2023年贵州省贵阳市统招专升本高数自考真题(含答案)

2023年贵州省贵阳市统招专升本高数自考

真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(20题)

1.

极限lim幽土上®则a的值是()

LOxL

A.1B.yC.2D.&

2.

设函数/(x)=limx(1—,则=(

A.e"+3vB.e"-3V

C.3.re"D.-3.re-i,

3.

设有10个零件，其中2个是次品,现随机抽取2个，恰有一个是正品的概率为()

AAB.笔C.2D.-L

45451515

4.

已知d[e-'./(x)]=e,d,rt/(O)=0,则/Q)=()

A.o"+o'B.c：r—crC.C2J+c*rD.c:—

5.

.设/(公=①,则|21/'(/)必=()

A.二+CB.J1+CC.-y-r2+CD.2H4-C

6.

.设/⑺为连续函数.则1(1一5)/(/+：产=<)

A.0B.1C.»D.—

n

7.

将/(.r)=展开为①的解级数力()

A.52—.0<j.<1B.>](-I)"-1—,-1<.r<1

^N―-1*"flK-i〃'

c.L—vD..(一1尸•五•一i>才&i

勺〃

8.

下列级数中发散的是()

A.V(-1)--1--)B2(-1尸；“

gln(n11

D，S4

c-V3"J-l

137

9.

.设C为圆环域：1-y<I.则二重积分『,J&=<)

飞"+/

A.“B「IKC.2nD.1

10.

函数f(H)=ln(1~上)-卜/T+1的定义域为(

A.[-1.1]B.(--1,1]C.[-1.1)D,(-1.1)

11.

卜列极限存在的是()

A.lime'B.lim2

j--*gi*♦<!./

「

C.lim胆Dn.hm-2---+---2

7-0XH3

12.

设函数/(/)的一个原函数为sin2/・则“'(2_r)d.r=)

A.2COS4J+(、B.ycos4.r+C

C.cos4x+CD.sin4jr+C

13.

一4-(AB)”

设A.B都是〃阶方阵・|A|=一2.)

3

Q2N-\

A.D——

,3

14.

函数y=.rtan.r是)

A.奇函数B.非奇非偶函数C.偶函数D.无法确定奇偶性

15.

..设函数/(-r)=lnsin_r,则d/(j)=

B.—cot.r<£rC.cOt-rcLrD.tanjcLz

16.

若函数/(.r)在某点.r..极限存在.则()

A./(.r)在4的函数值必存在且等于极限值

B.f(.r)在./•„的函数值必存在.但不一定等于极限值

('./心•)在.小的函数值可以不存在

D.如果/(「)存在则必等于极限值

17.

设方程Q+，=+A=。所确定的隐函数为LMs).贝啕=

)

B.0

18.

方程M一1-1=0至少有一个根的区间是()

A.B./j.l)C.(2.3)D.(1,2)

19.

,如果〃阶方阵A5且满足条件AB=。.则必有()

A.|A+B|=0B.A+B=O

C.|A|=0或|5|=0D.|4|+1B|=0

20.

设函数/Q•一1)的定义域为匚0，。]，其中〃>0•则/”)的定义域是()

A.[I•a+11B.[-1•a-1]C.[l-a.a-1]D.[a-

二、填空题(10题)

若y(/)=lim(1+5),则(/)=.

21.

设/(外在点心可导.则lim_也T+)一八之)=

22.

器级数'（一1）"的收敛半径为

23.X3〃十2

设j/(/)dz=,r~IIn.?,—1.则/(?)=

24.

25.

如果/'（z。）=0,/'（心）＜0,则/（»在1。处取得极

值

i=tan/,।

设函数V=f(.r)由参数方程所确定,则罕

；3,="+2/tLru

26.

已知广义积分L，7必=1.其中为为常数.则2

28.

若向量a=(0.1.1).b=(1.0.1),c=(1.1.0).则(aXb)・c=

29.

(x(l—x)7*x<C0,

函数/(x)=J在I=0处的左导数f-(0)=

0,x>0

已知/(7+，)=>+4,则/(7)=

30.VXf1

三、判断题(10题)

31函数1，=ln(2e，)，则.V"=0.A.否B,是

32.

(1.I-r1<1.

设函数/(.r)=J则/(sinj)=1.()

]0.I才1>1，

A.否B.是

33.

如果函数人])在Q")内单调增加•则函数一八Q在(a/力内单调减少.

A.否B.是

由方程y=1+ze>所确定的隐函数的导数为/=5士;.

34.“'A.否B.是

35.

函数y=ln(.r+l)在区间［0.门上满足拉格朗II中值定理结论中的£=/()

A.否B.是

设/Q)=a*.因为f(2)=4,所以f(2)=4Z=0.7

36.A.否B.是

_r'sinicLr=0.

37.A.否B.是

抛物线y=/在点(1.1)处的切线方程为y—1=2.r(J--1).

38.A.否

B.是

数列1♦我一\、品♦>/3—2.….而/〃+1—〃.…是发散的.

39.A.否B.

是

在数列｛4｝中任意去掉或增加有限项，不影响｛〃”)的极限.

40.A.否B.是

四、计算题(5题)

41.

设之=f(2-r+y)+其中/⑺皆可微.求注中.

计算|"(x+Dlardr.

42.

43.

求©—占山.其中区域。是由/+丁=^（a>Q）围成的图形.

VV

44.

（x\+6j2+213+2.1*4=6.

力+4+4+.r<=2♦

已知线性方程组<

4、q-x2+3之3+=4・

力

2-3.r2+4+L=0・

问方程组是否有解？若有解•有唯一解？还是有无穷多解？如果有解•求出全部解.

求扉级数万万±*"的收敛域（考虑区间端点）.

五、证明题（2题）

46.

设/（.r）在［0.1］上连续，在（0,1）内可导.且/（0）41JU）=0,证明在（0，D内至少

存在一点使得『=一幺°.

r

已知向量组a./Ly线性无关.而向量组a./Ly.ij线性相关.试证明:

（1）向量年一定可以由向量组a线性表示；

（2）问题（1）中的表小法是唯一的.

47.

六、应用题（5题）

48.

半径10cm的金属圆片加热后.半径伸长了0.05cm,问其面积增大了多少？

49.

某工厂生产产量为了(件)时.生产总成本函数(元)为

C(.r)=9000+4Ox+0.OOLr2,

求该厂生产多少件产品时.平均成本达到最小？并求出其最小平均成本和相应的边际成本.

50.

某地区防空洞的截面拟建立上半圆卜,矩形的形状.截面的面积为5m2.间底宽为多少

时才能使截面的周长最小？

51.

为倡导低碳生活.某节能产品生产厂家拟举行消费者购买产品获补贴的优惠活动.若

厂家投放A、B两种型号产品的价值分别为。、〃万元时•则消费者购买产品获得相应的补贴分

别为玲・，"ln(l+6)万元(，，，＞0且为常效).已知厂家把总价值为10万元的A、B两种型号的

产品投放到市场,且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元，参考数据：1加&1.4)

(D设投放B型产品的金额为)万元,请写出这次活动中消费者得到的总补贴函数L(.r).

并求其定义域.

(2)当,〃=■时.当投放8型产品的金额为多少万元时.消费者得到的总补贴最多.并求

出最大值.

52.

要做一个圆铢形的漏斗•其母线长20cm.要使其体积为最大，问其高应为多少？

参考答案

1.C

［答案］C

【精析】limlnJ+u)―lna=hm&C+a)=,所以0=2,故应选C.

尸-o/x--oxaL

一•a

a

2.A

［答案］A

【精析】./(.?)=lim.r(1+3/)^=jTim(1+3，)**=1+3/R)"=.re"，则

/-♦u，-»u—a

/z(.r)=e3'+3.reij.

3.B

［答案1B

【精析】随机抽取2个的事件个数为C；°.恰有一个正品的事件个数为C!C；L2.故恰有

一个正品的概率为笔曰=C!C*_16

Jo

［答案］B

【精析】由d［e［八/)］=e1d.r两边枳分得ef/(jr)=e，+C,

gp/(.r)=.十Cc'.ft!,/(0)=0代人得('=一】.

4g./(^)=c''—故应选li.

【精析】|)d_r=I/'(j-2)^2=/(.r2)+C=JZ+C.

5.A-

6.A

［答案1A

1

-T="E

【精析】+：产=1/(-力d(/+。JJ⑷d”0.

故应选A.

［答案］D

【精析】由于ln(l+.r)=V(-1)-*—.-1<.r^1,

因此ln(l+>)=£(—l)iQ,l&iWL

7.D-

8.C

［答案］c

【精析】lim-—1、/Li、>一♦满足莱布尼茨定理,所以A

项级数收敛；2白是公比q=［V1的等比级数•收敛.所以B项级数收敛；lim

〃+1

”•।

=〈,不满足级数收敛的必要条件.故C项级数发散；lim皿

3〃一13“一，uun

3号

上lim山=叁V1.由比值审敛法可知D项级数收敛.

"3"•"展

［答案］c

【精析】Td"=广的［1.rdr=2Kpdr=2k.

JJJ尸上JJoJirJi

9.c”〃十y

10.C

［答案］c

【精析】由题意可知1需满足J解得一1《①v1.故选c.

x+1>0,

[答案]B

【精析】因为lim2：=lim2・嘤：=2lim吗红=2,故选B.

j].B,~»aX•-*<i/、4"•-*i)Lx

12.C

【精析】</'(2a)d(2.r)=-y/*(2.r)+C

又因为函数f(-r)的一个原函数为sin2.r.即/(J)=(sinZa)'=2cos2],

=-y/(2.r)+C=cos4，+('.故选C.

13.C

【精析】由于(AA)T=JA-I.A，=|A|可得

R

|j'—y(AB5*=2(AB)-1—yIABI•(.AB)_|

=2(AB)-'—y|A||B|•CAB)_,

=|4<AB)T|=I-IAB|T

4*_2?i

=I.4|IHI~K

14.C

［答案：］C

【精析】由于丁=1和.y=tamr都是奇函数*所以其乘积为偶函数,故选C.

【精析】d(Insin.r)=—cosjrdx=cotrdx.故应选C.

15.Csmi

16.C

［答案］C

【精析】由极限存在性与函数值的关系可知本题选C./Q-）在.r=心存在极限是

/（“）在/="连续的必要非充分条件.

17.A

［答案］A

【精析】两边对上求导得y+-才•誓+y•兽=0,于是誓=一"^.将1=0.

y—1代人等式•得z=0♦则》|=-7"=-1♦故选A.

arI=；1

18.D

［:答案］D

【精析】令./(.»■)—.r'—.r—1.则/(1)=1—1—1———1V0,/'(2)=2'—2—1-

13>0.由零点定理可知至少存在一点SG(1,2).使/(§)=0,故应选D.

19.C

［答案］c

【精析】AB=0.则|仙|=0.即|4|］B|=0,得到|A|=0或I3|=0.故选仁

20.B

［答案］B

【精析】f(x-1)的定义域为则一1<工一1《“一1.即/(.r)的定义域

为［—1.«-1］.

21.

［答案12c2'

【精析】因为/（/）=lini=所以/(/)-2e-\

22.

—2/'(4)

［答案］-2/5)

■在1-f(^0—2AJ)/(JTo)1-/(^*022kz)f(To)、

［精析］lim--------T---------=-2ohm:------------------=—2/(/。)・

2-0&rAr-*0-/Ar

23.

［答案］1

24.

2x+—

【精析】等式J/⑺山=—-+ln.r—1两边对.r求导可得,/（丁）=（2,+］ru,-1）'

2x+-.

X

25.大

［答案］大

【精析】由极值的第二判定定理可知满足，（,。）=0,/“（工。）＜0的点*为f（z）的

极大值点.

［答案］2

心

包

【精析】=心

一

山

26.2

27.

2

【精析】由于|1心皿=limI/=lim^arctanj=恪、

J01TvT-01丁厂b04

因此”.故2玄

28.2

【精析】aXb=011=(1・1,一1),

101

(aXb)・c=(1,1,—1)•(1,1,0)=2.

29.

［答案1e-1

［精析］f-（0）=lim/（0+&r）­/（。）=］im业I。产

ALO-Ar.0-

=lim（1—△.1）［=e-1.

30.

jr2-2

［答案］/―2

1112

【精析】由于/仔+十）=公+）=（Z+十）-2,故/（幻=/一2.

【精析】

31.Y

［答案］

【精析】sirur|<L故/(sina)=1.

J乙•JL

33丫【精析】由函数的单调性可得出.

34.N

【精析】方程两边分别对X求导数，得“=d+1"•y'.整理可得》'=1-

2-y

35.N

［答案］X

【精析】y(o)=0.y(l)=1n2.由拉格朗日中值定理得存在一点as(0.1).使得

=岩=牛=m2,所以“上一1.

“z【精析】"Q=⑵=4,而(八2))'=0.

36.N

37.Y

【精析】因为才'sinu•在［一n.“］上是奇函数,所以j4siru-(Lr=0.

38.N

【精析】y=|_（=2.故抛物线在点（i,i）处的切线方程为），-1=2（］一1）.

39.N

［答案］X

［精析］lim（x/ii十1—H）=，〃十］-=lim诟‘+】而"1

L-L"LC，川+I+石

=Hm』广=4'•故鹿中所给数列是收敛的.

40丫【精析】由数列收敛的性质可得.

41.

【精析】翌=/^（2x+y）•2+/.（1,/丁）•y

=2/(2r+y)+g'.(r,ry)+yg'<_rry)»

生=/(2.r4-y)+.rg\(.r,xy).

Zy

42.

【精析】方法一(x+Dlruda-=Inxd(<')

JJ乙

=LL±12ilnx_J叱l)dU

(-<-+1)2,一小

=2卮

(J+1)2.,信+1+1严

=2lnJ

(a+1)2.r21

=---------liu,-——JC——Inz+C.

2

方法二J(1+1)liud/=zlnjdj-+liudi=-yj-lini--y/cLr+x\nx-di

2J*—巳

=^rxIn12+x\nx—x+C.

L4

43.

【精析】令工=rcosO.y=rsin。.其中。<厂《</♦04。42K,则

|"didy=11e"r2rdrd<?=Id(?|er/d?-=「(-"”也

aJaUJ0•70

〃I>

i一*.

=-T-(1-eu)do=K(1-e-J).

LJo

44.

【精析】设该线性方程组对应的系数矩阵为A.则对应的增广矩阵为

6226

-5-1-1一4

一25-5—5-20

-15-3-3一12

4£:._6

0

1622Y：7

0-5-1-11

1

T

00000

o|00o00

0000

00o0

r（B）=r（A）=2V4•所以方程组有无穷多解.

同解方程组为J其中4,①$为自由未知量♦令上、3=41♦

411

心==一=13一三-、门，

o55

・其中M•七为任意常数.

45.

口产I2

【精析】lim勺?=lim2”[3

it-*Ult\,1/•#-*1J2“

|2n+rr-

当3/<1,即|"<容时,原级数绝对收敛.

O

当3>>1.即|父|>4时.原级数发散.

所以此哥级数的收敛半径R=冬，

当，=士号时,岳级数化为gSrp发散'

故原扉级数的收敛域为（一室,容）.

46.

【证明】令F(i)—43).则由题意可知F5在［0.门上连续,在(。.1)内可导.且

F(O)=F(l)=0.

故由罗尔定理可知至少存在一点，6(O.D.使得F'(r)=0,即

［/(X)+.r/z(.z)］=0.

J-1

故/'(<•)=一忆

C

47.

【证明】(1)因为a/OF线性相关,所以存在不全为零的数A，k；.k.、.尾•使得

k,a-¥k：pMy+Arf=0.

假设上-0.则此时存在不全为零的数岛.使得

3a+£：夕4=0.

与a/.y线性无关矛盾.所以后£0.

此时”=一空。一餐。一餐7•即向量V可由向量组a。，线性表示；

岛岛女I

(2)由(1)得tj=一，。一餐°一3Y*

假设存在另外一组数，%，出,使得q=a)a+〃JJ+a、y・

两式相减得,0=+g)a+(a?+4)fl(a3+4)Y•

K.i3及

因为向量组a1・y线性无关.

此时必有"I+"=0,处+M=0・。3+》=0•即“1=—p-・。2=——・仆,=—3,

即向量TJ可以由向量组a/.y线性表示的方法是唯一的.

48.

【精析】设面积A=兀/，「=10cm,Ar=0.05cm.

AA.dA=dnr2=(2nr)