高等数学研究教案

课程教案章节名称第一章函数、极限、连续课程类型理论课■讨论课□习题课□实验课□上机课□技能课□其他□授课时间第1周周一3,4节教学进度学生考勤应到：实到：请假：旷课：教学方法讲授目的要求：1,掌握函数,极限,连续的概念,2,掌握求极限的方法3,会用连续的定义求极限重点难点：重点是函数,极限,连续的概念与性质难点是求函数的极限课后作业：作业批改记录：教学后记：一、极限（一）极限基本概念1、极限的定义（1）数列极限：设SKIPIF1<0为一个数列，SKIPIF1<0为常数，若对任意SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0成立，则称SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的极限，记SKIPIF1<0或SKIPIF1<0。（2）函数当自变量趋于无穷时的极限：设SKIPIF1<0为一个函数，SKIPIF1<0为一个常数，若对任意SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0成立，称SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时以SKIPIF1<0为极限，记为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0。（3）函数当自变量趋于有限值的极限：设SKIPIF1<0为一个函数，SKIPIF1<0为一个常数，若对任意SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0成立，称SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时以SKIPIF1<0为极限，记为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0。（4）左右极限：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分别称SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的左右极限，SKIPIF1<0存在SKIPIF1<0SKIPIF1<0都存在且相等。问题：（1）若对任意的SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0是否以常数SKIPIF1<0为极限？（2）若数列SKIPIF1<0有一个子列以常数SKIPIF1<0为极限，数列SKIPIF1<0是否以常数SKIPIF1<0为极限？（3）若数列SKIPIF1<0的奇子列与偶子列都存在极限，数列SKIPIF1<0是否有极限？若其奇子列和偶子列极限存在且相等，数列SKIPIF1<0的极限是否存在？2、无穷小（1）无穷小的定义：以零为极限的函数称为无穷小。（2）无穷小的性质1）有限个无穷小之和与积还是无穷小；2）有界函数与无穷小之积还是无穷小。特殊情况，常数与无穷小之积还是无穷小；3）极限与无穷小的关系：（3）无穷小的层次关系1）定义：2）性质：设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0存在，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的充分必要条件是SKIPIF1<0。（4）当SKIPIF1<0时常见的等价无穷小：1）SKIPIF1<0；2）SKIPIF1<0；3）SKIPIF1<0。（5）无穷大1）定义：2）无穷大与无穷小的关系。问题：（1）无穷多个无穷小之和是否一定是无穷小？（2）设SKIPIF1<0都是无穷小，且SKIPIF1<0，是否一定有SKIPIF1<0？（3）有限个非无穷小之和或者积是否一定不是无穷小？举例说明。（二）极限的性质1、极限的基本性质（1）唯一性：数列或函数极限存在必是唯一的。（2）有界性1）若数列极限存在，则该数列一定有界，反之不对。2）函数极限的局部有界性：（3）保号性1）若函数的极限大于（或小于）零，则函数在该点的去心邻域内也大于（或小于）零；2）若函数是非负（或非正）的，且函数的极限存在，则极限也是非负（或非正）。（4）列与子列极限极限的关系：2、极限的存在性定理与重要极限定理1单调有界的数列必有极限。定理2夹逼定理（数列及函数）：重要极限：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0。3、极限运算性质（1）四则运算性质（2）复合函数极限运算性质注解：问题：（1）若SKIPIF1<0有界，SKIPIF1<0是否一定存在？（2）若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，是否一定有SKIPIF1<0？举例说明。（3）若SKIPIF1<0存在，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0是否存在？若SKIPIF1<0及SKIPIF1<0存在，是否一定有SKIPIF1<0存在？（4）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，是否一定有SKIPIF1<0？举例说明。二、连续与间断（一）基本概念1、函数连续的定义（1）函数在一点连续的定义及等价定义（2）函数在闭区间上连续的定义2、间断及其间断点的分类（1）第一类间断点：（2）第二类间断点。（二）闭区间上连续函数的性质1、最值定理2、有界定理3、零点定理4、介值定理（1）最值型介值定理：（2）端点型介值定理：注解：（1）初等函数在其定义域内连续；（2）函数在一点连续的充分必要条件是该点的函数值、左右极限相等。问题：（1）设SKIPIF1<0都在SKIPIF1<0处间断，则SKIPIF1<0是否一定在SKIPIF1<0处间断？（2）若函数在一点连续，函数是否在该点的邻域内也连续？举例说明。例题部分一、填空题1、SKIPIF1<0。2、设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。3、SKIPIF1<0。4、设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。5、设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。6、SKIPIF1<0。7、SKIPIF1<0。8、SKIPIF1<0。9、设SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处连续，则SKIPIF1<0。二、解答题1、判别函数SKIPIF1<0的奇偶性，并求其反函数。2、求下列极限：（1）SKIPIF1<0。（2）SKIPIF1<0。（3）SKIPIF1<0。（4）SKIPIF1<0。（5）SKIPIF1<0。（6）SKIPIF1<0。（7）SKIPIF1<0。（8）SKIPIF1<0。（9）SKIPIF1<0；（10）SKIPIF1<0。（11）SKIPIF1<0；（12）SKIPIF1<0。3、证明数列SKIPIF1<0极限存在，并求其极限。4、设SKIPIF1<0，证明数列SKIPIF1<0收敛，并求SKIPIF1<0。5、设SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0。且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0。6、求极限SKIPIF1<0。7、设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，证明：存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。章节名称第二章导数与微分课程类型理论课■讨论课□习题课□实验课□上机课□技能课□其他□授课时间第3周周一3,4节第4周周一3,4节教学进度学生考勤应到：实到：请假：旷课：教学方法讲授目的要求：1,掌握导数的基本概念,2,掌握求导数的工具重点难点：重点是导数的概念与性质难点是求导数的工具课后作业：作业批改记录：教学后记：一、导数的基本概念设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的邻域内有定义，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0存在，则称函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0可导，极限称为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的导数，记为SKIPIF1<0。注解：（1）若SKIPIF1<0存在，称此极限为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的右导数，记为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0存在，称此极限为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的左导数，记为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处可导的充分必要条件是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都存在且相等。（2）导数的等价定义SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。注解：导数的几何意义是：函数在某一点的导数即为函数所对应的曲线上的点切线的斜率。问题：（1）设SKIPIF1<0存在，问SKIPIF1<0是否存在？若存在求之，不存在举反例说明。（2）设SKIPIF1<0存在，问SKIPIF1<0是否存在？若存在证明之，若不存在举反例说明。（3）设SKIPIF1<0存在，SKIPIF1<0是否存在？说明理由。（4）设SKIPIF1<0存在，SKIPIF1<0是否存在？说明理由。（5）设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处可导，问SKIPIF1<0是否在SKIPIF1<0处连续？（6）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处可导，是否有SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的邻域内连续？（7）是否存在只有一个可导点的函数？二、求导工具（一）求导基本公式1、SKIPIF1<0（常数函数导数公式）；2、SKIPIF1<0，特殊情形SKIPIF1<0（幂函数导数公式）；3、SKIPIF1<0，特殊情形SKIPIF1<0（指数函数导数公式）；4、SKIPIF1<0，特殊情形SKIPIF1<0（对数函数导数公式）；5、（三角函数导数公式）：1）SKIPIF1<0；2）SKIPIF1<0；3）SKIPIF1<0；4）SKIPIF1<0；5）SKIPIF1<0；6）SKIPIF1<0；7）SKIPIF1<0；8）SKIPIF1<0；9）SKIPIF1<0。6、（反三角函数导数公式）：1）SKIPIF1<0；2）SKIPIF1<0；3）SKIPIF1<0；4）SKIPIF1<0。7、补充公式：1）SKIPIF1<0；2）SKIPIF1<0；3）SKIPIF1<0。（二）求导法则1、四则求导法则（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0。2、复合函数求导法则设SKIPIF1<0皆可导，则SKIPIF1<0可导，且SKIPIF1<0。3、反函数的导数设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互为可导的反函数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。注解：（1）原函数与其反函数的导数之间为倒数关系；（2）二阶导数之间没有这种关系。三、可微与微分1、可微的定义2、连续、可导与可微的关系3、一阶微分形式的不变性4、求导类型（1）显函数的导数；（2）参数方程的导数；（3）隐函数的导数；（4）变积分限的函数的导数；（5）分段函数的导数；（6）高阶导数。例题部分1、设SKIPIF1<0存在，（1）求SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0。2、设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处连续，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0。3、设对任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0处处可导。4、设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在坐标原点处相切，求SKIPIF1<0。5、设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处可导，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0。6、求下列函数的导数：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（5）设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（6）设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（7）设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0。7、（1）设SKIPIF1<0，讨论函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的连续性和可导性。（2）设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处可导，求常数SKIPIF1<0。（3）设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处可导，求SKIPIF1<0。8、（1）设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（3）设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（4）设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0。（5）设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0。章节名称第三章微分学中值定理与导数的应用课程类型理论课■讨论课□习题课□实验课□上机课□技能课□其他□授课时间第6周周一3,4节第7周周一3,4节教学进度学生考勤应到：实到：请假：旷课：教学方法讲授目的要求：1,掌握罗尔定理,拉格朗日中植定理和柯西中值定理,2,掌握函数最值的求法.3会根据函数的性质描绘函数的图像.4会求曲率.重点难点：重点是三大中值定理难点是中值定理的应用课后作业：作业批改记录：教学后记：中值定理1、（罗尔定理）设SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0内可导，SKIPIF1<0。则存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。2、（拉格朗日定理）设SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0内可导。则存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。3、（柯西定理）设设SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0内可导，SKIPIF1<0。则存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。4、（泰勒定理）设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的邻域内有直到SKIPIF1<0阶导数。则有SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0称为余项，SKIPIF1<0称为拉格朗日型余项，其中SKIPIF1<0介于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间；SKIPIF1<0称为皮亚诺型余项。注解：1、中值定理中的条件是结论成立的充分条件，而非必要条件。2、柯西中值定理中SKIPIF1<0用以保证定理结论的等式两端分母不可能为零。3、常用的马克劳林公式（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0；（7）SKIPIF1<0。4、设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的邻域内有SKIPIF1<0阶连续导数，则SKIPIF1<0二、函数的单调性与极值1、函数的单调性（1）定义：（2）函数单调性判别法：2、函数的极值（1）函数极值的定义：（2）必要条件（函数的极值点一定是函数的驻点或者不可导的点，反之不对）。（3）函数极值的判别：1）第一充分条件：2）第二充分条件：三、函数的最值1、设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值和最小值。2、实际问题最优解。3、具有唯一驻点的函数最值的讨论。注解：闭区间上连续函数的最大值和最小值不一定是其极大和极小值。四、函数的凹凸性与拐点1、曲线的凹凸及拐点的定义：2、曲线凹凸性的判别方法：五、渐近线1、铅直渐近线：若SKIPIF1<0，称SKIPIF1<0为曲线SKIPIF1<0的一条铅直渐近线；2、水平渐近线：若SKIPIF1<0，称SKIPIF1<0为曲线SKIPIF1<0的一条水平渐近线；3、斜渐近线：设SKIPIF1<0为一条直线（其中SKIPIF1<0），若SKIPIF1<0，称直线SKIPIF1<0为曲线SKIPIF1<0的一条斜渐近线。若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0为曲线SKIPIF1<0的一条斜渐近线。六、函数图象的描绘的步骤1、求函数的定义域；2、求函数的一阶导数和二阶导数，并求出函数的驻点及不可导的点、二阶导数的零点及二阶不可导的点；3、求出函数的单调区间和凹凸区间及函数的极值点和拐点；4、求函数的铅直、水平及斜渐近线；5、描图。七、弧微分、曲率与曲率半径1、弧微分（1）设曲线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（2）设曲线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（3）设曲线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。2、曲率及曲率半径（1）曲率：SKIPIF1<0；（2）曲率半径：SKIPIF1<0。例题部分一、选择题1、设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的邻域内连续，且SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0处SKIPIF1<0（）SKIPIF1<0不可导；SKIPIF1<0可导且SKIPIF1<0；SKIPIF1<0取极大值；SKIPIF1<0取极小值。2、函数SKIPIF1<0的零点个数是（）SKIPIF1<0个；SKIPIF1<0个；SKIPIF1<0个；SKIPIF1<0个数与SKIPIF1<0有关。3、设函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则（）SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极大值；SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极小值；SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的拐点；SKIPIF1<0非SKIPIF1<0极值，SKIPIF1<0非SKIPIF1<0拐点。二、解答题1、设SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0内可导，且SKIPIF1<0，证明：存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。2、设SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0内可导（SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0，证明：存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。3、设SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0内可导，证明：存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。4、设SKIPIF1<0。证明：存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。5、设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，在SKIPIF1<0内二阶可导，连接SKIPIF1<0两点的直线与曲线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，证明：存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。6、证明下列不等式：（1）设SKIPIF1<0。证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0。（2）证明：SKIPIF1<0。（3）设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0。7、（1）研究方程SKIPIF1<0的实根个数。（2）讨论方程SKIPIF1<0根的个数。章节名称第四章不定积分课程类型理论课■讨论课□习题课□实验课□上机课□技能课□其他□授课时间第8周周一3,4节第9周周一3,4节教学进度学生考勤应到：实到：请假：旷课：教学方法讲授目的要求：1,掌握不定积分的概念与性质,2,掌握换元法和分布积分法3.掌握有理函数的积分重点难点：重点是不定积分的概念与性质,换元法和分布积分法.难点是有理函数的积分课后作业：作业批改记录：教学后记：一、原函数与不定积分1、设SKIPIF1<0为两个函数，若对任意的SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的原函数。注解：（1）连续函数一定存在原函数，反之不对；（2）有第一类间断点的函数一定不存在原函数，但有第二类间断点的函数可能存在原函数，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。（3）2、不定积分—一个函数的所以原函数称为该函数的不定积分，记为SKIPIF1<0。注解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）一个可导的奇函数，其导函数及原函数皆为偶函数；（3）一个可导的偶函数，其导函数一定为奇函数，但其原函数不一定为奇函数。（4）周期函数的导数一定为周期函数，但其原函数不一定为周期函数。二、不定积分的性质1、SKIPIF1<0；2、SKIPIF1<0。三、不定积分基本公式1、SKIPIF1<0；2、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；3、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；4、（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0；（7）SKIPIF1<0；（8）SKIPIF1<0；（9）SKIPIF1<0；（10）SKIPIF1<0。5、（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0。四、积分法1、换元积分法（1）第一类换元积分法SKIPIF1<0。（2）第二类换元积分法SKIPIF1<0。2、分部积分法SKIPIF1<0。3、特殊函数的积分（1）有理函数的积分：（2）三角有理函数的积分：（3）无理函数的积分：例题部分1、求下列不定积分：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0。2、求下列不定积分：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0。3、求下列不定积分：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0。章节名称第五章定积分课程类型理论课■讨论课□习题课□实验课□上机课□技能课□其他□授课时间第10周周一3,4节第11周周一3,4节教学进度学生考勤应到：实到：请假：旷课：教学方法讲授目的要求：1,掌握定积分的概念与性质,2,掌握换元法和分布积分法3.掌握反常积分重点难点：重点是定积分的概念与性质,换元法和分布积分法.难点是反常积分课后作业：作业批改记录：教学后记：定积分的概念1、定积分的定义：设函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有界。（1）作SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0；（2）任取SKIPIF1<0，作积分和SKIPIF1<0；（3）令SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0存在，则称函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上可积，其极限称为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的定积分，记为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。注解：（1）SKIPIF1<0，反之不对。（2）定积分与区间划分无关。（3）区间上有界的函数不一定可积（举反例）（4）连续函数一定可积，反之不对。（5）若一个函数只有有限个第一类间断点，则一定可积。（6）若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上可积，则SKIPIF1<0。（7）设函数SKIPIF1<0是可积的，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。二、定积分的性质设函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0可积，则有1、SKIPIF1<0。2、SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为常数）。3、SKIPIF1<0。4、SKIPIF1<0。5、设函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上可积且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。推论1设在区间SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。推论2设函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上可积，则SKIPIF1<0。6、设函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上满足SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0。7（积分中值定理）设函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上连续，则存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。8（1）设函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。（2）设函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0不恒为零，则SKIPIF1<0。（3）设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0不恒等于SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0。9、（积分第一中值定理）设函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，且SKIPIF1<0，则存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。证明：因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上一定可取到最大和最小值，分别设为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两边在SKIPIF1<0上积分，得SKIPIF1<0。情形一：SKIPIF1<0，根据补充性质1得SKIPIF1<0，则对一切的SKIPIF1<0，原等式都成立。情形二：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，再由闭区间上连续函数的介值定理，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0。10、（柯西不等式）设SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上可积，则SKIPIF1<0。三、积分学基本理论定理1设函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。定理2（积分基本公式）设函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的一个原函数，则SKIPIF1<0。注解：（1）连续函数一定存在原函数，且其原函数具有可导性。（2）变积分限的求导可作如下推广：1）SKIPIF1<0。2）SKIPIF1<0。3）若积分限是含有SKIPIF1<0的函数，而被积表达式中除积分变量外还含有SKIPIF1<0，在求关于SKIPIF1<0的导数时，一般要先处理被积表达式中的SKIPIF1<0。如：四、积分法1、换元积分法设函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，令SKIPIF1<0可导，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。2、分部积分法设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续可导，则SKIPIF1<0。五、重要公式或结论1、三角函数在特定区间上的积分性质（1）SKIPIF1<0特例：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。（2）SKIPIF1<0，特例：SKIPIF1<0，（3）SKIPIF1<0。（4）SKIPIF1<0。2、周期函数的积分性质设SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为周期的周期函数，则有（1）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为任意实数。（2）SKIPIF1<0。3、对称区间上函数的积分性质设SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上连续，则（1）SKIPIF1<0。（2）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。（3）SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。六、广义积分1、积分区间有限被积函数无界的广义积分（1）设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，则SKIPIF1<0。（2）设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，则SKIPIF1<0。（3）设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，则SKIPIF1<0。2、积分区间无限的广义积分（1）设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，则SKIPIF1<0。（2）设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，则SKIPIF1<0。（3）设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，则SKIPIF1<0。章节名称第六章定积分的应用课程类型理论课■讨论课□习题课□实验课□上机课□技能课□其他□授课时间第12周周一3,4节第13周周一3,4节教学进度学生考勤应到：实到：请假：旷课：教学方法讲授目的要求：1,掌握定积分的元素法,2,掌握定积分在几何上的应用.3.掌握定积分在物理上的应用重点难点：重点是定积分在几何上的应用.难点是定积分在几何上的应用课后作业：作业批改记录：教学后记：（一）几何应用1、平面图形的面积（1）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。（2）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。（3）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。（4）设曲线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0绕SKIPIF1<0轴旋转一周所得旋转体表面积为SKIPIF1<0。2、空间几何体的体积（1）曲线SKIPIF1<0分别绕SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴旋转所得旋转体的体积分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。（2）设一个几何体位于平面SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间，对任意的SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0所得的截口面积为SKIPIF1<0，则几何体的体积为SKIPIF1<0。3、平面曲线的长度（1）设曲线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。（2）设曲线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。（3）设曲线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。（二）物理应用1、引力（质点与线段之间或者线段与线段之间）、压力。2、变力沿直线运动所做的功。例题部分一、求下列极限：1、SKIPIF1<0；2、SKIPIF1<0；3、SKIPIF1<0；4、SKIPIF1<0；5、设SKIPIF1<0可微，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0。二、求下列定积分：1、SKIPIF1<0；2、SKIPIF1<0；3、设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；4、求SKIPIF1<0；5、求SKIPIF1<0；6、SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为任意常数）。三、证明下列等式：1、（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；2、设SKIPIF1<0是以正数SKIPIF1<0为周期的连续函数，证明：SKIPIF1<0；3、SKIPIF1<0；4、设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上可微，且SKIPIF1<0，证明：存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。5、设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上二阶连续可导，且SKIPIF1<0，证明：存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。四、证明下列不等式：1、设SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上连续，证明：SKIPIF1<0。2、设SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上连续可导，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0。3、设SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上连续且单调增加，证明：SKIPIF1<0。4、设SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上连续可导，证明：SKIPIF1<0。5、对任意的SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0。章节名称第七章微分方程课程类型理论课■讨论课□习题课□实验课□上机课□技能课□其他□授课时间第14周周一3,4节第15周周一3,4节教学进度学生考勤应到：实到：请假：旷课：教学方法讲授目的要求：1,掌握微分方程的基本概念,2,掌握一阶微分方程及其解法3.掌握可降阶的高阶微分方程和二阶线性微分方程的解法重点难点：重点是一阶微分方程可降阶的高阶微分方程和二阶线性微分方程的解法难点是二阶线性微分方程的解法课后作业：作业批改记录：教学后记：一、微分方程的基本概念1、微分方程的定义：2、微分方程的解、特解及通解：3、微分方程的阶数：二、一阶微分方程及其解法1、可分离变量的微分方程（1）定义：（2）解法：2、齐次微分方程（1