2022-2023学年湖北省宜昌市统招专升本高数自考真题(含答案)

2022-2023学年湖北省宜昌市统招专升本高

数自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（20题）

1.

lim⑵T)z=

T(3H+2)Zi

A.yB.OC.yD.oo

2.

函数的反函数是y=（）

A.-ZrB..rTC.J3D.x2

3.

函数N=sin•是定义域内的（）

A.周期函数B.单调函数

C.有界函数D.无界函数

4.

设㈠:.则1/⑺S<)

A.In3B.^-In3C.21n3D.31n3

5.

下列函数在给定区间上满足罗尔中值定理的是（）

A.=—*[―1.1JB.f(上)=2+|]|，[—1,1]

X

C.f(.r)=er.[—1.11D./(.r)=11.1]

6.

设A为”阶矩阵.且IA|=3,则||A|A-|=()

A.3"B.3iC.35D.3"+z

7.

下列级数收敛的是(

，BV3h"

A.—-J<!+»)"

Tn〃

cy3

A，「十i

8.

函数1y=。'+arctaiu在区间[-1.1J上()

A.单调咸少B.单调增加

C,无最大值D.无最小值

9.

a202]

已知矩阵4=13-16的秩为2,则a=().

-4—6—20

A.3B.0C.1D.27

10.

当才-*0时，极限存在的函数/(X)=()

(sinr,

▼().1.•①尹0n•

A.J1B.Jl।

[0,1=00,x=0

•x<0,

(.z,2+2./(0.2十1

cJD..

[2。x>01+J,*>0

11.

2100

1100

行列式)

-1225

1-11

B.3C.2D.1

12.

1•设当zf0时•函数f（x）=1-sin1与g（#=a/是等价无穷小量,则常数小〃的值

分别为)

=3B.4=丁”=3

6

1/

C.谈1I_>D.d=—•.H=4

6

13.

函数3,=丁仁在（一LD内

A.单调增加B.单调减少C.有极大值D.有极小值

14.

曲线=—H-lnd+e*）

a-

A.仅有水平渐近线B.仅有垂直渐近线

C.既有水平又有垂直渐近或D.既无水平又无垂直渐近线

15.

设c，d1,则常数a=()

A.0B.1C.-1D.e

16.

______a-+br0,

设函数/(JT)=J\Zr+1—s/2i+l

在］=0处连续.则)

4,x=0

A.a=2・〃=0B.a=­2・〃=2

C.a=0・〃=0D.a=——2・〃=0

17.

.微分方程2(_iy=y的通解为

=B.x=yeU

C.a-=CjeyD.z=Cy%”

18.

pln.rH-l)d.r=

()

A.hu+CB.rlnr+CC..r2Ilir+CD.In?.r+C

19.

曲线y=sin.r在区间(0,2灭)内的拐点是()

A.优，1)B.x=yc.Jr=nD.(it*0)

20.

设函数连续.则［dyJ/Cr.Wdi交换积分次序为

)

A.dr/(x,y)dvB/阿/(I♦y)dv

C.|d/[f(«r,y)dyD.f：4f(x^y)dy

二、填空题（10题）

「da

2|J.J'(Ina)2

ln(1+Z)d/

]im」0

221・O1-cost2.1)

若存在，且/（T）=V++2lim/(n).则limf(.jc)=

+1JT-*1I

23.

24.

设区域D=｛（1・y）|0W1，-1<,<1>,则]（.y—•»）did»=

i.1—2cosi

lim-----------------

25「叫…富

已知级数京-4=昌，则级数£两小的和等于

=1n

26."n-I

（.r-1）cos2.rd^=

27/

定积分Ge"dG=

28.

十（,,贝I]|.rf'（.r）d.r=

L为连接点A(1,O),B(O.D的线段,计算.rfc

30.J，

三、判断题(10题)

31.

妁至2=2九

d\fx

A.否B.是

若数列｛%力｝的极限存在，则｛4｝的极限必存在.

3L.2X•||1J•—

33.

COST

z+2工》0,

设函数/“)=，(a>1),则/(.r)在1=0处是连续的.

n一一,

X/V0

A.否B.是

34.

方程y—4=0的特征根为r,=1,Q=3,则其通解为*=e，+e3j.

A.否B.是

35.

sin(x+cosfcr)d.r=0.()

A.否B.是

”若当/fio时,连续函数J(X)的极限存在为a,则J(j)=a.A/

30.o匚

B.是

设/(J)=,因为/'(2)=4,所以/(2)=4'=0.

37.A.否B.是

-sin(j+cosaOd.r=0.

38.dlJ-«A.否B.是

39.

当If1时,无穷小量c-<?是］一1的低阶无穷小量.()

A.否B.是

若lim/)=2,则a=1.

40.…I〃'A.否B.是

四、计算题(5题)

4]求函数y=ln(l+.T-)的凹凸区间及拐点.

42.

(1+X2.1W0,「3

设，(I)=J求f(jr-2)d.r.

[ci.w>0.J】

43.

123〕

2/1

设齐次线性方程组Ar=0有非零解.A=，求参数/及线性方程组的通解

-132

-21-1

8

试确定幕级数金壬的收敛域并求出和函数.

设函数/（-?）=.r（1--r）'+4-jf（.r）d.r,求

45.2八

五、证明题（2题）

46.

设/（.「）在[一a上连续（“>。.为常数），证明「/（“•）&<=[[/（/）一/（—,/）]".

并计算F1匚心.

Jf1+c

当z>o时，证明：i+in（/+>JHK.

47.

六、应用题（5题）

48.

假设某企业生产的一种产品的市场需求量Q（件）与其价格外元）的关系为Q（饵=

120-8P.总成本函数为C（Q）=100+5Q.问：当。为多少时企业所获的利润最大.最大利润为

多少？

49.

求由曲线.ry=2.4>=>及，=4所围成的图形的面积,并求此图形绕丁轴旋转

所得的旋转体的体积.

50.

已知A.B两地相距200km.一只船从A地逆水（沿水流方向的反向）行驶到B地.水

速为8km/h.船在静水中的速度为vkm/h（8Vv（40）.若船每小时的燃料费与其在静水中

的速度的平方成正比•当12km/h时.每小时的燃料费为720元,为了使全程燃料费最省.

船的实际速度为多少？

由曲线y和直线.r=2,），=0围成•平面图形,试求：

（1）该平面图形的面积；

51.（2）该平面图形绕3,轴旋转一周形成的旋转体体积.

52.

生产某产品的固定成本是1万元,而可变成本与日产量（单位：吨）的立方成正比.已知

日产量是20吨时.总成本为1.004万元.问日产量为多少吨时.才能使平均成本最小？

参考答案

1.C

[答案1c

【精析】极限为X型，可利用“抓大头”的思想求极限.

OO

(21一1)2..4/一41+14

lim--——=lim--r————■--=—.

L8(3彳+2)—-89/+1,2;r+49

2.A

【精析】令y=/(J)==石"，故/(])的反函数v=行£R.

3.C

［答案1C

【精析】由于sinl<1,显然y=sin^在其定义域内是一个有界函数.故选C

4.B

［答案］B

—+x

/_____，令才+'=

【精析】/(.«•+7)〃•则

1,,J*

2

所以1皿八」)山=-^―d«=lln(i/-2)

J2J2J2U—ZZIf•

5.D

【精析】从罗尔定理的三个条件验证排除.A选项在i=()处没有定义.B选项在.r=

0处不可导，C选项/(-1)羊八1)•只有D选项三个条件都符合.故选D.

6.B

【精析】IAI=3.所以||A|A-1|=|3A-'|=3'|A-'|=3".±=3-'.

•5

7.C

［答案］C

3

【精析】因为1而注匕=3,而X二收敛，所以X二4T是收敛的•故应选二

…二J_£，厂犷I1

〃2

8.B

［答案1B

【精析】y'=e'］.当时，e“>0,「\>0.所以“>0，即函数

1TX14-X

在［-1.1］上是单调增加的.

9.C

a202］13—16］

【精析】4=13一1f-4——6—20

-4-6—20a202

T3-1613一16

—►06—624->01—14

02-3aa2-6a002--2a-6+6u

因为矩阵A的秩为2.所以2-1la==-6+6a=0.所以a=1.

10.D

【精析】D项中，lim/(x)=limJ—=1，lim/(x)=lim/、r+［)=g,故

x—O-LO~Z+1LLO+LO+\1)乙

lim/(x)=4•.故选D.

x-oL

ll.D

［答案］D

21

11

【精析】

-12

—34—1

1-1131-113

I?］

=-1•(-1)•(-I)3'3=1.

11

12.A

［答案］A

【精析】由题意可知lim匚二孚三=1.即lim匕警=li

一。ax—onajr工

fH12・/Tl—3♦

故J_1aJ_1故选A.

卜~~2［a~T*

13.A

［答案］A

【精析】t=(l—一；;2z)产+,10,因此,在(一［,］)内单调增加故

应选A.

14.C

［答案1c

L1

【精析】因为limy+ln(l4-e)=0.所以y=0为水平渐近线.

i-1r

又因为lim-+ln<l+e^)=8.所以*=0为垂直渐近线.故应选C.

,r-*0.T*

15.C

［答案］('

,T—1”,_1l,_|a

【精析】limp~--):lim(1-)=e-1Jezd.r=er

由题意e1=e"=>"=—1.

16.D

【精析】因为/(.r)在.r=0处连续,故lim/(,r)=/(O)=4.

x—0

而lim(J工+1—\/2xH-1)=0.故必有lim(aw+〃)=0・因此〃=0・

r-*Ox-*O

OX

所以lim/(i)=limlim亚必土+1)=_2a=4.即

,r-*OJT-0♦+T-\/2w

a=-2.

17.D

【精析】原式可化简为『=%(；+］).分离变量得(1+5冲=•两边同时积

分得i(l+jdy=I白di.即.v+In|y|=fnI_rl+G.整理得微分方程的通解

为r=Cy'e"

18.B

［答案1B

t精析】|(liu+1)d.r=|likrcLz"+j<Lr=x,Ina--Jdr+Jd.r=.rln.r+C.

19.D

［答案］D

【精析】y'=COSJ-.yr-----$in.r.令y'—0,得/—ir./k(O,K)内y<0,(n»2n)内

.y”>0，且.r="时…=sitiir=0♦故曲线的拐点为(?t.()).

20.A

［答案1A

【精析】先时.y积分.后对“积分.则积分区域可表示为I

-r>.则|d>［/(.r.v)dj=|/(.r.y)d.y,故选A.

21.

［答案11

,sdwdlnw1

【精析】=-(0-1)=1.

x(ln.r)(Inj)In.r

ln(1+Ddf

0ln(1+21)•2

【精析】原式=lim

*一o

22.1

23.-5/2

L答案］

【精析】等式/Q)=>+红=+21im/Q)两边取“一1时的极限得

/十1J-J

9J1

lim/(.r)=lim//'+——；­j-\+lim_2lim/(x)］•

.»-♦i/-*］\J"।I/J-*i

设则上式即为«=-y+2&•则a=一

.ii4L

24.

【精析】由题意知积分区域。=<Lr,y)|0《父<1,-lay4D,则

(y—a/)d/d.y(y-iD&rJ(T户

25.

［答案］£

2义甚

［精析】lim1-2cos”=lim_2sini2=依

x/7T\n/K\1

x7Sinpr—yj，3COS(不一可)

26.

2

T

【精析】已知1+涧+铲+产+…+/+…=不・

令I+尹+.+7工+…+《2/_丁+…="

①一②得

J-4--L4-...q----1__(-…=!+«L+A.+…

2242十(2，力？2?(2?3?十+e+…)=

即［.g=(_s,则s=(.

400O

27.

-1)sin2i—《cos2.r—C

21

【精析】|(.r—l)cos2.rd.r=J(.r—1)sin2.r----；!Isin2.zd.r

JNt2J

1

=丁(/一1)sin2.r+-卜os2x+C.

4i

【精析】|/re^dZr［fed

Ji>Jfj

=［3/=rer'-『eU

J01UJ<1

28.1=c-(e-1)=1.

29.

1—21mic

*

［答案］1-2lnr+c

应+两边求导得()

【精析】由/(t)&一r/1=-

=Jxd/(vr)=

1-IrurIru,、「1—21rLz.八

=1♦7-————。=--------+C.

XX

30.

返

2

[答案]号

【精析】由A.4两点确定的直线方程为“•+)，=1.故.y=】一才,()＜才01,

[jd.v=I1r+(—1)'dx=jd.r=g.

JLJuJ*iL

［答案］X

—d.r

d(Ini)

【精析】

dG—^^(LrG，

31.N2G

32.N

【精析】反例:取“”=sin〃,A=工，则满足数列｛”/“｝的极限存在,但｛4｝的极限并

n

不存在.

33.N

4■•八0)=4-

【精析】Vlim/(J)=limW"；

4J-。+i+22J2

[•Ja-Ja—x|.

lirn/(T)=lim----------------------=lim

LU”一工)

1-J1

=lim

2/72

/(x)在2=0处是不连续的.

34.N

【精析】通解中应含有与方程阶数相等的任意常数.故通解为3,=C,e^+Ge3\

［答案］U

【精析】由于定积分「sin(，+cQs.r)d.r是个常数.故其导数为0.

35.YJ1

【精析】V/(x)为连续函数.，lim/'Cr)=/(J-O)=a.

36.Y…。

37N【精析】/'(］)=2八/(2)=I,而(/(2))'=0.

【精析】由于定积分isin(.r+cosz)dr是个常数,故其导数为0.

38.Y

39.N

［答案］x

【精析】lim：=lim——~=-c.故当才f1时•无穷小量c-c，与.<■

1是同阶非等价无穷小.

40.N

【精析】因为lim［史士冽+“〃）=lim［（l+a）"+2l=2,所以a+1=0,即〃=-1.

H»POWIT-B

41.

【精析】函数的定义域为（-8.+8）.），'=14匚,丁=7|三马'.

JL!I1£.7J

令yr—0.可得.r=±［.当.r£（―g,—1）时，『v0.函数为凸的；当才e（—1.1）

时./>0.函数为凹的；当才e（i.+8）时./vo.函数为凸的.

且当了=-1时..y=In2；当/=1时.1y=ln2.

故函数的凸区间为（-8,—1）和（1.+z）.函数的凹区间为（一1.1）.拐点为（一1.

In2）和（1.1112）.

42.

【精析】［f（■工—2）d.r=f/（J—2）d（-r—2）=I/（r）d/=f（1+z2）d/+fel-2,d/

Ji'JiJ-iJ-iJo

43.

【精析】根据解的判定法则•有r(A)<3.

123123

r2-2n

。+ri0011

A----------

a+2rl0550

055000

23

011

00/一I

000

八01

01

当一7—1=0,即/=—1时"(4)=2V3,Av=0有非零解.此时A

000

000

力+13=0，

则与Ax=0同解的方程组为即

X2+上3=0・

lh

令才3=人则原方程组的解为X=A,k为任意常数.

44.

1

【精析】p=limlim=1.故收敛半径R=1,

M-81

71+1

当r=一】时.级数为它(一1/

.为收敛级数.

”=0〃+1

8

1

当工=】时，级数为2•为发散级数.

«=0〃+1

故原级数的收敛域为［-1,1).

3

JC

S(.r)=£=1T4--2T+—3T+—4TH-----1-〃—+—1+…

M=0»4-1

23

1(।xr〃]*+i

*+2+L----1_-----L

34M+1

—,.r#0,

n

令回（Q=£千=〕：号”1：占，=-ln（l-a）.

3a

故>-2_垢"一，).①£[一1.1)且/#0.

£〃+i

当才=0时.和为1,

ln(1~.r)£[一],])且父羊0,

即S(jr)=v

1,H=0.

45.

【精析】令「/(7)&丁=4.则等式两边从0到1积分得

J(1

f/(jr)(Lr=[x(1—jr)5dr+I、/\da,

JI)Ji>J(iZ

即A=[J(1—JT)1dx+'A♦所以A=2[x(1—/)da.

JoIJl>

令1一l=八则A=2'/(l一八d/=2(百一；")『:

故/(①)=、r(1—丁)+i.

4Z

46.

【证明】因/（.r）=:［/（./）+/（—.『）］+十匚/（」、）—/（—.r）1・

而•1•［/（I）—/（一—］是奇函数,［1/（］）+/（—］）［是偶函数・

故1£［""）一/(—j)]d;r=0,

所以|/(.r)d.r=2\—[/(.r)+/(—T)|dj-=[/(1)4/(—/)]d-r；

J-aJ<•L0

RCOS.r1「：「COST,€0S(-x)-|.「『"e1COST।cos.r

rri=[e；+下寸卜tJv

“一T1+e1+e

n72

cos^d,r=sin.r

u2°

47.

2T

【证明】令f(z)=1+ln(jr+1•jr)—/I+jr，=1,xln(\r+\/1•J:')

-+7,易知,/(.r)在[0.+oo)上连续，

则f'(H)=ln(x+、/1+/)+.①——,“=ln(x+714-x-),

A/1+X2>/1十Y

x>0时，X+v/r+7r>1./'(工