2022-2023学年青海省西宁市七校高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年青海省西宁市七校高二（下）期末数学试卷（理

科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知0=2+i，则复数z=（）

A.—1+3fB.1—3iC.3+iD.3-i

2.设随机变量X〜N（2,4）,则D©x）的值等于（）

1

A.1B.2C.D.4

2

3.设随机变量f服从B（6，），则P（f=3）的值是（）

5

A.1B.1C.D—

OO1616

7T

4.j虱sinx+cos%)d%的值为()

~2

A.0B.1C.2D.4

5.函数y二%必》的单调递减区间是（）

A.(0,e-1)B.(-8,J)C.(e-1,+oo)D.(e,+oo)

6.因为a,bE.R+,a+b>2V…大前提

%+->2x-->…小前提

X\X

所以久+工N2,…结论

X

以上推理过程中的错误为（）

A.小前提B.大前提C.结论D.无错误

7.C孑+C专+C/+•••+（:需等于（）

A.990B.120C.165D.55

8.己知随机变量x和y,其中y=i2x+7,且E（y）=34,若x的概率分布如下表，则小的值

为（）

X1234

11

Pmn

412

A4B］C.iD.l

9.若回归直线的方程为y=2-1.5x，则变量K增加一个单位时()

A.y平均增加1.5个单位B.y平均增加2个单位

C.y平均减少1.5个单位D.y平均减少2个单位

10.(久C+丧产的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44,则展开式中

的常数项是()

A.第3项B.第4项C.第7项D.第8项

11.从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，事件4为“取到的两张中至少有一张

为假钞”，事件B为“取到的两张均为假钞”，则P(B|4)=()

A4B-SC4D年

12.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一球，定义数列｛即｝：

—1第71次笠摸取红；球如果%为数列｛时｝的前几项和，那么S7=3的概率为()

1,第？1次摸取白球

5

A.C为扔X(1)5B.。(|)2x(软c.A(|)2x©5D.C捐)2x(|)

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知随机变量X服从正态分布N(042)且p(—2<%<0)=0.4,贝|P(X>2)=

14.已知徒=C箔-2,则％=.

15.比(1-盍)5的展开式中常数项为.

16.曲线y=/+%一仇x上任意一点p到直线2%-y-2=0的最短距离为.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知函数/'(x)=x2-2ax+b在久=1处有极值2.

(1)求函数/0)=乂2—2ax+b在闭区间［0,3］上的最值；

(2)求曲线)y=x2-2ax+b,y-x+3所围成的图形的面积S.

18.(本小题12.0分)

某射手每次射击击中目标的概率是全且各次射击的结果互不影响.

(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；

(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次没有击中目标的概率.

19.(本小题12.0分)

在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖

券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张券中任抽2张，求：

(1)该顾客中奖的概率

(2)该顾客获得的奖品总价值我元)的概率分布列和数学期望.

20.(本小题12.0分)

某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指

数(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类

为主)

(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明这30位亲属的饮食习惯.

(2)根据以上数据完成如下2x2列联表：

主食为蔬菜主食为肉类总计

50岁以下

50岁及以上

总计

(3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关?

21.（本小题12.0分）

设函数/（%）=xekx{k丰0）.

（I）求曲线y=/O）在点（0,/（0））处的切线方程；

（H）求函数/0）的单调区间；

（皿）若函数f（x）在区间（一1,1）内单调递增，求k的取值范围.

22.（本小题12.0分）

2020年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利.某市积极探索区

域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经

济效益的双丰收，某商家统计了7个月的月广告投入久（单位：万元）与月销量y（单位：万件）的

数据如表所示：

月广告投入X/万元1234567

月销量y/万件28323545495260

（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；

（2）求y关于久的线性回归方程，并预计月广告投入大于多少万元时，月销量能突破70万件.

参考数据：£忆式々一£）（%—］）=150,£备（%-y）2=820,V1435~37.88.

£忆式须-x）（y「y）

参考公式:相关系数7=

回归直线v_a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=必『）。二

y-Dbx+a

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解:z=(1+i)-(2+0=1+3i,z=1—3i

故选：B.

化简复数直接求解，利用共轨复数可求z.

求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查正态分布的方差相关的计算，是基础题.

解题时利用正态分布的方差及其性质解题即可.

【解答】

解：••,随机变量X〜N(2,4),

•••DX=4,

11

・・.O@X)=^DX=1.

故选：A.

3.【答案】C

【解析】解：随机变量§服从B〜(6,勺，贝=3)=俏©A=..

故选：C

直接利用独立事件的概率公式求解即可.

本题考查独立事件的概率的求法，基本知识的考查.

4.【答案】C

7T7T7TJT匹

【解析】解：Pn(sinx+cosx)dx=pnsinxdx+pncosxdx=0+2cosxdx=2(smx)I=

~2~2~2

2(sin]—sinO)=2,

7T

:/2^(sinx+cosx~)dx=2,

~2

故选：c.

根据函数奇偶性在定积分中的应用，利用定积分的运算，即可求得答案.

本题考查定积分的运算，函数奇偶性在定积分中的应用，考查计算能力，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：f(x)=Inx+1,(x>0).

令f'(x)=Inx+1<0,解得0<xW

二函数y=久伉久的单调递减区间是(0,eT).

故选：A.

令f'Q)-Inx+1<0,解得即可.

本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演绎推

理的前提与结论之间有一种蕴含关系.

演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，

这要取决于前提是否真实和推理的形式是否正确，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前

提小前提和结论.

【解答】

解：a,bER+,a+b>2Vab>

这是基本不等式的形式，注意到基本不等式的使用条件，a,6都是正数，

尤+工？2是小前提，没有写出x的取值范围，

••・本题中的小前提有错误，

故选A.

7.【答案】C

［解析］解：1•1鬃+i—琥=鬣，

C2+C2+C/+…+CIQ—Cj+(C4_C3)+(Cj—C4)+…+(C：i—C；。)==165.

故选：c.

利用组合数公式的性质第+1-W=量，可得废+量+程+•­•+比0=或+(盘-戏)+(二-

废)+…+(C)-%),化简得到结果.

本题主要考查组合数公式的性质应用，利用了组合数公式的性质第+1-瑞=鬃，即啜+琮=党+1,

属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：由y=12X+7可得：EY=12EX+7

•••EY=34

34=12EX+7

9

X-

4-

9115

123即①

--X-+Xm+XH+4X2m+3n-

443-

12

112

又②

+m+H+--

4-3-

12

联立①②，求解可得根=全

故选A.

由y=12X+7可得：EY=12EX+7,从而可求EX,利用随机变量的期望公式及所有概率和为1,

联立方程，即可求得税的值

本题主要考查随机变量期望的求解，考查概率的性质，属于基础题.

9.【答案】C

【解析】解：••・回归直线的方程为y=2—1.5X，①

.•・当变量X增加一个单位，即久变为久+1时，

则y=2-1.50+1),②

由②-①可得，2-1.5(久+1)-(2-1.5%)=-1.5,

•■.y平均减少1.5个单位.

故选：C.

根据所给的回归直线方程，把自变量由X变化为X+1,表示出变化后的y的值，两个式子相减，得

到y的变化.

本题考查线性回归方程的意义，本题解题的关键是在叙述y的变化时，要注意加上平均变化的字样,

属于基础题.

10.【答案】B

【解析】解：由题意可得鬣一盘=44,即(n+8)(71—11)=0,解得71=11.

71

故(久Q+力=(xQ+白产的展开式的通项公式为〃+1=4.产#.x-4r=产铲，

令史请=0,解得r=3,••.展开式中的常数项是第四项，

故选：B.

由题意可得鬣-碎=44,求得n的值.在二项展开式的通项公式中，令x的事指数等于0,求出r的

值，即可求得常数项.

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数

的性质，属于中档题.

11.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了条件概率公式，属于基础题.

求得P(4B)和PQ4),根据条件概率公式即可求解.

【解答】

解：设事件4表示“取到的两张中至少有一张为假钞”，事件B表示“取到的两张均为假钞

则PQ48)=P(B)=m=卷，P⑷=。却&=1Z,

^20020

结合条件概率公式可得：P(B|4)=鬻="

故选D

12.【答案】B

【解析】解：第九次摸到红球的概率为|,摸到白球的概率为全

右*S7—3,贝！。2，"，9。6，。7中，

有5个1和2个-1,

所以57=3的概率为©(§2X(1)5.

故选：B.

根据独立重复试验概率计算公式求得正确答案.

本题主要考查n次独立重复试验恰好发生k次的概率公式的应用，属于基础题.

13.【答案】0.1

【解析】解：,随机变量f服从正态分布N(0,一),且P(—2<X<0)=0.4,

P(0<X<2)=0.4

P(X>2)=0.5-0.4=0.1

故答案为：0.1.

本题考查正态分布曲线的性质，随机变量§服从正态分布N(0R2),由此知曲线的对称轴为丫轴，

可得P(0WXW2)=0.4,即可得出结论.

本题考查正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，解题的关键是正确正态分布曲线的重点及曲

线所表示的意义，由曲线的对称性求出概率.

14.【答案】1或3

【解析】

【分析】

本题考查组合及组合数公式，考查计算能力，属于基础题.

由组合数的性质和方程，可得久=3久—2或x+3x-2=10,求解即可.

【解答】

解：因为C赤=仃=2,

可得久=3%—2或x+3%-2=10,

解得久=1或x=3.

故答案为1或3.

15.【答案】10

【解析】解：（1—七＞的展开式中通项公式：7.+1=禺（一七厂=（一1）『（：。+,

令一3=一1，解得r=2.

常数项=cl=10.

故答案为：10.

利用通项公式即可得出.

本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

16.【答案】亨

【解析】解：点P是曲线丫=/+久-伍刀上任意一点，

当过点P的切线和直线2%—y—2=0平行时，

点P到直线2x-y-2=0的距离最小.

直线2x-y-2=0的斜率等于2,

y=x2+x—bi久的导数为y'=2%+1-p

由2x+l—=2,即2久2一久—1=0,

解得久=一;（舍去），或第=1,

故曲线y=/+%一"%上和直线2%-y-2=0平行的切线经过的切点坐标为（1,2）,

点（1,2）到直线2x—y—2=0的距离等于与守=军，

V55

故答案为：等

由题意知，当曲线上过点P的切线和直线2x-y-2=0平行时，点P到直线—2=0的距离

最小，求出曲线对应的函数的导数,令导数值等于2,可得切点的坐标,此切点到直线2x-y-2=0

的距离即为所求.

本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的几何意义，体现了转化的数学

思想，是中档题.

17.【答案】解：(1)由己知，(x)=2x—2a

因为在x=]时有极值2,所以°

解方程组得：[二;所以/(x)=/—2x+3.

当%e[0,1]时，/'(%)<0所以/(%)单调递减

当％e[L3]时，/'(%)>0所以/(%)单调递增且f(0)=3,/(I)=2,f(3)=6

所以/(%)的最大值为6,/(%)最小值为2

X+3

(2)由，'2,2解得％=0及%=3.

从而所求图形的面积s=[(x+3)—(x2—2x+3)]dx=J；(一%之+3x)dx=1.

21

【解析】(1)因为函数/⑺=%-2ax+b在x=1处有极值2,所以所以/1A)=：一廿：°

所以f(%)=/_2%+3利用导数判断函数的单调性求函数的最值即可.

(2)求出一次函数与二次函数的交点横坐标x=0及x=3,利用积分公式求出面积s=，[(久+

3)—(%2—2x+3)]dx=—%2+3x~)dx=

函数的极值与最值问题，是基本初等函数中很主要的两个性质，运用导数作为工具是解决这类问

题的关键，正确理解定积分的几何意义合理确定积分上限下限和被积函数是解决此类问题的关键.

18.【答案】解：(1)根据题意，设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X〜B(5,|).

在5次射击中，恰有2次击中目标的概率：P(X=2)=程x(|)2x(1-|)3=会.

(2)设“第i次射击击中目标”为事件4。=1,2,3,4,5)；

“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件4,

则PQ4)=P(4遇243彳4彳5+42/4//5+444&彳/2)

11

3Xr2+X3X3

k3-3-+(如X(|)=割

【解析】(1)设X为击中目标的次数，则X〜N(5,|),由此能求出这名射手射击5次，恰有2次击中

目标的概率.

(2)这名射手射击5次，至少有3次击中目标的概率为P(X22)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5),

由此能求出结果.

本题考查相互独立事件、互斥事件的概率计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题.

19.【答案】解：(1)由题意可得：该顾客没有中奖的概率为：宇=3

C103

所以该顾客中奖的概率为p

C1033

即该顾客中奖的概率为|.

(2)根据题意可得：f的所有可能值为：0,10,20,50,60(元).

所以P(f=0)=P(6=10)=岁=|,。仔=20)=m=去，2片=50)=岁=1,

C10°C103C102C102

P(f=60)=用=生

c1013

所以f的分布列为:

010205060

12121

P

35151515

所以f的数学期望为：Ef=0x1+10x1+20x+50x+60x=16.

【解析】(1)由题意首先求出“该顾客没有中奖的概率”，再根据对立事件的概率之和为1,即可

得到“该顾客中奖的概率”.

(2)根据题意可得：f的所有可能值为：0,10,20,50,60,再根据古典概型的概率公式分别求

出其概率，进而列出f的分布列与其期望.

解决此类问题的关键是熟练掌握古典概型的定义与计算公式，以及排列组合与离散型随机变量的

分布列和期望，考查学生利用概率知识解决实际问题的能力.

20.【答案】解：(1)由茎叶图可知：30位亲属中50岁及以上的人饮食以蔬菜为主，50岁以下的人

饮食以肉类为主；

(2)2X2列联表如下所示：

主食为蔬菜主食为肉类总计

50岁以下4812

50岁及以上16218

总计201030

2

(3)由题意，知随机变量小的观测值卜=30X(4X2-16X8)=如〉6635；

12x18x20x10

故有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.

【解析】(1)由茎叶图，说明30位亲属中50岁及以上、50岁以下的饮食分布情况即可；

(2)根据茎叶图填写2x2列联表即可；

(3)由题意，求随机变量解的观测值匕并与参考值作比较，即可判断.

本题考查了茎叶图的理解与应用，列联表的应用以及独立性检验的应用，解题的关键是由公式求

出卡方的值，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题.

21.【答案】解:(IW(x)=(1+kx)ekx,f(0)=1,/(0)=0,

曲线y=/(*)在点(0J(0))处的切线方程为y=x；

(即由广。)=(1+kx)ekx=0,得x=力0),

若k>0,则当xe(―8,-》时，

f，(x)<0,函数/(%)单调递减，

当％G(一工,+8,)时，/'(%)>0，

函数f(x)单调递增，

若k<0,则当久6(-8,—3时，

f(x)>0,函数f(x)单调递增,

1

当％e(一0+8,)时，

f'(久)<0,函数/■(久)单调递减；

(皿)由(口)知，若k>0,则当且仅当一群一1,

即kW1时，函数/■(>:)(—1,1)内单调递增，

若k<0,则当且仅当—

即kN-l时，函数f(x)(—1,1)内单调递增，

综上可知，函数/(x)(-1,1)内单调递增时，

k的取值范围是[一1,0)U(0,1].

【解析】(/)欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=