2020年高考真题数学（文）（理）（全国卷Ⅰ）含答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知集合A={X|X2—3X—4<0},B={-4,1,3,5},则AC1B=

A.{-4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}

2.若z=l+2i+i3,则|z|=

A.OB.lC，V2D.2

3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。以该四棱锥的高

为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底

面正方形的边长的比值为

4.设O为正方形ABCD的中心，在O,A,B,C,D中任取3点，则取到的3点共线的概率

为

-1-

5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不

同的温度条件下进行种子发芽实验，电邮实验数(却yi)(i=l,2,…，20)得到下面的散点图：

100%

80%♦♦♦♦♦♦♦♦•*

发♦♦♦♦♦

'乂60%•

牙・♦

1.40%♦

-T-

20%

0%

010203040温度/C

由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度

x的回归方程类型的是

A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+bexD.y=a+blnx

6.已知圆x?+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为

A.lB.2C.3D.4

7?

7.设函数f(x)=cos®x+—)在［一兀，兀］的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为

6

8.设alog34=2,则4~a=

9.执行右图的程序框图，则输出的口=

-2-

C^）

入/・l・S・，

|jr»w♦21[S,$/司

£100

（I束）

A.17B.19C.21D.23

10.设｛a/是等比数列，且ai+a2+a3=l,22+23+04=2,则a6+a7+a8=

A.12B.24C.30D.32

2

11.设F1，F2是双曲线C：x2l2L」1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2,则

3

△PFIF2的面积为

75

A.-B.3C.-D.2

22

12.已知A,B,C为球O的球面上的三个点，。。1为AABC的外接圆，若。Ch的面积为4兀,

AB=BC=AC=OOi,则球。的表面积为

A.64兀B.48兀C.36兀D.32兀

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

’2/y2<0

13.若x,y满足约束条件,则z=x+7y的最大值为。

14.设向量a=(l,—1),b=(m+l,2m~4),若a_Lb,则m=。

15.曲线y=lnx+x+l的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为。

n

16.数列｛a3满足an+2+(-l)an=3n-l,前16项和为540,则a.。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

-3-

某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A,B,C,D四个等级。

加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20

元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元。该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务。

甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件。厂家为决定由哪个分厂承接加

工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下:

甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD等级ABCD

频数40202020频数28173421

(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;

(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪

个分厂承接加工业务?

18.(12分)

△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知B=150。。

(1)若2=/<:,b=2后,求aABC的面积；

lJ1

⑵若sinA+j3sinC=W，求C。

19.(12分)

如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AABC是底面的内接正三角形，P为DO

上一点，ZAPC=90°o

-4-

D

(1)证明：平面PAB_L平面PAC；

(2)设DO=JI,圆锥的侧面积为阴兀，求三棱锥P—ABC的体积。

20.(12分)

已知函数f(x)=ex-a(x+2),

⑴当a=l时，讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围。

21.(12分)

已知函数f(x)=ex+ax2—Xo

⑴当a=l时，讨论f(x)的单调性；

(2)当xNO时，f(x)》Lx3+l,求a的取值范围。

2

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题

计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

在直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为。为参数)。以坐标原点为极点,

-5-

X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4pcos0—16psin0+3=Oo

(1)当k=l时，Ci是什么曲线？

(2)当k=4时，求Ci与C2的公共点的直角坐标。

23.［选修4—5：不等式选讲］(10分)

已知函数f(x)=|3x+l|—2|x一

(1)画出y=f(x)的图像；

(2)求不等式f(x)>f(x+l)的解集。

-6-

答案

ID2C3C4A5D6A7C8B9C10D11B12A

13.1

14.5

15.2x-y=0

16.7

17

【答案】（1）0,4和0.28；（2）x+y+z=l.

18

【答案】（1）（2）c=j

>-1

19

【解析】⑴如图,连。o,延长CO交于点E

•・•。是正A48C外接圆的圆心

:.CO1AB

•/在圆锥中易知PO1平面/8C.

ABc平面/8C

/.PO1AB

又。O,POu平面POC

COryPO=O

/.AB1平面POC

又PCu平面POC

二AB1PC

•••ZJPC=90°

PC1AP

又•.•P445u平面以8,PAcAB=A

.•.尸。，平面E48

又；PCu平面P4C

/.平面94c±平面尸49

-7-

JO

20

【答案】（1）/（X）在（-8.0）上单调递减.在（0,+8）上单调递增；（2）（，',+8）.

21

【答案】⑴y+/=l;（2）||，0）.

22

【答案】：（1）以原点为圆心，以1为半径的圆；（2）（11）.

23

-8-

2020年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷共5页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.若z=l+i,则忆2—2z|=

A.OB.lC..x/2D.2

2.设集合A={X|X2—4W0},B={x|2x+aW0},且ACB={x|—2WxWl},则a=

A.-4B.-2C.2D.4

3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。以该四棱锥的高

为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底

面正方形的边长的比值为

-1-

V5-1耶+1

42

4.已知为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,

则p=

A.2B.3C.6D.9

5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：。C)的关系，在20个不

同的温度条件下进行种子发芽实验，电邮实验数(如yD(i=l,2,20)得到下面的散点图:

由此散点图，在10℃40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回

归方程类型的是

A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+be'D.y=a+blnx

6.函数f(x)=x4—2x3的图像在点(1,f(D)处的切线方程为

A.y=—2x—1B.y=—2x+lC.y=2x—3D.y=2x+1

7.设函数f(x)=C0S(3x+—)在［―兀，兀］的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为

8.(x+)-)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为

X

A.5B.10C.15D.20

9.已知a£(0,7i),且3cos2a—8cosa=5,则sina=

21

B.-C.-

T33

10.已知A,B,C为球O的球面上的三个点，OOi为AABC的外接圆，若。Ch的面积为4兀,

-2-

AB=BC=AC=OOi，则球O的表面积为

A.64TIB.48兀C.36兀D.32兀

1..已知。M：x2+y2—2x—2y—2=0,直线/：2x+y+2=0,P为/上的动点，过点P作。M

的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为

A.2x—y—1=0B.2x+y—1=0C.2x—y+l=0D.2x+y+l=0

12.若2a+log2a=4b+210g4b,贝！！

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2x+y-20

13.若x,y满足约束条件x-y-10,则z=x+7y的最大值。

为y+l0

14.a,b为单位向量，且|a+b|=l,贝！J|a—b|=。

15.已知F为双曲线C："2y

—-=l(tz0,b0)的右焦点，A为C的右项点，B为C上的点,

ab~

且BF垂直于x轴。若AB的斜率为3,则C的离心率为0

16.如图，在三棱锥P—ABC的平面展开图中，AC=1,AB=AD=6,ABXAC,AB±AD,

ZCAE=30°,则cos/FCB=。

-3-

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

设｛a。｝是公比不为1的等比数列，电为a2,a3的等差中项。

(1)求｛aj的公比；

(2)若ai=l,求数列｛naQ的前n项和。

18.（12分）

如图，D为圆锥的项点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=ADoZ\ABC是底

旦O。

面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=

6

(1)证明：PA_L平面PBC；

(2)求二面角B-PC-E的余弦值。

19.(12分)

甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者

与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的

两人继续比赛，直至其中人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束。

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空。设每场比赛双方获胜的概率都为L。

2

⑴求甲连胜四场的概率;

-4-

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率。

20.(12分)

己知A,B分别为椭圆E：、+,2=1(。1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AGGB

a~

=8oP为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D。

(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过定点。

21.(12分)

已知函数f(x)=ex+ax2—x„

⑴当a=l时，讨论f(x)的单调性:

(2)当x'O时，f(x)^—x3+l,求a的取值范围。

2

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题

计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

k

在直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为*(t为参数)。以坐标原点为极点，

y=sint

x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4pcos0-16psin0+3=Oo

(1)当k=l时，Ci是什么曲线？

(2)当k=4时，求Ci与C2的公共点的直角坐标。

-5-

23.［选