2024年广东省惠州市龙门县中考一模数学试题（含答案解析）

2024年广东省惠州市龙门县中考一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.2024的相反数是（）

口•-七

A.-2024B.2024

2.剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中,既是轴对称图形又是中心对

称图形的是（）

A.

3.中国2023年GDP超126万亿元，同比GDP增量相当于一个中等国家经济总量，连续多

年保持世界第一货物贸易大国地位.把数据126万亿元用科学记数法表示为（）

13元

A.1.26x1()13元B.0.126xl(r元c.i26xl07nD.1.26x1014

4.下列计算正确的是（）

A.a3+3t?3=4a6B.a-a2=a3C.4-a2=D.(/)=

5.方程无2=2x的根是（）

A.x=2B.x——2C.x=0D.%=0,X2=2

6.如图，一块直角三角板和直尺拼接，其中Nl=26。，则N2的度数为（）

C.66°D.68°

7.如图，四边形Q4BC是平行四边形，在平面直角坐标系中，点A（-l,2）,OC=5,点B

的坐标是（）

A.（2,4）B.（2,-4）C.（4,2）D.（4,-2）

8.如图，在iO中，弦AB=5cm,NACB=30。，则。的半径是（）

A.5cmB.6cmC.8cmD.10cm

9.如图是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F,G为出口，其中直行

道为A3,CG,EF,且AB=CG=EF=20米；弯道为以点。为圆心的一段弧，且所对的

40

圆心角均为90。，半径为一米，甲车由A口驶入立交桥，以12m/s的速度行驶，从G口驶出

10.二次函数y=的部分图象如图所示，其对称轴为直线尤=-g,且与x

轴的一个交点坐标为（-2,0）.以下结论：①"c<0；②a+b+c=0；③6a+c>0；④若点

”（一2,yJ、点*点P（3,%）在该函数图象上，则%<%<%.其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

试卷第2页，共6页

11.因式分解：f-4=

12.设〃为正整数，若n＜小＜n+l,则九的值为.

13.一次函数＞=（攵-1）%+1中，y随x增大而减小，则左的取值范围是,

14.化学中直链烷煌的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为110时，依次用天干甲、

乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示,

则辛烷分子结构式中“厅，的个数是

HH

HHHHII

c-c-H

H—C—HH—C—C—HH-CII

H

H

HHHH

③

①②

15.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,M为对角线5。上的一点（不与点3、。重

合），连接过点M作交边。。于点N,连接A7V.若BM:BD=2:5,则

tanZDAN=

BA

CND

三、解答题

16.(1)计算:I-4sin30°

，丁①

（2）解不等式组：

x-2<4(x+l)②

17.如图，在RtZXABC中，ZA=90°.

（1）尺规作图：作线段BC的垂直平分线MN,交AC于点。，交8c于点口（不写作法，保

留作图痕迹）

⑵在(1)的条件下，ZC=30°,AB=3,求CD的长.

18.为进一步落实双减工作，丰富学生课后服务内容，某学校增设了科技项目课程，分别是：

“无人机、人工智能、动漫，编程”四种课程(依次用A,B,C,。表示)，为了解学生对这

四种课程的爱好情况，学校随机抽取若干名学生进行了问卷调查.调查问卷如下：

调查问题

在下列课科技项目中，你最喜欢的是()(单选)

A.无人机B.人工智能C.动漫D.编程

并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图：

调查结果的条形统计图调查结果的

(1)请补全条形统计图.

(2)扇形统计图中“ZF对应扇形的圆心角为_____度.

(3)估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？

(4)学校现从喜好“编程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加青少年科技创新比赛，请

用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？

19.广东百千万高质量发展工程预计到2025年将实现县域经济发展加快，乡村振兴取得新

成效.某乡村龙眼上市，先后两次共摘龙眼21吨，第一次卖出龙眼的价格为0.5万元/吨；

因龙眼大量上市，价格下跌，第二次卖出龙眼的价格为0.4万元/吨，两次龙眼共卖了9万元.

(1)求两次各摘龙眼多少吨？

(2)由于龙眼放置时间短，村民把龙眼加工成桂圆肉和龙眼干进行销售，预计还能摘20吨,

若1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万

元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于36万元,则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？

20.如图，一次函数，=米+万与反比例函数〉=：的图像相交于点人(2,3),B(n,l),

试卷第4页，共6页

（1）求一次函数及反比例函数的解析式；

⑵请直接写出关于尤的不等式kx+b>-的解集；

X

⑶点尸是无轴负半轴上一动点，连接AC、BC,当面积为12时，求点P的坐标.

21.如图，A8为。的直径，点C平分弧应），点。为弧AC上■点，AC与80相交于点

F,过C作射线CE与射线48相交于点E,且NECB=NCAB.

⑴求证：CE与（。相切；

3

（2）若AB=5,sinZECB=~,求CR的长.

22.数学活动课上，老师提出如下问题：已知正方形ABC。，E为对角线AC上一点.

【感知】（1）如图1,连接BE,DE.求证：BE=DE；

【探究】（2）如图2,尸是DE延长线上一点，FBA.BE,E尸交于点G.

①求证：ZFBG=ZFGB；

②若G为A3的中点，且AB=4,求AF的长.

【应用】（3）如图3,产是DE延长线上一点，FBLBE,所交A3于点G,BE=BF.求

证：GD=>/2DE.

ADA

G

BC

B皿

图1图2

2

23.综合探究：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-]f+6x+c(aw0)与x轴交

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图，点。在第一象限抛物线上一点，连接8C、DC,若NOCB=2/ABC,求点。的

坐标；

(3)若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点使得3,C,M,N为顶点

的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点/的坐标；若不存在，请说明

理由.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.A

【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是根据相反数的定义，只有符号不同的

两个数互为相反数，进行求解即可.

【详解】解：2024的相反数是-2024,

故选：A.

2.D

【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图

形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相

重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形

能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选D.

3.D

【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为。xlO"的形式，其中

14忖＜10,〃为整数，确定w的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的

绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，”是正数，当原数绝对值

小于1时〃是负数；由此进行求解即可得到答案.

【详解】解：126万亿126000000000000=1.26x1()14

故选D.

4.B

【分析】此题主要考查了合并同类项，幕的乘方，同底数塞的乘除法，正确掌握相关运算法

则是解题关键.直接利用合并同类项，幕的乘方，同底数幕的乘除法分别计算，进而得出答

案.

【详解】解：A、a3+3a3=4a3,错误，此选项不符合题意；

B、a-cr^a3,正确，此选项符合题意；

C、a6-a2=a6-2=a4,错误，此选项不符合题意；

答案第1页，共17页

D、(.3)2="2x3=/,错误，此选项不符合题意；

故选：B.

5.D

【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握利用因式分解法解一元二次方程是解题的关

键.

【详解】解：♦..尤2=2%,

%2-2%—0,

x(x-2)=0,

%=0或x—2=0,

解得：玉=。，—2,

故选：D.

6.A

【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质，先由对顶角相等

得到石=N1=26。，再由三角形外角的性质得到/区4^=/石+4钻石=56。，则由平行

线的性质可得Z2=ZEAF=56°.

【详解】解：・・・4=26。，

Z.ZABE=Z1=26°,

•・・/£=30。，

ZEAF=ZE+ZABE=56°f

•：ABCD,

・•・Z2=ZEAF=56°,

故选：A.

【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，根据平行四边形对边相等且平行

得到钻〃OGAB=OC=5f据此可得答案.

答案第2页，共17页

【详解】解；：四边形Q4BC是平行四边形,

AB//OC,AB=OC=5,

VA（-l,2）,

，点8的坐标是（4,2）,

故选：C.

8.A

【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，根据题目的已知条件并结合图

形添加适当的辅助线是解题的关键.

连接Q4,0B,利用圆周角定理可得NAO3=60。，从而可得,A03是等边三角形，然后利

用等边三角形的性质可得AB=AO=80=5cm,即可解答.

【详解】解：连接。4,0B,

NACB=30°,

:.ZAOB=2ZACB=60°,

OA=OB,

飞"®是等边三角形，

AB=AO=BO=5cm,

。的半径是5cm,

故选：A.

9.A

【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是关键.

根据弧长公式计算可得.

904x竺

【详解】解：弧8C的长为乃=20（米"M=CG=20米,

20+20+20

二•甲车由A口驶入立交桥，以12m/s的速度行驶，从G口驶出用时---=5（秒）.

故选：A.

答案第3页，共17页

10.c

【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的

图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键.

根据所给函数图象可得出a,b,C的正负，再结合抛物线的对称性和增减性依次对四个结

论进行判断即可.

【详解】解：由所给函数图象可知，

。>0,b>0,c<0,

所以abc<0.

故①正确.

因为抛物线的对称轴为直线x=且与x轴的一个交点坐标为(-2,0),

所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(L。)，

将其代入二次函数解析式得，

a+b+c=0.

故②正确.

因为抛物线的对称轴为直线X=-1,

所以一二=一4，

2a2

则6=a.

由函数图象可知，

当x=-3时，函数值大于零，

所以9a-3b+c>0,

贝!J6a+c>0.

故③正确.

因为抛物线开口向上，

所以抛物线上的点，离对称轴越近，其函数值越小.

131117

XH___=,

且W37

22

所以%<%<%.

故④错误.

答案第4页，共17页

故选：c.

11.(x+2)(x-2)

【详解】解：尤2_4=炉_22=3+©(7；

故答案为a+2*-a

12.2

【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据4<5<9得到2〈石<3,据此可得答案.

【详解】解：：4<5<9,

/.2<75<3,

,”为正整数，且"囱<”+1,

几=2,

故答案为：2.

13.k<I

【分析】根据已知条件“一次函数y=(k-1)x+1中y随x的增大而减小”知，k-1<0,然

后解关于左的不等式即可.

【详解】解：；一次函数丫=(左-1)尤+1中y随x的增大而减小，

：.k-1<0,

解得k<l；

故答案是：k<l.

【点睛】此题主要考查一次函数的图象与性质，解题的关键是熟知一次函数y随尤增大而减

小，k-1<0,

14.18

【分析】本题考查了图形规律探究，解题的关键是总结归纳出图形变化规律.

根据题意，得到氢原子的数目与碳原子数的规律，即可解答.

【详解】解:观察，发现规律：

甲烷：碳原子的数目x=l,氢原子的数目y=4,4=2xl+2；

乙烷：碳原子的数目尤=2,氢原子的数目>=6,6=2x2+2；

丙烷：碳原子的数目x=3,氢原子的数目>=8,8=2x3+2；

・1与x之间的关系式为y=2x+2；

答案第5页，共17页

则辛烷分子结构式中“H”的个数：2x8+2=18,

故答案为：18.

【分析】本题考查了矩形的性质与判定、相似三角形的判定及性质，解直角三角形，熟练掌

握相关判定及性质，适当添加辅助线解决问题是解题的关键.过点M作于G,延

长GM交。于"，则GHLCD,根据矩形的性质，可证.BGMsBAD,从而得出BG=g,

741?9

AG=HD=—,MG=不,^H=—9再根据AGMsdMHN可得HN=飞,进而可得DN,

最后根据正切的定义求解即可.

【详解】解：如图所示，过点M作MG_LAB于G,延长GM交CD于H,则G"_LCD,

四边形A3CD为矩形,

ZBAD=ZADC=ZAGH=90°fAD=BC=3fAB=CD=4,

二•四边形AGHD为矩形,

：.AG=DH,GH=AD=3,GM//AD,

BGMsjAD,

.BGGMBM

BM:BD=2:5,

.BGGM_BM2

"BA~AD~BD~^^

QQ0«

BG=-AB=-,MG=-AD=~,

5555

Q12

/.AG=HD=AB-BG=4--=—,

55

69

MH=GH-GM=3——=-,

55

MN.LAMf

:.ZAMN=90°,

:.ZAMG+ZHMN=90°,

NAMG+NM4G=90。，

答案第6页，共17页

:"HMN=/MAG,

ZAGM=ZMHN=90°,

/.AGMjMHN,

.AGMG

,MH~HN"

126

即：/=卡，

5

9

解得：=—,

1293

DN=HD-HN=--------=-,

5102

/.tanZDAN=-=-

AD2

故答案为：■

16.(1)3

(2)-2<x<3

【分析】(1)根据负整数指数累，零指数的定义，特殊角的三角函数值计算即可得出答案;

(2)根据解不等式的法则分别解出两个不等式，再取公共部分的解即可.

【详解】(1)解：原式=2-l+4-4xg

=2—1+4—2

=3.

(2)解：解不等式①得：x<3,

解不等式②得：x>-2,

二不等式组的解集为：-2<xW3.

【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，三角函数的化简，不等式组的解法，负整指数

幕和零指数易运算.关键是掌握运算法则，解不等式组时要先解出每个不等式，再取公共部

分即可.

17.(1)见解析

(2)2若

【分析】本题考查心规基本作图一作线段垂直平分线、解直角三角形、含30度直角三角形

答案第7页，共17页

的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法以及含30度直角三角形30。角所对的边是斜

边的一半是解答本题的关键.

（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可；

（2）根据线段垂直平分线的性质得到CF=gBC=:x6=3,根据含30度直角三角形的性

质和解三角形即可求得答案.

【详解】（1）解：如图所示：直线是BC的垂直平分线;

(2)解：在中，ZA=90°,ZC=30°,AB=3

BC=2AB=6

•••£＞尸是BC的垂直平分线,

ACF=-BC=-x6=3,NCFD=90°

22

CF

在Rt区4。中，cosZC=-

CD=--—嬴定=国=2有

cosZC

2

18.（1）见解析

⑵36

(3)约为300人

(4)：

o

【分析】（1）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中8的百分比求出调查的学生总人数,

再求出选择A课程和C课程的人数，补全条形统计图即可.

（2）用360。乘以本次调查中选择。的学生人数所占的百分比，即可得出答案.

（3）根据用样本估计总体，用1000乘以样本中选择C课程的学生人数所占的百分比，即可

得出答案.

（4）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好甲和丁同学被选到的结果数，再利用概率

答案第8页，共17页

公式可得出答案.

【详解】(1)解：调查的学生人数为84+35%=240(人),

；・选择A课程的人数为240x25%=60(人)，

选择C课程的人数为240-60-84-24=72(人).

补全条形统计图如图所示.

(2)解：扇形统计图中对应扇形的圆心角为360。、音=36。，

240

故答案为：36°.

72

(3)解：1000x—=300(人).

240

,估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为300人.

(4)解：画树状图如下：

开始

甲乙丙丁

/N/4\/N

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

共有12种等可能的结果，其中恰好甲和丁同学被选到的结果有：甲丁，丁甲，共2种，

21

；・恰好甲和丁同学被选到的概率为二=1.

126

【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读

懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键.

19.(1)第一次卖出龙眼6吨，则第二次卖出龙眼15吨

(2)至少需要把12吨龙眼加工成桂圆肉

【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用:

答案第9页，共17页

（1）设第一次卖出龙眼X吨，则第二次卖出龙眼（21-X）吨，根据两次一共卖了9万元列出

方程求解即可；

（2）设把y吨龙眼加工成桂圆肉，则把（20-y）吨龙眼加工成龙眼干，根据销售额不少于

36万元列出方程求解即可.

【详解】（1）解：设第一次卖出龙眼x吨，则第二次卖出龙眼（21-x）吨，

由题意得：0.5x+0.4（21-X）=9,

解得：x=6,

21-x=21-6=15（吨），

答：第一次卖出龙眼6吨，则第二次卖出龙眼15吨；

（2）解：设把y吨龙眼加工成桂圆肉，则把（20-y）吨龙眼加工成龙眼干，

由题意得：10x0.2y+3x0.5（20-y）>36

解得：>212,

答：至少需要把12吨龙眼加工成桂圆肉.

20.⑴反比例函数表达式为：y=~,一次函数的表达式为：y=-！x+4

尤2

（2）2<x<6或x<0

（3）（-4,0）

【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合运用，涉及到面积的计算、待定系数法

求函数表达式，利用图象法求不等式解集，综合性强，难度适中.

（1）由待定系数法即可求解；

（2）观察函数图象即可求解；

（3）由尸面积=S咏-SPHBGXPHXSA-%），即可求解.

【详解】⑴解:将4（2,3）代入双曲线y=',

m=6,

•••双曲线的解析式为y=g,

X

将点代入y=g

答案第10页，共17页

n=6,

.•.8（6,1）,

将A（2,3）,8（6,l）代入〉=辰+》，

[2k+b=3

"[6k+b=l'

L—l

解得2,

b=4

直线解析式为y=-gx+4；

（2）解：观察函数图象知，不等式丘+b>'的解集为：2Vx<6或x<0；

X

（3）解：设直线A8交无轴于点H,设点P（x,O）,

由直线AB的表达式知，点"(8,0),

3

贝！］ABP面积=SPHA-SPHB=—x/Wx(yA-yB)=-x(8-x)x(3-l)=12,

解得：x=-4,

即点尸的坐标为：(-4,0).

21.⑴见解析

【分析】（1）连接OC,根据圆周角定理和切线的判定定理以及等腰三角形的性质即可得到

结论；

（2）利用已知条件和勾股定理可以得到AC=4,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【详解】（1）证明：连接。C,

答案第11页，共17页

A

Q

“C

.\ZACB=90°f

.\ZA+ZABC=90°,

OB=OC,

..ZABC=NOCB,

而NECB=/CAB,

/ECB+/OCB=90。,

,\ZECO=90°,

..CE与。相切于点C；

3

(2)解：NECB=/CAB,sinZECB=-,

sinZBAC=—=-,

AB5

AB=5,

BC=3,

,\AC=^AB2-BC2=4，

BC=CD，

/CBF=NBAC,

ZBFC=ZACB,

,CBFsCAB,

BC:AC=CF:BC,

/.3:4=CF:3,

：.CF=-.

4

9

故CF的长为

4

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，圆周角定理，解直

角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键.

答案第12页，共17页

22.(1)证明见解析；(2)①证明见解；②屈;(3)证明见解析

【分析】(1)先判断出=ZBAE=ZDAE=45°,进而判断出一ABE1四一ADE,即可

得出结论；

(2)①先判断出NAG£>=NEBG,进而判断出/FBG=NFGB即可得出结论；

②过点歹作F”_LAB于先求出AG=8G=2,AD=4,进而求出AH=3,进而求出

FH=2,最后用勾股定理即可求出答案；

(3)在Rt^ESF中，由勾股定理得所=夜8£，由(1)知，BE=DE,由(2)知，FG=BF,

可证明,贝1GD=GE+£>E=A/^DE.

【详解】解：(1)是正方形ABCD的对角线，

AB=AD,ZBAE=ZDAE=45°,

AE=AE,

.ABE均ADE(SAS),

:.BE=DE；

(2)①,・,四边形ABC。是正方形，

・•・ZGAD=90°,

：.NAGD+NAT>G=90。，

由(1)知，ABE-ADE,

JZADG=ZEBG,

：.ZAGD+ZEBG=90°,

FB1BE,

：.NFBG+ZEBG=900,

：.ZAGD=ZFBG,

■:ZAGD=ZFGB,

：.ZFBG=ZFGB,

②如图，过点/作四_LAB于H,

答案第13页，共17页

・・•四边形ABC。为正方形，点G为A5的中点，AB=4,

：.AG=BG=2,AD=4,

由(2)①知，FG=FB,

：.GH=BH=1,

：.AH=AG+GH=3,

在RtVFHG与RtZVMG中，9：ZFGH=ZDGA,

：.tanZFGH=tanZDGA,

._AD_0

GHAG

:.FH=2GH=2,

在中，由勾股定理得&-=+=屈；

(3)FBLBE,

：.NFBEW,

在中，BE=BF,

EF=-J2BE,

由（1）知，BE=DE,

由（2）知，FG=BF,

GE=EF-FG=42BE-BF=也DE-DE，

GD=GE+DE=y/2DE.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定

理，等腰直角三角形的判定与性质，作出辅助线构造出直角三角形是解（2）的关键.

24

23.（1）^=——x2+—X+2

33

（3）、-1］或1-2,-果或（2,2）

答案第14页，共17页

【分析】(1)根据抛物线y=-(尤2+bx+c("0)与X轴交于A(T,O)、3(3,0)两点，可设

抛物线解析式为y=a(x+l)(x-3),知a=-三，代入得到完整解析式即可；

(2)作DE〃AB,交3C延长线于点E,交y轴于点尸，根据相似三角形的判定证明

蹙=段中求解，得到点。的坐

ADCF^ABCO,设+,得出数据代入

CODO

标即可;

o4

(3)根据抛物线的解析式为＞=-;尤2+：尤+2,设N(l,a),结合已知3(3,0),C(0,2),

分“以3N为对角线”、“以CN为对角线”和“以CN为对角线”三种情况讨论，根据坐标系中平

行四边形顶点的相对位置，用含。式子表示出点M的坐标，求出完整坐标即可.

【详解】(1)解：：抛物线》=一(尤2+版+«0/0)与X轴交于A(-I,o)、3(3，。)两点，

，设抛物线解析式为y=a(x+D(x—3),a=-j,

o?4

・••抛物线解析式为y=-§(%+l)(x-3),即y=-丁2+三+2；

(2)解：如图，作。石〃交3c延长线于点E,交＞轴于点尸，

2c4

'：DE//AB,ZBOC=90°,抛物线表达式为y=—+§工+2,

AZABC=ZDEC,ZDFC