八年级下学期人教版数学《19. 1. 1变量与函数》

19.1.1变量与函数

学习目标：通过探索具体问题中的数量关系和变化规律来了解常量、变量的意义；学会用含

一个变量的代数式表示另一个变量；

学习重点：了解常量与变量的意义；

学习难点：较复杂问题中常量与变量的识别。

学习过程：

一、自主学习：

问题一：汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.

映了匀速行驶的汽车所行驶的路程—随行驶时间—的变化过程.

二、合作探究：

问题二：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出

310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元.口

1、请同学们根据题意填写下表:

售出票数（张）早场150午场206晚场310X

收入y（元）

2、在以上这个过程中，变化的量是.不变化的量是.

3、试用含x的式子表示y,y=______,x的取值范围是：

这个问题反映了票房收入随售票张数的变化过程.

问题三：当圆的半径r分别是10cm,20cm,30cm时，圆的面积S分别是多少？

1、请同学们根据题意填写下表：（用含万的式子表示）

半径r10cm20cm30cm

面积S

2.在以上这个过程中，变化的量是.不变化的量是

3.试用含S的式子表示r,S=_,i"的取值范围是一这个问题反映了—随—的变化过程.

问题四：用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化.记

录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律。设矩形的长为xm,

面积为Sm2.

1、请同学们根据题意填写下表：

长x(m)4.543.53X

另一边长（m）

面积s(m2)

2、在以上这个过程中，变化的量是.不变化的量是.

3、试用含x的式子表示s.S=,x的取值范围是.一

这个问题反映了矩形的随的变化过程.

小结：以上这些问题都反映了不同事物的变化过程，其实现实生活中还有好多类似的问题，

在这些变化过程中，有些量的值是按照某种规律变化的，有些量的数值是始终不变的。

得出结论：在一个变化过程中，我们称数值室生为多的量为;在一个变化过程中，

我们称数值弹经于更的量为;

三、巩固练习：

例1、一支圆珠笔的单价为2元，设圆珠笔的数量为x支，总价为y元。则丫=；在

这个式子中，变量是,常量是。

例2、某种报纸的价格是每份0.4元，买x份报纸的总价为y元。用含x的式子表示y,y

=,常量是,变量是。

四、达标测试：

1.小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q口（元）与他买这种笔记本的本

数x之间的关系是（）

A.Q=8xB.Q=8x-50C.Q=50-8xD.Q=8x+50

2.甲、乙两地相距s千米，某人行完全程所用的时间t（时）与他的速度v（千米/时）满

足vt=S,在这个变化过程中，下列判断中错误的是（）

A.S是变量B.t是变量C.v是变量D.S是常量

3.在一个变化过程中，的量是变量，口_______________的量是常量.

4.某种报纸的价格是每份0.4元，买x份报纸的总价为y元，先填写下表，再用含x的式子表示

5.长方形相邻两边长分别为X、口丫口，面积为30口，口则用含x口的式子表示y口为y=

则这个问题中，常量；是变量.

6.写出下列问题中的关系式，并指出其中的变量和常量.

(1)用20cm的铁丝所围的长方形的长x(cm)与面积S(cm2)的关系.

(2)直角三角形中一个锐角a与另一个锐角B之间的关系.

(3)一盛满30吨水的水箱，每小时流出0.5吨水，试用流水时间t口(小时)表示水箱中

的剩水量y(吨)

(2)有人发现，在20〜25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t(C)有关，即C的值约是

t的7倍与35的差.

(3)某城市的市内电话的月收费额y(元)包括：月租费22元，拨打电话x分的计时费(按

0.1分收取).

(4)把一个长10cm,宽5cm的矩形的长减少xcm,宽不变，矩形面积y(cm2)随x的值而

变化

《达标测试》：

I、一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2米。

(1)求小球速度v随时间t变化的关系式

(2)求第2.5秒时小球的速度-

2.汽车油箱中原有油50L,如果行驶中每小时用油5L,求油箱中油量y(L)随行驶时间x

(小时)变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围

是o

3、梯形的上底长x,下底长15,高8；

(1)写出梯形的面积y与上底x的关系式

(2)当x每增加1时，y是如何变化的？

(3)当x=0时，y等于多少？此时y的意义是什么？

19.1.1变量与函数(2)

学习目标：理解函数的概念，能准确识别出函数关系中的自变量和函数，会用变化的量描述

事物，初步学会列函数解析式，会确定自变量的取值范围。

学习重点：函数的概念及确定自变量的取值范围。

学习难点：认识函数，领会函数的意义。

学习过程：

一、创设情境：

请你举出生活中含有两个变量的变化过程，说明其中的常量和变量。

二、自主学习与合作探究：

请看书72——74页内容，完成下列问题：

1、思考书中第72页的问题，归纳出变量之间的关系。

2、完成书上第73页的思考，体会图形中体现的变量和变量之间的关系。

3、归纳出函数的定义，明确函数定义中必须要满足的条件。

归纳：一般的，在一个变化过程中，如果有变量x和y,并且对于x的______,y

都有——与其对应，那么我们就说*是y是*的__。如果当x=a

时，y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

补充小结：

(1)函数的定义：

(2)必须是一个变化过程；

(3)两个变量；其中一个变量每取一个值，另一个变量有且有唯一值对它对应。

三、巩固练习：

例1：一辆汽车的油箱中现有汽油50L,如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)

随行驶里程x(单位：千米)的增加而减少，平均耗油量为0.1L/千米。

(1)写出表示y与x的函数关系式.

(2)指出自变量x的取值范围.

(3)汽车行驶200千米时，油箱中还有多少汽油？

拓展提

1、P74—75页：1,2题

2、判断下列变量之间是不是函数关系：

(1)长方形的宽一定时，其长与面积；(2)等腰三角形的底边长与面积；

(3)某人的年龄与身高；

3.写出下列函数的解析式.

(1)一个长方体盒子高3cm,底面是正方形，这个长方体的体积为y(cm3),底面边长为

x(cm),写出表示y与x的函数关系的式子.

(2)汽车加油时，加油枪的流量为10L/min.

①如果加油前，油箱里还有5L油，写出在加油过程中，油箱中的油量y(L)与加油时

间x(min)之间的函数关系；

②如果加油时，油箱是空的，写出在加油过程中，油箱中的油量y(L)与加油时间x(min)

之间的函数关系.

（3）某种活期储蓄的月利率为0.16%,存入10000元本金，按国家规定，取款时，应缴纳利

息部分的20%的利息税，求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息和y（元）与所存月数x之

间的关系式.

（4）如图，每个图中是由若干个盆花组成的图案，每条边（包括两个顶点）有n盆花，每

个图案的花盆总数是S,求S与n之间的关系式.

《达标测试》：

1、一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒后的速度经测量如下表:

时间（秒）012345678910

速度11.

00.31.32.84.97.614.118.424.228.9

（米/秒）0

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

（2）如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？

（3）当t每增加1秒时，v的变化情况相同吗？在哪1秒钟内，v的增加最大？

（4）若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/时，试估计大约还需几秒这辆小汽车

速度就将达到这个上限？

2、如图，是一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层；第二层每边两个点;

第三层每边有三个点，依此类推:

（1）填写下表:

层数123456......

该层的点数......

所有层的点数......

（2）每层点数是如何随层数的变化而变化的？所有层的总点数是如何随层数的变化而变化

的？

（3）此题中的自变量和因变量分别是什么？

（4）写出第n层所对应的点数，以及n层的六边形点阵的总点数;

（5）如果某一层的点数是96,它是第几层？

（6）有没有一层，它的点数是100?为什么？

3、下表是明明商行某商品的销售情况，该商品原价为560元，随着不同幅度的降价（单位:

元），日销量（单位：件）发生相应变化如下表:

降价（元）5101520253035

日销量（件）780810840870900930960

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？其中那个是自变量，哪个是因变量?

（2）每降价5元，日销量增加多少件？请你估计降价之前的日销量是多少？

（3）如果售价为500元时，日销量为多少？

4、如图，AA6C底边BC上的高是6厘米，当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动

时，三角形的面积发生了变化.

（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？

（2）如果三角形的底边长为x（厘米），那么三角形的面积y（厘米2）可以表示为

（3）当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积从一厘米2变化到一厘米2

19.1.2函数的图象------函数的图像及其画法

学习目标：了解函数图象的意义，会观察函数图象获取信息，根据图象初步分析函数的对应

关系和变化规律，经历画函数图象的过程，体会函数图象建立数形联系的关键是分别用点的

横、纵坐标表示自变量和对应的函数值。

学习重难点：认识函数图象的意义，会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象。

学习过程：

一、创设问题情境：

有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图来直观地反映，如心电图表示心

脏部位的生物电流与时间的关系。即使能列式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么

使函数关系更直观。

二、自主探究与合作交流：

学生看P75--P79并思考以下问题：

1、什么是函数图像？

2、如何作函数图像？具体步骤有哪些？

3、如何判定一个图像是函数图像，你判断的依据是什么？

4、有哪些方法表示函数关系？各自的优缺点是什么？

(自学检测)：

例：如图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温7如何随时间大变化而

变化，你从图中得到了哪些信息？

(1)这一天中时气温最低；

时气温最高；

(2)从时到时气温呈下降

趋势，从时到时气温呈上

升趋势，从时到时气温又呈下降趋势;

总结：

•正确理解函数图象与实际问题间的内在联系

I、函数的图象是由一系列的点组成，图象上每一点的坐标(x,y)代表了该函数关系的一对

对应值。

2、读懂横、纵坐标分别所代表的实际意义；

3、读懂两个量在变化过程中的相互关系及其变化规律。

三、巩固练习：

例1、下图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家.其中x

x/min

根据图象回答下列问题:

(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？

(2)小明在食堂吃早餐用了多少时间？

(3)食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？

(4)小明读报用了多长时间？

(5)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？

2、下列式子中，对于x每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数，请画出

这些函数的图象.

解：(1)

1、列表：(1)产x+0.5；(2)产g(尤>0).

X

y

2、描点:

3、连线。

(2)判断下列各点是否在函数y=X+0.5的图象上？①(-4,-4.5)；②(4,4.5).

1、列表：

X

y

2、描点：

3、连线。

判断下列各点是否在函数y的图象上？①(2,3);②(4,2)

x

归纳

画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线，这种画函数图象的方法称为描点法.

四、达标测试：

1.若点p在第二象限，且p点到x轴的距离为到y轴的距离为1,则p点的坐标是()

A.(—1,-\/3)B.(—V3,1)C.(Vs)—1)D.(1,—V3)

2.下列函数中，自变量取值范围选取错误的是（)

2y=____

A.y=x中，X取全体实数B.X-1中，XX。

c.丁=7^1中，z>11）.1y=7^1中，x*T

3、下列各曲线中哪些表示y是x的函数？（提示：当x=a时，x的函数y只能有一个函数值）

5.某运动员将高尔夫球击出，描绘高尔夫球击出后离原处的距离与时间的函数关系的图像

可能为（）.

6.飞机起飞后所到达的高度与时间有关，描绘这一关系的图像可能为（）.

7、假定甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间T的关系在平面直角坐标系中所示，如图,

请结合图形和数据回答问题:

(1)这是一次米赛跑；

(2)甲、乙两人中先到达终点的是

(3)乙在这次赛跑中的速度为;

(4)甲到达终点时，乙离终点还有米。

19.1.2函数的图像

一、警句：函数表示方法三，图像图表和解析，

弄清关系不可怕，自变、函数来当家。T砌

二、学习目标：

1、会根据题目中题意或图表写出函数解析式;

2、根据函数解析式解决问题。

二、课前展不：

1、函数有哪几种表示方法？

2、一辆汽车的油箱中现有汽油50L,如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行

驶里程x(单位：km)的增加而减小，平均耗油量为0.1L/km。

(1)写出表示y与x的函数关系式，指出自变量x的取值范围;

(2)汽车行驶200km时，邮箱中还有多少汽油？

四、检查预习情况

拖拉机开始工作时，邮箱中有油30L,每小时耗油5L。

(1)写出邮箱中的余油量Q(L)与工作时间t(h)之间的函数关系式；

(2)求出自变量t的取值范围；

(3)画出函数图象；

(4)根据图像回答拖拉机工作2小时后，邮箱余油是多少？若余油10L,拖拉机工作了

几小时？

五、小组讨论、合作探究:

探究

例：一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度。

t/时012345

y/米1010.0510.1010.1510.2010.25

（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一直线上？

由此你能发现水位变化有什么规律吗？

（2）由记录表推出这5小时中水位高度y（单位：米）随时间t（单位：时）

变化的函数解析式，并画出函数图像；

（3）据估计按这种上涨规律还会持续上涨2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少

米？

六、展示汇报、质疑答疑：

七、拓展延伸：

1、某种活期储蓄的月利率是0.06%,存入100元本金，则本息和y（元）随所存月数x

变化的函数解析式为,当存期为4个月的时候，本息和为元；

2、正方向边长为3,若边长增加x则面积增加y,则y随x变化的函数解析式为,

若面积增加了16,则变成增加了；

3、甲车速度为20米/秒，乙车速度为25米/秒，现甲车在乙车前面500米，设x秒后两车

之间的距离为y米，则y