数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简♦平面向

量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言一一“坐标语言”，实质是“形”化为“数”.向

量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结

合起来.

2

(8)已知函数f(x)=x(4a3)x3a,x°，(a>0,且1)在R上单调递减，且关于

IOga(X1)1,x0

X的方程|f(x)|2x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是

223123*

(A)(0,](B)[—,](C)i-,]II(D)[-,-)

334r33

r客案】c

【解析】

34a03

试题分析：由f(X)在R上递减可知-，由方程If(x)|2x恰

3a1,0a4

3a2,11

好有两个不相等的实数解，可知-时'抛物线

a

4

Vx2(4a3)x3a与直线y2x相切，也符合题意，--•实数a的去范围是

123

【3@U{4},故选C.

考点：函数性质综合应用

【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.

5

注意事项：

1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上

2、本卷共12小题，共计110分.

短；填空本大题共6小题，每小题5分，共30分.

(9)已知a,bR-i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则a的值为

b

【答案】2

【解析】

1baa2a

试题分析：(1DOb)1b(1b)ia,则1b0，所以b1,b2,故答案

为2.

考点：复数相等

【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题•首先对于复数的四则

运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如

(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i,(a,b,c.dR),

-一巴＜ae翌号(abcdR),•其次要熟悉复数相关基本概念，如复数cdied

abi(a,bR)的实部为a-虚部为b、模为/a?b2、共甄为abi.

(10)仅2,)8的展开式中x2的系数为.(用数字作答)

X

【答案】56

【解析】

试题分析*展开式通项为T_,="I：=1-1)'Csr-3,所以x的

r

=故答黑为-订.

考点：二项式定理

【名师点睛】1.求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和

通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n,r均

为非负整数，且n》r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.

2•有理项是字母指数为整数的项•解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整

数，再根据数的整除性来求解.

6

(11)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位:m•则该

【答案】2

【解析】

试题分析：由三视图知四棱锥高为3,底面平行四边形的底为2,高为1，因此体积为

1

V21

332•故答案为2.

考点：三视图

【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其

直观图.

2-三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相

关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据.

(12)如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED则线段CE的长为

2.3

【答案】

【解析】

3

7

试题分析：设CEx,则由相交弦定理得DECEAEBE,DE-，又BDDE2,

xx

所以ACAE1，因为AB是直径，则BC.32122/2,ADJ9.

BCE:DAE■则匹旦，即一22X，解得X乙3

ADAE413

•9x2

考点：相交弦定理

【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路

（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个

三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形T比例式T等积式”•在

证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握.

2•应用相交弦定理'切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与

圆有关的相似三角形等.

（13）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（-,0）上单调递增.若实数a满足f（21a八）f（J2），则a的取

值范围是.

13

【答案】（2,2

【解析】

试题分析：由题意f$）在Q+工）上递鬲是偶函麹则下等式八¥叫）为只或化洵

『（2叭*（近），则冲「』5,卜一1卜召解得审菲答案掏。=

■■M1a.W

考点：利用函数性质解不等式

【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助

数”的方法有：

⑴借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效.

⑵借助函数图象性质，禾U用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的

问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化.

（14）设抛物线X2pt,（t为参数，p>0）的焦点为F,准线为I.过抛物线上一点A作I

y2pt

的垂线'垂足为B.设C（7p,0）,AF与BC相交于点E.若|CF=2|AF，且4ACE勺面积

2

8

为3/2，则p的值为

【答案】-6

【解析】

AF

7P又2

试题分析：抛物线的普通方程为y22px,F(-p,O),CF3PCF

2PI

则

33PXA

〃

由

则AFP'由抛物线的定义得AB,所以PAB得

2PCF

2

2

EFCF■gpEF2由zo20sFc

Ab，所以OCEFOCEAbAcFE

EAABEA所以13p、、2p

2

考点：抛物线定义

【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理.

。P

2.若P(x。，y。)为抛物线丫=2px(p>0)上一点，由定义易得|PF=x°+若过焦点的弦AB

的端点坐标为A(xi,yi),B(X2,y2)，则弦长为|AB=X+X叶p,X+X?可由根与系数的关系整

体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.

三'解答题：本大题共6小题，共80分.

(15)已知函数f(x)=4tanxsin(x)cos(x)-\3.

23

(I)求f(x)的定义域与最小正周期；

(n)讨论f(x)在区间［―,一］上的单调性.

44

【答案】(DXX—k,kZ,.(n)在区间一，一上单调递增，在区间

2124

,上单调递减

412

【解析】

试题分析：⑴先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本

三角函数：f(x)=2sin2x再根据正弦函数性质求定义域、周期根据(1)的结论,

3

研究三角函数在区间［4,4］上单调性

试题解

析.解：fx的定义域为xx—k,kZ•

2

9

fx4tanxcosxcosx4sinxcosx

1近

.32sinxcosx2,3sin2x

=4sinxcosxsinx

22

=sin2x、、31-cos2xsin2x3cos2x=2sin2x

所以，fx的最小正周期

解：令z2x，函数2sinz的单调递增区间是2k-2k,kZ.

32

3

2x-2k，得kx

由2k12k,kZ.

2312

,kZ，易知Al

12

所以，当x，时,x在区间,上单调递增，在区间一上单

4412412

调递减・

考点：三角函数性质，诱导公两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式

式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善

于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角

和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角

的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.对于三角函数来说，常常是先化为y=

Asin(3x+0)+k的形式，再利用三角函数的性质求解.三角恒等变换要坚持结构同化原则，

即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技

巧，要灵活运用降次公式.

(16)(本小题满分13分)

某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为123的人数分别

为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会

(I)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4"求事件A发生的概率；

(II)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值>求随机变量X的分布列和

数学期望.

10

【答案】（I）1（n）详见解析

3

【解析】

试题分析二（I）先确定烟10人中随机选出2人的基本事件种数：C-：，再确定选出的2人参加义工活动

次数之和对4所包舍基隼事件数；GUY•最后根据概率公式求概率5）先踊定随机变重可能取值为

。±；再分别求出对应概率，列出概率分笳最后根据公式计算数学期望

试题解析：解：（）由已知，有

C:C4C4

Clo

1

所以，事件A发生的概率为1.

3

/、rt-t-i=rX/，一t———X_>•*，.，一、rCJ

C3CC4_

G2o15

C3c3C3c47

cio15

C1C44

G2。15

所以，随机变量X分布列为

X

012

474

P

151515

474

随机变量X的数学期望EX0—1—2—1.

151515

考点：概率，概率分布与数学期望

【名师点睛】求均值、方差的方法

1.已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义（公式）求解；

2.已知随机变量E的均值、方差，求E的线性函数n=aE+b的均值、方差和标准差，可直接用E的均值、

方差的性质求解；

3•如能分析所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），可直接利用它

们的均值、方差公式求解.

11

(17)(本小题满分13分)

如图，正方形ABCD勺中心为0,四边形0BEF为矩形，平面0BEH平面ABCD点G为

AB的中点，AB=BE=2.

(I)求证:EG/平面ADF；

(II)求二面角OEFC的正弦值；

2

(III)设H为线段AF上的点，且A岸土HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.

3

——r近

【答案】(D详见解析(H)弓(H)21

【解析】

试题分析：(I)禾卿空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向墨利用法向量与直线盒佝向量垂直进行论证(U)利审空间向量

求二面角.关键是求出茴的迭向II•再利用向量数量积求出法向董夬角，谖后抿塔向童夹甫2二面津相等或互补关系求正弦值

(III)茅炜空间向重证明芟面平行，关睫是求出面的法向亶再耶呻向童数重积求出送向莹夹^最后根据向量央角与线面角互余关系

求正弦值

试题解析=依题意，优平面如图，以0为点，”次次F的方问为工轴，y轴、r轴的正污向建立空间直角坐标系，依题意可得0

电00),

,1,0),D(1,1,0),E(1,1,2),F(0,0,2),G(1,0,0).

A1,1,01B(1,1J0),C(1

12

⑴证依题意，AD(2,0,0),AF1,1,2.设nX,y,z为平面ADF的法向量,

rtrt.

uruur

mADn2Yniriiiir

则uruur，即.不妨退z1，可得n.0.2,1，VEGi0.1.2■

niAF0xy2z0

uurur

可得EGn，0，又因为直线EG平面，所以EG〃平面ADF.

uur

(II)解：易证，OA1,1,0为平面OEF的一个法向量■依题意，

urUUU

IIIIIIIIII।II।noEF0

，即

EF1,1,0,CF1,1,2.设n2x,v,z为平面CEF的法向量，则uuUUU

V\2CF0

Xy0.不妨设x1，可得儒11,1

xy2z0

uuuuu

uuuuuQAri?、、6uuuuu

3，所以，二面角

因此有cosOA,n2厥卅g,于是sinOA,ri23

3

OEFC的正弦值为一3.

3

2ujur

(HI)解：由AHRi得AHAF.因为AF1,1,2，所以

J5

uuur2uur224，进而有H334.希u：284

AH-AF

-------，从而BH，因此

5c,c,5i—ci—cr—r—ct-ci—

uuur

uuruucosBHri2品所以直-戋和平面CEF所成角的正弦值为

BH,ri2BH

BHri2

21

13

考点：利用空间向量解决立体几何问题

21

14

【名师点睛】1.利用数量积解决问题的两条途径接计是根据数量积的定义，利用模与夹角直

算；二是利用坐标运算.

2.禾U用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题.

(1)0,0,a±b?a•b=0；

(2)1a|=a2;

a-b

⑶0。，(a,b>=|ag.

(18)已知an是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的nN,bn是an和ai的

等差中项・

(I)设Cnb：ib；,nN>求证：Cn是等差数列;

2n

求证：

(n＞设aid,Tn

k1Tk

【答案】⑴详见解析(n)详见解析

【解析】

试题分析：⑴先根据等比中项定义得:bnanHn1»从而

Cbuh,.an1an2anan1

nn12dan因此根据等差数列定义可证:

2

2dan2an12d对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化

2n

简Tnbn2bl22dnn1,再利用裂项相

k

11___11

消法求和-，易得结论・

2d22d2ki2d2

k1n1

15

试题解析：（工）证明；由题意得/二工乩一有c=h\——b：=a_a因此

T"■B"rl-TTEIS

，所以是等差数列.

(II)证明11

考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和

【名师点睛】分组转化法求和的常见类型

⑴若金=6±6,且{6},{Cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{”}的前H项和.

（2）通项公式为a.=，“为奇数’的数列，其中数列{b.},{Cn}是等比数列或等差数列，

Cn,n为偶数

可采用分组求和法求和.

（19）（本小题满分14分）

设椭圆笃右焦点为F,右顶点为A，已知

a

立不。为原点，e为椭圆的离心率一

FOF|IOAI

IFAI

（I）求椭圆的方程；

m）设过点A的直线I与椭圆交于点B（B不在X轴上），垂直于I的直线与I交于点

M，与y轴交于点H，若BFHF，且MOAMA。，求直线的I斜率的

取值范围.

2

【答案】（D—

4

【解析】

中T，得一3c

试题分析：⑴求椭圆标准方程，只需确定量，[FA|caa（ac）

|0A|'

16

再利用a2c2b23,可解得c21,a24(n)先化简条件：

MOAMAO|MA||MO|即M再OA中垂线上,xM1再利用直线与椭圆位置

⑵⑹解：设直线I的斜率为k(k0)，则直线I的方程为vk(x2).设B(xB,yB),

关系，联立方程组求B；利用两直线方程组求H,最后根据BFHF，列等量关系解出直线斜率.取值范围

试题解析：⑴解：设F(C,0)，由113c，即113c，可得

|OF||OA||FA|caa(ac)

22

22222222XV

ac3c,又acb3，所以c1，因此a4，所以椭圆的方程为1.

43

丫221，消去y，整理得(4k23)x216k2x16k2120.

XX

由方程组7T2)

k(x

V

解得z"瞽由f需从而沪^

由(DM，FOLD),役有帝=(一一』丽"1匚一上J).由月幅

4-3+3

齐占一所比，二一二=解得I因此直坡“旦的方程为

4k'-34k--3R12t

19-4t:

—x-----

k

2

194k20k2

设M(XMVM),由方程组yx在MAO中,

12k

k12k消去丫，解得XMyk(x2)(

2222

MOAMAO

|MA||MO|，BP(XM2)yMXMVM，化简得1，即

20k29

1,解得k

12(k21)

所以，直线I的斜率的取值范围为(、、6-6、

17

考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程

【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：

(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等

曰.¥W

量关系；

(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；

(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.

(20)(本小题满分14分)

设函数f(x)(x1尸axb,xR其中a,bR

(l)求f(x)的单调区间；

(ll)若f(x)存在极值点X。，