2023年广东省东莞市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2023年广东省东莞市成考专升本数学（理）

自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.

过函数）=：图像上一点。作了轴的垂线P。3为垂足,0为坐标原点恻

的面积为（）

A.lB.2C.3D,6

2.抛物线y=2px2的准线方程是（）

A.A.x=-p/2B.y=-p/2C.x=-l/8pD.y=-l/8p

3.从1,2,3,4,5中任取3个数，组成的没有重复数字的三位数共有

（）O

A.4O个B.8O个C.3O个D.6O个

4.下列函数中，在区间（0,+8）为增函数的是（）。

A.y=x-i

B.y=x2

C.y=sinx

D.y=3x

5.与直线3x-4y+12=0关于y轴对称的直线方程为（）

A.x/-4+y/3=lB,x/4+y/-3=lC.x/-4+y/-3=lD.x/4+y/3=l

6.函数＞'="'+9的值域为()。

A.RB,[3,+oo)C.[0,+oo)D.[9,+oo)

7.若lg5=m,贝ljlg2=()o

A.5mB.l-mC.2mD.m+1

8.双曲线3x2-4y2=12的焦距为()。

A.；

B.T

C.4

D.2

已知Ial=5,1bl=2,0=-5百，则。与b的夹角va,b＞等于()

(A)f(B)竽

9(C号(D)袈

10.过点(1,2)且与直线2x+y-3=0平行的直线方程为()

A.A,2x+y-5=0

B.2y-x-3=0

C.2x+y-4=0

D.2x-y=0

在8c中，若siM=+8=30。,8c=4,则48=()

(A)24(B)6Q

ll.(C)2&(D)6

8in4208in720+coWcos72。等于

(A)sin60°(B)CO960°

j2(C)cosl14°(D)8inll40

13.已知,则*4/=()

A.-3

.£

B.3

C.3

1

DJ

14.方程，=一石的图形是过原点的抛物线，且在()

A.第I象限内的部分B.第n象限内的部分c.第m象限内的部分D.第

w象限内的部分

sinl50cc»15o=()

(A)。.(B)!

/Of(D)孝

16.设函数f(x)=x2-l,则f(x+2)=()

A.x2+4x+5B.x2+4x+3C.x2+2x+5D.x2+2x+3

17.从1,2,3,4,5……9中任取两个数，使它们的和为奇数，则不同

的取法共有

A.20B.26C.36D.60

18平数）的定义域是

嬲赢睇魅&。

懒域岬赌碗

19.函数y=sin2x的最小正周期是（）

A.A.TT/2B.nC.2nD.4兀

20.已知f(x)是偶函数，且其图像与x轴有4个交点，则方程f(x)=0的所

有实根之和为()

A.4B.2C.lD.0

I.x2~F3JT—10

lim----------------=

21.r-□z-5

A.OB.-7C.3D.不存在

22.已知向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则a・(b+c)=

()

A.A.8

B.9

C.13

D.

一箱子中装有5个相同的球，分别标以号内1.2,3,4,5,从中一次任取2个

球，则这2个球的号码都大于2的概率为工

3

(A)-(B)-(0?（D）

23.2

下列曲数中，为减函数的是

24.(A)y=P(B)y=sinx(C)八一/(D)y=cosx

直线加+8y+C=0通过第一、二、三象限时，()

(A)4B<Q,BC<0(B)4B>0,BC>0

(C)4=Q,BC<0(D)C=0,AB>0

函数y=2-(y-sinx)2的最小值是)

(A)2(B)l：

(c)_J(D14

26.

27.直线x-y-3=0与x-y+3=0之间的距离为0

A"

B.

C.3A

D.6

28.如果实数n,6满足cb=100,则矿+62的最小值为()

A.A.400B.200C.1OOD.50

29.T，1L3.・21.正・13.2.-21.祝为

A.|2,-1,—AIB.|-2.1.-4|

C.12,-1.01H14.5,-41

30.()

A.A.0

B.l

r毒

C.

n1

D.

二、填空题(20题)

31.微1镰悯魁瀛迎嘉撼噩屡就二,1jW

32.函数一的定义域是________________.

33.f(u)=u-l,u=(p(x尸Igx,则f[(p(10)]=.

34.以点(2,-3)为圆心，且与直线X+y-l=0相切的圆的方程为

以桶圆(+==1的焦点为质点,而以椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程为

on

35.

校长为4的A方体ABCDA'8'CD'中，异面直线BC"与DC的跖离

36.

已知跖机变ffltg的分布列址

4-1012

J

p

3464

37.二------------

38.

函数＞=3-，+4的反函数是

例设6+&成等比数列，则a=

己知球的一个小圆的面枳为X,球心到小国所在平面的即离为五，则这个球的

40.我面枳为•

已知大球的衣面积为100”,另一小球的体积是大球体积的十.则小球的半径

41.匚

心（21）不等式124+11〉1的解集为_________.

4/・

43.

已知平面向量a=(L2),b=(—2,3),2a+3b=.

44.设离散型随机变量自的分布列如下表所示，那么自的期望等于

e1009080

p0.20.50.3

已知tana-cota=1，那么tan*a+cot2a=,tan'a—cot1a=

45.

46.已知1<x2+y2<2,x2-xy+y2的值域为.

47.直线3X+4y-12=0与X轴、Y轴分别交于A,B两点，。为坐标原

点，则aOAB的周长为.

48.

抛物线y2=6x上一点A到焦点的距离为3,则点A的坐标为

49.已知A(2,1),B(3,-9),直线I:5x+y-7=0与直线AB交于P点，点

P分所成的比为.

抛物线式=2组的准线过双曲畤_丁=］的左焦点，则…

50................................1

三、简答题(10题)

51.(本小题满分12分)

如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出肘，每天可销售100件。

现采取提高售出价，减少进货量的办法增加每天的利润，已知这种商品

每件涨价1元，其销售数量就减少1。件，问将售出价定为多少时，赚

得的利润最大？

52.

（本小题满分12分）

已知椭WI的离心率为与，且该椭例与双曲好d=1焦点相同♦求椭圆的标准

和鹿线方程.

53.（本小题满分12分）

某服装店将进价为40元一件的衬衫，按50元一件售出时，能卖出500

件，如果这种衬衫每件涨价1元，其销售量就减少10件，商店为了获

得大利润，问售价应为多少？

54.（本小题满分12分）

分别求曲线y=-3x2+2x+4上满足下列条件的点

（1）过这些点的切线与x轴平行；

⑵过这些点的切线与直线y=x平行.

55.

（本小题满分12分）

△A8c中，已知a1+c1-h1-%且logtsiM+lo&sinC=-1，面积为v5cm",求它：

近的长和三个角的度数・

56.

（本小题满分13分）

巳知函数人工)=x-26、

(I)求函数y=/(*)的单调区间.并指出它在各单调区间上是增函数还是减函数;

(2)求函数y=/(x)在区间［0,4］上的最大值和数小(ft.

57.(本小题满分13分)

从地面上A点处测山顶的仰角为«,沿A至山底直线前行«米到B点

处，又测得山顶的仰角为B，求山高.

58.

(本小题满分12分)

已知函数/(X)「一展,求(1)〃幻的单调区间；(2),工)在区间4,2］上的最小值.

(23)(本小题满分12分)

设函数/(#)=/-lx?+3.

(I)求曲线y=x4-2/+3在点(2,11)处的切线方程;

(U)求函数，工)的单调区间.

60.

(本小题满分13分)

如图,已知确B8G：三+，'=1与双曲线G：^-/=1（，>1）.

a*a

（I）设...分别是C,.G的离心率,证明eg<1；

（2）设4H是C长轴的两个端点/（颉,兀）（1与1>a）在G上,直线「4与G的

另一个交点为Q,直线产4与£的另一个交点为心证明QR平行于产轴.

四、解答题（10题）

61.

正数数列S力和彷.）满足:对任意的正整数叫％,2,成等差数列洛…成等比

数列.

（I）求证:数列｛疝｝为等差数列；

（II）若ai=l,6i=2,Q2=3,求数列｛a.｝和｛6.｝的通项公式.

62.设直角三角形的三边为a、b、c,内切圆直径为2r,外接圆直径为

2R,若a、b、c成等差数列，

求证：（I）内切圆的半径等于公差

（II）2r>a、b、2R也成等差数列。

巳知数列（。.｝,。产1.点

（|）求数列｛。.）的通“公式；

（2）函数〃M）s--—♦―♦--—（neN♦.且n>2）・来函数/（c）

八"'n>n>ae.c,!!♦«.

的•小值.

64.设函数f(x)=-xex,求：

⑴f(x)的单调区间，并判断它在各单调区间上是增函数还是减函

数；

(n)f(x)在［-2,0］上的最大值与最小值

65.

(本小题满分13分)

已知椭圆C的长轴长为4两焦点分别为Fi(-二，0),Fz(月，0)o

⑴求C的标准方程；

⑵若P为C上一点，|PFI|-|PF2|=2,求COSNF1PF2。

66.已知椭圆的短轴长是4,中心与抛物线y2=4x的顶点重合，一个焦

点与抛物线的焦点重合.求：

(I)椭圆的标准方程；

(H)椭圆的准线方程.

67.从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每

次抽取1只，用自表示抽到次品的次数.

(I)求自的分布列；

(H)求乡的期望

68.

求以曲线2/+/-4工-10=0和丁=2x-2的交点与原点的连线为渐近线,且实

轴在x轴上，实轴长为12的双曲线的方程.

69.

(本小题满分12分)

2八

S=—(4*—1).

已知数列｛an｝的前n项和

⑴求同｝的通项公式；

⑵若ak=128,求ko

70.

设函数fCrQT'+tEr1—9zTT,若/*(1)=0.

(I)求。的值；

(II)求八力的旗潮增、减区间.

五、单选题(2题)

71.日展开式中的常数项是()

A.7150B.5005C.3003D.1001

已知卜+十］展开式中各项系数的和等于512,那么n=()

(A)10(B)9

72(。8(D)7

六、单选题(1题)

上是

函数y=

73.X()o

A.奇函数,且在（0,+◎单调递增

B.偶函数,且在（0,+切单调递减

C.奇函数,且在（心，0）单调递减

D.偶函数,且在（心，0）单调递增

参考答案

1.C

2.D

3.D

该小题主要考查的知识点为排列组合。【考试指导】此题与顺序有

关，所组成的没有重复数字的三位数共有04.36。（个）,

4.B

本题考查了函数的单调性的知识点。

A、D两项在（0,+8）上为减函数，C项在（0,+oo）上不是单调函数。

5.D先将3x-4y=-12转化为截距式3x/-12-4y/42=l-x/-4+y/3=l,将x换

为-x,得:-x/-4+y/3=lTx/4+y/3=L

6.B

该小题主要考查的知识点为函数的值域.【考试指导】

因为对任意的Z都有一+9>9,即

y=6+9)代=3,则函数》=/?"+9的值

域为［3,+oo).

7.B

该小题主要考查的知识点为对数函数.

【考试指导】1g誓=1-lg5=1—ni.

k2D

8.A

本题考查了双曲线的焦距的知识点。

3xZ4y2=12可化为亍-I"】,BPa2=4,b2=3,则

=+小=&，则焦距c=2币。

9.D

10.C

11.D

12.A

13.C

z、由由.即2—41

tanla+-j=----------------=-----=3

["1-tanatanI--xl

42

14.D：•顶点在原点的抛物线，开口方向有四种，即向上、向下、向左、

向右.向右的可分为两支，-支是：尸石7.另一支为严一

由图像（如图）可知为

15.A

16.B

17.A

人鲜林:珈息.斋利为奇it只使取”为我效，另,个数为偶我则不同的取族为C：•C.=20.

18.B

19.B

20.D设f（X）=O的实根为*1/2/3/4「为值）为偶函数，，*1/2/3/4,两两

Xl+X2+X3+X4=0.

Vlim上+丫二^

L-5JT+5

当工一―5,1+5-0.不能用商的极限法则.

(x+5)•(x-2)

原式=lim=lim(x—2)

工+5

22.B

23.D

24.C

25.A

26.C

27.C

由题可知，两直线平行，故两直线的距离即为其中一条直线上一点到

另一条直线的距离.取直线x-y-3=0上一点（4,1）,点（4,1）到直线

X-y+3=0的距离为小酎

28.B

29.C

C“展•就-法T2.-1Q]

30.D

由余弦定理有一=崂缺理一空骅尹■堂,

ZAb・AC2X73X22

A=*•则sinA^sin[.].《善案为D）

006»

31.

32.{x|-2<x<-l且x齐3/2}

riog|(x+2)>0，0Vi+2&]

Jz+2>0：=>-2VH4一1,且hW一冷,

12工+3#0x^~~2

yiogj.(x+2)

，且zH一,}.

所以函数y—的定义域是{JTI-2<x<-l

2z+3

33.0

■:(p(x)=Igx(p(10)=IglO=l,f[(p(10)]=(p(i0)-l=l-l=0.

34.

(x-2)J+(y+3)2=2

35.

x12.

T5=，

36.

tn斤

极长为a的正方体ABCD-AB'C'1）'中，异面直线it与DC的距离为华&（答案为与a）

37.

3

38.

,1、，

由y=3"+4,尚(?♦即x*logj(y4)・

即函数y=3，+4的反函数是y-logi(x~4)(x>4).(答案为>=logj(j-4)(x>4))

39.±i

40.

12x

41.

、，(21)(-8,-l)U(0,+8)

42.

43.

【答案】(-4,13)

【解析】该小题主要考查的知识点为平面向量.

【考试指导】2a+3b=2(l,2)+3(-2,3)=(-4,13).

44.

答案：89解析：E(自)=100*0.2+90*0.5+80*0.3=89

.令x=cosa»3,==s<na,

则x2j2=1—cosasina=1-♦

当sin2a=5]时，1—2a=.1?一Q+/取到最小值3■.

同理：jr2+y&2,令工=声8解0=/si叩.

则x2—Ny+y2=2—2cos阴i叩=2—sin2/7,

当sin2/?=—1时，>一工〉+32取到最大值3.

46.[1/2,3]

47.

48.

49.4由直线方程的两点式可得，过A(2,1),B(3,・9)的方程为：

I-r—2y-1.llOx+y-21=0Jx=^

LABS-

3=2(5x+y-7=0\y=l7

_xi+AX2_2+A•3R14一2+34d

工■■-i+ITTF，即可一行二^一九

50.

4

【解析】该小题主要考查的知识点为圆锥曲线的性质.

【考试指导】

由题意如，》＞0.抛物线J=2馋的

准线为工=一£,双曲线=1的左焦点为

(一即(一2.0),由题意知，一2一

2

-2.p=4.

51.

利润=梢售总价-进货总价

设每件提价工元(mMO),利润为y元，则每天售出(100-10彳)件,销售总价

为(10+幻•(100-10工)元

进货总价为8(100-10*)元(OwxWlO)

依题意有:y=(10+x)•(100-lOx)-8(100-l0x)

=(2+x)(100-10x)

=-10/+80x+200

y'=-20x+80.令y'uO得x=4

所以当x=4即售出价定为14元一件时,♦得利润最大.最大利润为360元

52.

由已知可得椭圆焦点为玛(-6,0),吊(6,0),•3分

12

设椭圆的标准方程为£+氐=1(a＞6＞。)•则

"+5,,

心有解得仁…“5分

,a3

所以椭圆的标准方程为=1•……9分

桶BS的准线方程为x=±j7J5........12分

53.解设衬衫每件提高X元售出时，利润为Y元，此时卖出的件数为

500—10x件，获得收入是(50+X)(500一10x)元，则利润

Y=(50+X)(500—10x)—40(500—10x)=—f0x2+400x+5000=—10(x—

20)2+9000,所以当X=20时，利润Y取得最大值9000元，此时售价

为50+20=70元

54.

(1)设所求点为(q.，0)・

y=-6x+2=-+2*

*

由于工轴所在H线的斜率为。,则-熊+2=0.%4

1+4

因此y0=-3•(y)+2•y=J-

又点(卜号)不在x轴上,故为所求.

(2)设所求为点(痂,%),

由(1)=-6/+2.

•・・《0

由于y=N的斜率为I,则-6x0+2=1=/.

因此，。=-3卷+2.春+4耳

又点(看，¥)不在直线y=x上.故为所求.

55.

24.解因为a'+J=<K,所以

Lac/

即cos8=g,而B为△48C内角，

所以B=60°.又1叫疝认♦lo^sinC=-1所以sin4-sinC=—.

则--[CO6(4-C)-COS(4+C)]=+

所以cos(4-C)-co»l20°=-；，即cos(4-C)=0

所以4-C=900或4-C=-90。.又A+C=120。，

解得4=105。解=15。；或4=150了=105。.

因为41c=^-aArinC-l/^siivlainBftinC

=2*.号无.空.各谊=%

所以所以R=2

所以a=27tsia4=2x2xsin105°=(^6+&)(cm)

b=IRmnB=2x2x4n600=24(cm)

cx2ftsinC=2x2xsin15°=(cm)

或a=(cm)6=24(cm)c=(J6^^2)(cm)

«.二由长分别为/+&)cm2岳m、(布-A)cm,它们的对角依次为:105,600・15。.

56.

⑴/⑴=11令/(*)=0,解得"1.当—0」)./(x)<0；

当工€(1.+8)/(#)>0.

故函数人工)在(01)是减函数,在(1.+8)是增函数.

(2)当*=1时4外取得极小值.

又/(0)=0,小)=-1,<4)=0.

故函数/Tx)在区间[0,4]上的最大值为0.最小值为-I.

57.解

设山高C〃=H则RSADC中,4)=xco<a.

RtABDC中，BD=xcoifl,

的为48=仞-80.所以a=jrcota-xa卯所以x------0

cota-co0

答:山离为二一色

cota-co中

(I)函数的定义域为(0,+8).

/(z)=1-:•令/*(*)=0,得x=l.

可见,在区间(0/)上J(x)<0;在区间(I，+8)上J(x)>0.

则/(x)在区间(01)上为减函数;在区间(I.+8)上为增函数•

(2)由⑴知.当x=l时J(x)取极小值，其值为AD=1Tnl=1.

又〃/)=y-In+In2^l2)=2-ln2.

58由于1n'“<1n2<1n'♦

即;<ln2<l.则/(；)>/U)J(2)

因此y(x)在区间己.2］上的最小值是i.

(23)解：(I)](")=4/-4%

59.，(2)=24,

所求切线方程为y-11=24(*-2),BP24x-y-37=0.……6分

(口)令/(*)=0,解得

*1=-19x2=0,欠3=1・

当X变化时/(工)4工)的变化情况如下表:

X(-8,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+8)

/(«)-00-0

Xx)2Z32Z

〃口的单调增区间为(-1.0),(1,+8),单调减区间为(-8,-1),(0,

1).……12分

60.证明：(1)由已知得

又a>l,可得,所以.e隰1<1.

a

(2)被Q(A，%),&*»,%)•由・设,\

将①两边平方.化箭得

(«0+。)、：=(*!+a)

由②®分别得y：=；(M-a2),y；=-y(o2-x^),

a'a

代人④整理得

同理可得料=幺.

所以凡=今~o.所以。犬平行于,•轴.

61.

【♦考答案】(I)由胭意有，%>0.A>0,

2b.™a..a.+i™，岫1•

所以2A=4ZX+ywZ7(»^2).

即2很7+Q7.

•/b^~•Jb.-x-

所以数列14。是等笳畋列.

(n)因为小=1.仇=2,由=3&=善="1".

所以〃=屈-4■一岑.

则/5T+(川一Dd

SHI).英誓之

所以4=如严.

当"》2时,a.=-独产.

因为G=1也适合上式,所以吗

62.(1)由题意知，2R=c,所以a+b=r+r+x+y,(如图a=x+r,b=y+r)

25题答案图

XVc=x+^=>2r=a+〃-c,

设公差为4,则三边为占一4.6,A+d,则有

(b-d)S(b+d)2

得b=4d.

即三边aAc分别等于3d、4d、5d.

.,_3d+4d-5d

(II)由(1)可知，2r、a、b、2R分别为2d、3d、4d、5d,所以这是等

差数列。

63.

M(I)v(«.,2a...r«l-0I.,

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•''/(•»>>/("-1)・表”./<1»)的反小值是《

64.本小题满分13分

解：(I)f(x)=-ex-xex=-(l+x)x

令P(x)=0,解得经x=-l

当x变化时，F(x),f(x)的变化情况如下表：

X(—8,1)-1(