2020-2021学年内蒙古呼和浩特市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2020-2021学年内蒙古呼和浩特市九年级第一学期期末数学试卷

一、选择题（共10小题，共25分）

1.下列事件是必然事件的是（）

A.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

B.射击运动员射击一次，命中靶心

C.从一定高度落下的图钉，落地后钉尖朝下

D.通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰

2.把点尸（x,y）绕原点顺时针旋转270°,点P的对应点的坐标是（）

A.（j,-x）B.（-x,-y）C.（-y,尤）D.（x,y）

3.如图，PA,是的切线，A,B为切点,AC是。。的直径，NA4C=25.5°,则/

P的度数为（）

64.5°

4.函数的图象上的点尸（尤，y）一定在第（）象限.

V-X

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.半径为2的圆内接正六边形的边心距的长是（）

A.2B.1C.MD.返

6.如图，的直径CD=10c"z,AB是。。的弦，AB±CD,垂足为M,OD-0M=5：3,

7.如图，AB=5,。是AB的中点，尸是以点。为圆心，A8为直径的半圆上的一个动点（点

P与点A,8可以重合），连接PA,过P作尸MJ_AB于点设AP=无，则

5

令y=AP-AM,下列图象中，能表示y与X的函数关系的图象大致是（）

AMOB

8.已知二次函数y=（2-a）x2+（«+2）x-1,当x取互为相反数的任意两个实数值时，对

应的函数值>总相等，则关于x的一元二次方程（2-a）f+Q+2）x-1=0的两根之积

为（）

A.--B.--C.-1D.0

24

9.用一个圆心角为120°,半径为4的扇形，做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的全面积（侧

面与底面面积的和）为（）

56兀c64兀「56兀「64兀

AA.D.------------C.U.

3399

10.下列结论中：①△A8C的内切圆半径为广，ZkABC的周长为3则△ABC的面积是全厂；

②同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为段；③圆内接平行四

边形是矩形；④无论"取何值，方程（x-3）（x-2）-/=。总有两个不等的实数根.其

中正确的结论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题（共10小题，其中11-14每小题2分，15-20小题每题3分.共26分.）

11.把一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，将“两次抛掷骰子所得点数相同”记为事件A,

则P（A）=.

12.如图，四边形内接于。。，若/AOC=80°,则/ABC的度数是.

13.关于x的方程?+10x+9=0的实数根为.

14.已知二次函数yuad+bx+c的图象如图所示,则y>0时,对应的x的取值范围为

15.在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与

全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高为2处设雕像下

部高为x处则可得到方程.

16.已知（-3,%）,（-2,/），（1，为）是抛物线,=-3/-12%+加上的点，贝!|乃，

>2，丁3的大小关系是.

17.如图，已知电流在一定时间段内正常通过电子元件T的概率是《，在一定时

间段内，A,B之间电流能够正常通过的概率为

18.下列四个二次函数：①y=x2,②y=-2f,③y=/x2,®y=3x,其中抛物线开口

按从大到小的顺序排列是.

19.下列说法中正确的说法的序号是.

①367人中至少有两人是同月同日生;②某商场抽奖活动的中奖率为1%。,说明每抽1000

张奖券，一定有一张能中奖；（3）”打开电视机，正在播放《动物世界》”是随机事件；

©“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨.

20.二次函数的图象如图，对称轴为直线x=l.若关于x的一元二次方程无

7=0（r为实数）在-1〈尤＜4的范围内有解，贝"的取值范围是.

三、解答题（共7小题，共69分.解答应写出文字说明计算过程或演算步骤）

21.按要求解下列方程：

（1）3X2+6JC-4=0（配方法）；

（2）（2x-1）2=X2+6X+9（因式分解法）.

22.如图，△ABC在平面直角坐标系内顶点的坐标分别为A（-4,4）,B（-2,5）,C

(-2,1).

（1）平移△ABC,使点C移到点G（-2,-4）,画出平移后的△431G,并写出点

Ai，Bi的坐标；

（2）画出与△A2C关于原点对称的图形.

(I)求证：当机>0时，方程一定有两个不相等的实数根；

(2)已知x="是它的一个实数根，若-4"+；"=3+病，求机的值.

24.如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼

在一起,构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE，F'

D',旋转角为a.

(1)当点。'恰好落在EE边上时，求旋转角。的值；

(2)如图2,G为BC中点，且0°<a<90°,求证：GD'=£'D；

(3)小长方形CEED绕点C顺时针旋转一周的过程中，△OCZT与ACBD能否全等？

若能，直接写出旋转角。的值；若不能说明理由.

(1)求证：当c=10时，任意实数对应的函数值」F2-6a+c+272l；

4

(2)该函数图象是否可以通过函数y=42_6尤的图象平移得到，如果能，请写出变化

4

过程.

26.如图，AB是半圆。的直径，点C是半圆上不同于A,2的一动点，在弧2C上取点，

使/DBC=ZABC,DE为半圆。的切线，过点B作BFLDE于点F.

(1)求证：NDBF=2NCAD；

（2）连接OC,CD.探究：当/C4B等于多少度时，四边形COBO为菱形，并且写出

证明过程.

27.我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y（万件）与月

\+4（l<x<8,X为整数）AAXI-T,一、J

份无（月）的关系为：y=<

l-X+20（9<x<12,x为整数）‘母件产品的利润z（兀）与

（2）若月利润卬（万元）=当月销售量y（万件）义当月每件产品的利润z（元），求月

利润•（万元）与月份x（月）的关系式；

（3）当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？

参考答案

一、选择题(共10小题).

1.下列事件是必然事件的是()

A.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

B.射击运动员射击一次，命中靶心

C.从一定高度落下的图钉，落地后钉尖朝下

D.通常温度降到以下，纯净的水会结冰

解：4经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件；

夙射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件；

C、从一定高度落下的图钉，落地后钉尖朝下，是随机事件；

。、通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰，是必然事件；

故选：D.

2.把点尸(x,y)绕原点顺时针旋转270°,点尸的对应点的坐标是()

A.(y,-x)B.(-x,-y)C.(-y,x)D.(x,y)

解：如图，不妨设点尸在第一象限，作轴于E,P'尸，无轴于F.

:点P是由点尸绕。顺时针旋转270°得到，

:./POP'=90°,

VZPzFO=/PEO=9U°,

：.ZP'FO+ZPOE=90°,ZP+ZPOE=90°,

:./P=/P'OF,

在△尸OE和F中,

，ZPEO=ZOFPy

，ZP=ZP7OF，

,OP=OPy

.,.△POE四△OP'F(AAS),

OE—P'F=x,PE=OF=y,

：.P'(-y,%).

故选：C,

3.如图，PA,总是。0的切线，A,5为切点，AC是。0的直径，ZBAC=25.5°,则N

P的度数为()

A.52°B.51°C.61°D.64.5°

解：,・工。是。0的直径，尸A是。0的切线，

.\ZCAP=90°,

：.ZPAB=ZCAP-ZBAC=64.5°,

VPA,尸8是。。的切线，

：.PA=PB,

：.ZPBA=ZPAB=64.5°,

.'.ZP=180°-64.5°-64.5°=51°,

故选：B.

4.函数y=f+4的图象上的点尸（x,y）一定在第（）象限.

V-X

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解：V-x>0,

.,.x<0,

21

*.*X>0,y---->0,

7-x

/.y>0,

，点尸（x,y）一定在第二象限.

故选：B.

5.半径为2的圆内接正六边形的边心距的长是（）

A.2B.1C.MD.喙

解：边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，

而正多边形的边心距即为每个边长为2的正三角形的高，

正六多边形的边心距等于2Xsin60°=«,

故选：C.

6.如图，的直径Cr>=10c〃z,AB是。。的弦，AB±CD,垂足为M,OD-0M=5：3,

解：-：CD=1Q,

：.0D=0C=5,

"：OD：OM=5：3,

；.0M=3,

\'AB±CD,

：.AM=BM=—AB,

2

连接。4,如图，

在RtA0AM中，AM—A/QA2-0M2=V52-32—，

：.AB=2AM=S(cm).

7.如图，AB=5,。是A3的中点，尸是以点。为圆心，为直径的半圆上的一个动点（点

P与点A,8可以重合），连接PA,过P作尸MJ_AB于点设AP=无，则

5

令〉=人尸-4〃，下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

I2

解：由题意得：y=AP-AM=x-—^=--x(x-5)(0WxW5),

55

・・・〃=-［故抛物线开口向下，

5

当）=3时,y的最大值为堤（Y）=与,

25224

故选：A.

8.已知二次函数y=（2-a）x2+（a+2）x-1,当x取互为相反数的任意两个实数值时，对

应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（2-«）?+（a+2）x-1=0的两根之积

为（）

A.--B.--C.-1D.0

24

解：•..二次函数y=（2-a）f+（q+2）x-1,当x取互为相反数的任意两个实数值时，

对应的函数值y总相等，

...该函数的对称轴为直线x=-“；+2、=0,

2（2-a）

解得a=-2,

・••二次函数y=4/-1,

11

・••当y=0时，0=4%92-1,解得X]=-q,"2=5，

011

.二一兀二次方程（2-a）x+（。+2）X-1=0的两根是西=-—，X2=—,

22

，一元二次方程（2-a）?+（。+2）x-1=0的两根之积是（--）X—=-—,

224

故选：B.

9.用一个圆心角为120。，半径为4的扇形，做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的全面积（侧

面与底面面积的和）为（）

56兀。64兀「5671「64兀

AA.--------D.--------U.--------U.--------

3399

解：设圆锥的底面圆的半径为厂，

根据题意得2Tt『磔笠三£,解得r=4

1803

所以这个圆锥的全面积=TiX（A）2+120X兀x42=*

33609

故选：D.

10.下列结论中：①△ABC的内切圆半径为r,△ABC的周长为L则△ABC的面积是?r；

②同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为寺；③圆内接平行四

边形是矩形；④无论p取何值，方程（尤-3）（尤-2）-p2=0总有两个不等的实数根.其

中正确的结论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

解：①△4BC的内切圆半径为r,ZsABC的周长为L则△ABC的面积是会厂，故①正

确;

②同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为《，故②错误；

4

③圆内接平行四边形是矩形；故③正确；

④•.•方程(x-3)(%-2)-p=0,

=25-4(6-p?)=1+，＞0,

无论P取何值，总有两个不等的实数根.故④正确；

故选：B.

二、填空题(本大题共10小题，其中11-14每小题2分，15-20小题每题3分.共26分.本题

要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程。)

11.把一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，将“两次抛掷骰子所得点数相同”记为事件4

则P(A)=—.

一6一

解：利用列表法表示所有可能出现的结果如下：

次

第族、123456

11，12,13，14，15，16，1

1，22,23,24,25,26,2

31，32,33,34,35,36,3

41，42,43,44,45,46,4

51，52,53,54,55,56,5

61，62,63,64,65,66,6

共有36种等可能出现的结果，其中“两次抛掷骰子所得点数相同”的有6种，

.__6_1

•・n卜两次抛掷骰子所得点数相同—rn(A)———u，

366

故答案为：4--

6

12.如图，四边形A2CD内接于。。，若NADC=80°,则NABC的度数是100°

解：；四边形ABC。内接于O。，

/.ZABC=180°-ZADC=100°,

故答案为：100°.

13.关于x的方程¥+10元+9=0的实数根为修=-1,尤2=-9.

解：VX2+10A:+9=0,

（x+1）（x+9）=0,

贝！Jx+l=0或x+9=0,

解得劭=-1,%2=-9,

故答案为：X\=-1,X2=~9.

14.已知二次函数y=o?+法+c的图象如图所示，则y>0时，对应的无的取值范围为尤<

-1或x>2.

解：由图象可知，

当y>0时，x的取值范围是x<-1或x>2,

故答案是：x<-1或无>2.

15.在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与

全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高为2处设雕像下

部高为尤加，则可得到方程¥+2了-4=0.

解：根据题意得：—=4-

x2

整理得：x+2x-4=0,

故答案为：?+2x-4=0.

16.已知（-3,乃），（-2,y2），（1,J3）是抛物线y=-3x2-12x+m上的点，则为，

了2，丁3的大小关系是">11>丫3.

解：抛物线尸-3x2-12x+m的开口向下，对称轴是直线x=-2„=-2,当x<

-2时，y随x的增大而增大，

*.*（-3,%）,（-2,>2），（1，为）是抛物线》=-3x2-12x+加上的点，

・,•点（1,为）关于对称轴X=-2的对称点是（-5,为），

V-5<-3<-2,

・・・>2>%>为，

故答案为丁2>丁1>丁3.

17.如图，已知电流在一定时间段内正常通过电子元件T的概率是高，在一定时

间段内，A,8之间电流能够正常通过的概率为

解：根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5,

即某一个电子元件不正常工作的概率为处，

则两个元件同时不正常工作的概率为5；

4

故在一定时间段内4B之间电流能够正常通过的概率为1-

44

故答案为：4-

4

18.下列四个二次函数：①y=V,@y=-2x,③y=/x2，®y=3x2,其中抛物线开口

按从大到小的顺序排列是③①②④.

解：•••卢<|1|<|-2|<|3|,

•••抛物线开口按从大到小的顺序排列是③①②④，

故答案为：③①②④.

19.下列说法中正确的说法的序号是上XXU.

①367人中至少有两人是同月同日生;②某商场抽奖活动的中奖率为1%。,说明每抽1000

张奖券，一定有一张能中奖；③“打开电视机，正在播放《动物世界》”是随机事件；

©“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨.

解：①367人中至少有两人是同月同日生，正确；

②某商场抽奖活动的中奖率为1%。，是随机事件，不一定每抽1000张奖券，一定有一张

能中奖，故本选项错误；

③“打开电视机，正在播放《动物世界》”是随机事件，正确；

④、“明天降雨的概率是80%”表示明天降雨的可能性大，但不一定是明天有80%的时

间降雨，故本选项错误；

则说法中正确的是①③.

故答案为：①③.

20.二次函数的图象如图，对称轴为直线x=l.若关于尤的一元二次方程无2+法

-/=。(r为实数)在-l<x<4的范围内有解，则t的取值范围是-.

解：：对称轴为直线苫=-

:・b=-2,

二次函数解析式为y=x-2x.

当x=-1时，y=l+2=3；

当％=4时，>=16-2X4=8；

当尤=1时，y=l-2=-1.

u：x+bx-t=Q相当于y=x+bx与直线y=t的交点的横坐标，

・••当-1W/V8时，在-lVx<4的范围内有解.

故答案为：-1W/V8.

三、解答题(本大题共7小题，共69分.解答应写出文字说明计算过程或演算步骤)

21.按要求解下列方程：

(1)3X2+6X-4=0(配方法)；

(2)(2x-1)2=X2+6X+9(因式分解法).

解：(1)V3X2+6X-4=0.

.*.X2+2X=—,

3

配方得：?+2X+1=-|H-1,

即(％+1)2=1,

3

开方得：x+l=±叵，

3——

・,•原方程的解是：X1=-1+返1,x2=-1-返］.

33

(2)*.*(2x-1)2=f+6x+9.

・・・(2x-1)2-(x+3)2=0,

因式分解得(3x+2)(x-4)=0,

3x+2=0或x-4=0,

•—--,X2-4.

3

22.如图，AABC在平面直角坐标系内顶点的坐标分别为A(-4,4),8(-2,5),C

(-2,1).

(1)平移△ABC,使点C移到点Ci(-2,-4),画出平移后的△4B1G，并写出点

Ai，B1的坐标；

(2)画出与△ABC关于原点对称的图形.

解：（1）如图所示，△AiBiG即为所求；点4,修的坐标分别为（-4,-1）和（-2,

0)；

(I)求证：当小>0时，方程一定有两个不相等的实数根；

(2)已知x=〃是它的一个实数根，mn-4n+m=3+m2,求别的值.

【解答】(1)证明：V/?2-4ac=(-4)2-4m*(-5)

=16+20加，

Vm>0,16+20加一1定大于0,

・・・当m>0时，方程一定有两个不相等的实数根；

(2)解：•・•％=〃是它的一个实数根,

mn-4n-5=0.

mn-4几=5,

*.*mn-4n+m=3+m2,

.*.5+m=3+m2

整理得：m-m-2=0,

解得：m=2或m=-1,

Vm>0,

・•HI—2.

24.如图1所示，将一个边长为2的正方形ABC。和一个长为2、宽为1的长方形D拼

在一起,构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点。顺时针旋转至CE'F'

D',旋转角为a.

(1)当点恰好落在£月边上时，求旋转角。的值；

(2)如图2,G为8C中点，且0°＜。＜90°,求证：GD'=E'。；

(3)小长方形CEED绕点C顺时针旋转一周的过程中，△OC。'与△C3。'能否全等?

若能，直接写出旋转角a的值；若不能说明理由.

【解答】⑴解：：长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE'F'D',

:.CD'=CD=2,

在RtACED'中，CD'=2,CE=1,

:./CD'£=30°,

,JCD//EF,

.•.Za=30°；

(2)证明：：G为8C中点，

；.CG=1,

：.CG=CE,

:长方形CEO绕点C顺时针旋转至CE'F'D',

：.ZD'CE'=ZDCE=90°,CE=CE'=CG,

：.ZGCD'=/DCE，=90°+a,

在△GCZT和△£'C。中

‘CD'=CD

<NGCD'=NDCE'，

CG=CE'

:AGCD'四△£1'CD(SAS),

：.GD'=E'D-,

(3)解：能.理由如下：

:四边形ABC。为正方形,

：.CB=CD,

:CD=CD',

MBCD'与4DCD，为腰相等的两等腰三角形，

当NBC。=4DCD'时，ABC。^△Z)CD,,

当△BC。'与△OC。'为钝角三角形时，则旋转角a=360,90_=135。，

当△BC。'与为锐角三角形时，ZBCD'=ZDCD'=—ZBCD=45°

2

贝i]a=360°-——=315°,

2

即旋转角。的值为135°或315°时，△BC。'与△OCZT全等.

25.已知二次函数-6x+c+27.

4

(1)求证：当c=10时，任意实数。，对应的函数值12-6a+c+2721；

4

(2)该函数图象是否可以通过函数y==f_6尤的图象平移得到，如果能，请写出变化

4

过程.

【解答】(1)证明：当c=10时，贝!Jy=L?-6x+37=1-(尤-12),+1,

44

函数有最小值1,

.•.任意实数a,对应的函数值工2-6a+c+2721；

4

(2)解:能，

由平移的规律可知，二次函数y=^x-6x的图象向上平移c+27个单位，即可得到二次

4

函数>=工2-6x+c+27.

"4

26.如图，是半圆O的直径，点C是半圆上不同于A,8的一动点，在弧8C上取点

使/DBC=ZABC,DE为半圆O的切线，过点B作BFLDE于点F.

(1)求证：ZDBF=2ZCAD；

(2)连接OC,CD.探究：当/CAB等于多少度时，四边形C03D为菱形，并且写出

证明过程.

E

D

【解答】(1)证明：连接。。，

・・・。6为半圆。的切线，BFLDE,

：.ZODF=ZBFD=90°,

J.OD//BF,

：.ZDBF=ZODB,

•；OD=OB,

：.ZODB=ZOBD,

・.・ZDBC=ZABCf

：.ZOBD=2ZCBD,

•；