山西省吕梁市2024届高三第一次模拟考试数学试题（解析版）

山西省吕梁市2024届高三第一次模拟考试数学试题

一、选择题

A{x[l<x<2}3=„<9}

1.设集合,则（)

A.A<JB=BB.AB=BC.A=BD.A&B

（答案】A

（解析I由3*<9解得x<2,

所以A=(l,2),B=(-<x>,2),所以AgB,A<JB=B>

故选：A.

2.已知复数z=二，则闫=()

1+i1

A.1B.y/2C.2D.4

K答案1A

K解析X2=匕=/。了)、=—i,|z|=J(-l)2+02=1

1+i(l+i)(l-i)II%一

故选：A

22

3.双曲线马=1(。>0,6>0)的一条渐近线方程为x+y=o,则该双曲线的离心率为

ab

()

A.V2B.百C.2D.20

（答案IA

K解析』依题意，2=1,所以该双曲线的离心率e=M±^=1+之）2=万

aa\a

故选：A.

4.宽与长的比为避二0.618的矩形叫做黄金矩形，它广泛的出现在艺术、建筑、人体

2

和自然界中，令人赏心悦目.在黄金矩形ABCD中，5。=b—1,48>8。,8中点为£,

则AB-AE的值为()

A.^/5-1B.75+1C.4D.2

（答案』D

k解析』因为在黄金矩形ABCD中，BC=4^-1,AB>BC，

81------------iC

所以0£=避二1,故AB=2,

AB2

而AE=AD+DE=AD-\—AB,

2

ABAD=Q^

(1>121

所以A5AE=AD+-AB\^ABAD+-AB=0+-x292=2.

I2J22

故选：D.

5.tan80。一百的值为（

A.6

K答案1D

tan80。—也_sin80。—也cos80。_2(sin80。x—cos80。>与

sin80°sin80°cos80°—x2sin80°cos80°

2

“tan80。—逝4sin(80°-60°)4sin20°4sin20°

则n-----------=---------------=---------------=--------

sin800sin160°sin(180°-20°)sin20°

故选：D

6.如图，“蒸茶器”外形为圆台状，上、下底面直径（内部）分别为4cm,12cm,高为8cm

（内部），上口内置一个直径为4cm,高为3cm的圆柱形空心金属器皿（厚度不计，用来

放置茶叶）.根据经验，一般水面至茶叶（圆柱下底面）下方的距离大于等于1cm时茶叶不

会外溢.用此“蒸茶器”蒸茶时为防止茶叶外溢，水的最大容积为(

380兀3047r

A.-------B.380兀C.-------D.304兀

33

(答案IC

K解析』如图，作出圆台的轴截面，设截面上部延长部分三角形的高为/?cm,

由相似三角形性质，得“一=二解得九=4,

h+86

设水到达最大容量时水面的圆面半径为7cm,

4+3+1丫

则-------=—,解得r=4,

4+86

1304兀

水的最大容量为V=3兀(8—3—1)x(4?+4x6+62)==—ml.

7.已知圆Q:(x—4)2+(y—2)2=4,点P为直线x+y+2=0上的动点，以尸。为直径的

圆与圆。相交于A3两点，则四边形PAQ5面积的最小值为()

A.2币B.4sC.2D.4

(答案》B

(解析I由题意得PBLAQ,0(4,2),

S四边形PAQg=2sPAQ=2T叫AQ|=2附=2同一4,

当PQ垂直直线x+y+2=0时，|PQL1kl」4+：2|=4加,

23

8.已知函数满足/(x+y)+/(x—y)=§〃x)/(y),/(1)=-,则下列结论不正

确的是()

A./(O)=3B.函数/(2x—1)关于直线x=g对称

C./(x)+/(o)>oD.”力的周期为3

K答案XD

K解析工解法一：

9

令x=l,y=0,则"⑴=§/⑴/⑼，解得“0)=3,A正确；

2

令x=O,则/■3)+"-y)=?(0)/(y)=24y),

所以/(》)=/(—y)，即外可是偶函数，

所以〃2x—1)=〃—2x+l)=/[2(l—力―1],所以函数—关于直线x=g对称,

B正确；

2

令丁=不贝叱(2x)+7■⑼=§r(x"O,

令/=2x,则/⑺+/(0)20,所以/(尤)+/(0”0,C正确；

令y=i,则〃x+l)+/(xT)=/(x)①，

所以/(x+2)+/(x)=/(x+l)②，

①②联立得了(x+2)=—/(x—1),

所以/(x+3)=—/(£),/(x+6)=-/(x+3)=/(x),即〃力的周期为6,D错误;

7T

解法二：构造函数/(x)=3cos§x,

3JTJT

满足〃1)=]，且〃x+y)+〃x_y)=3cos§(x+y)+3cos](x_y)

/(0)=3cos0=3,A正确;

2兀兀

/(2x-l)=3cosm(2%-1)=3cos——x——=3cos

33

因为〃2x-1)表示y=3cosq-x的图象向右平移g个单位，且y=3cosq-x的图象关于

y轴对称，

所以/(2x—1)关于直线x对称，B正确；

由余弦函数的图象和性质可知/■(x)+y(0)=3cos5x+GO,C正确;

T—__—£

“力的周期一兀，D错误;

3

故选：D.

二、选择题

9.下列说法正确的是()

A.命题“Vx>l,A<1”的否定是“玉;41,x2>r

B.“a>10”是“-<4;”的充分不必要条件

a10

C.若函数的定义域为[0,2],则函数〃2x)的定义域为[0』

D.记Aki,”％)),3a,〃龙2))(七为函数/(尤)=«图象上的任意两点，则

广+叶/(西)+〃々)

[[答案】BCD

2

K解析』对于A选项，/〈I，”的否定为，勺%>1,%>1故A错误;

对于B选项，由，<工，得伫更>0,故。>10或。<0,

a1010a

因此a>10是工的充分不必要条件，故B正确；

a10

对于C选项，/(力中，0WxW2,y(2x)中，0<2x<2,即0<x<l,故C正确;

对于D选项，〃石+"2)=k1+*2"%)+/(%2)=返+厄

、八2丫2'22

》《+值.../(士*)>/&)+/(%),故口正确.故选：BCD.

222

10.已知函数/(x)=Asin(ox+e)[A〉0,0〉0,悯<的部分图象如图所示，将函数

/(%)的图象先关于X轴对称，然后再向左平移g个单位长度后得到函数g(x)的图象，则

下列说法正确的是()

C.函数g(x)为奇函数

D.函数g(x)在区间-g，-'上单调递增

[答案》AD

(解析D根据函数/(x)=Asin(ox+e)[A>0,。〉0,网<]]的部分图象,

-4c3271571Tl.c

可行A=2,—x—=----1—,・・3=2,

4G123

57r7T71

对于A选项，结合五点法作图，可得2义——+0=—,.•.0=——,故A正确，

1223

/(x)=2sin12x—三],将函数/(X)的图象平移后得到函数g(x)的图象，

贝|]g(x)=—2sin12x+|^,

TTTT7TKTT

对于B选项，由2%-1—二—\-ku,得到g(%)的对称轴为元=---1-----，左wZ,

32122

jrjr

显然元二—二不是其对称轴，故g(—x)Wg(x—:)，故B错误，

126

对于C选项，函数g(x)显然不是奇函数，故C错误，

7T

对于D选项，—2<0,，g(x)的递增区间即y=sin(2x+?的递减区间，

令2E+工42》+'42也+」,左eZ，

232

7T7冗

解得E+—<x<fan-----,GZ,

1212

TT7兀

故g(x)的递增区间是kit+—,kn+—(左eZ),

当左=—1时，g（x）的递增区间是一五，一石，故D正确，故选：AD.

11.已知正方体ABC。—A4G。的棱长为1,点P满足”=九钻+〃4£>+z44,

%〃,7eR（P与3,D,A三点不重合），则下列说法正确的是（）

A.当2+〃+7=1时，尸5//平面CDg

B,当/=1,2=〃时，4尸_1_平面3£）£）]与

C.当彳=g,〃=/=l时，平面4DP_L平面4。。

D.当初=1,7=0时，直线P4与平面4gG2所成角的正切值的最大值为孝

K答案XABD

（解析UA,当2+〃+/=1时，即7=1—（丸+〃），

uuuuun/Uimuuiix/Uumuuir、uuuuuuuuu

可得AP-AA=4（48-胡）+〃（4。一明），则AP=XA3+〃A£>,

所以点尸在平面A3。内，如图，因为BQ/IBD,%DIIB©,

RRu面CD&i,BD<Z面CDlBl,故BD//面CD^,

21Cu面C£>4，面C£>[8],故4。//面CRB],

BD4。=。，面ABD,所以面AB。//面CR4，又P3u面

所以尸3//平面C24.故A正确；

B,当/=l,；l=〃时，AP=2AB+2AD+A41,则A户=X(AB+AD)=九4。，故点尸

在直线4。上，直线A/与直线AG共线，

如图，AG工BR,AG，。。1，BRDD[=D[,u平面,

所以AC，平面5。2与，即4P，平面8。2用，故B正确；

11-1

C,当当彳=5，〃=7=1时，AP=-AB+AD+AAl,所以〃尸二万人8，故尸为2G

的中点，

如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为2,则0（0,0,0）,A（2,0,2）,

C（0,2,0）,P（0,l,2）,

所以D0=（0,1,2）,以=（2,0,2）,DC=（0,2,0）,

r、TI-DP=y+2z=0

设平面4。尸的一个法向量为〃=（zx,y,z）,则,令z=—1，得

n-D\=2x+2z=0

”=（12-1）,

DC—2b—0

设平面a。。的一个法向量为加二（a,"c）,贝",令z=—i,得

mDA[=2x+2z=0

m=（l,0,-1）,

则解〃=l+0+l=2w0,所以平面A。。与平面4DP不垂直，故C错误；

D,当旗=1,丁=0时，则AP=XA3+〃A。，可知点P在平面ABCD内,

因为面ABCD//面A/iG，，则直线P\与面A[5]G2所成角即为直线PA,与面ABCD

所成的角，

因为A4，面ABCD，则直线尸4与面ABCD所成的角为ZA；PA,得

tanZ24PA=AA_J_

1AP-AP

iuunuuniuum

又加=1,即〃=—,则AP=XAB+—A。,

AA

，211

得AP=A,-AB2+—AD2+2ABAD=A29+—>2,

,1即；l=±1时等号成立，知|AP|的最小值为四，则tan44pA=上的

当且仅当外=出1

最大值3=交，

V22

所以直线PA,与平面AgG。所成角的正切值的最大值为巫，故D正确.

2

故选：ABD.

12.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔・蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两

切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆

22

。：^+.=1（。〉。＞0）,Fx,入分别为椭圆的左、右焦点，耳其短轴上的一

个端点到心的距离为班，点A在椭圆上，直线/:灰+⑥-/一廿二。，则（）

A.直线/与蒙日圆相切

B.椭圆C的蒙日圆方程为好+丁2=2

C.若点P是椭圆C的蒙日圆上的动点，过点P作椭圆。的两条切线。12,分别交蒙日圆

于N两点，则的长恒为4

D.记点A到直线/的距离为d,则d—耳|的最小值为2+孝

k答案1AC

k解析》当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为％=±a、y=+b,

所以点(±a,±A)在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为/+/="+廿，

又由题意可得C=J5，^Jc2+b2=A/3>结合解得a=百，b=l,

对于A选项，蒙日圆圆心到直线/的距离为d=:+"=ylcr+b2,

商+/

所以，直线/与蒙日圆相切，故A正确；

对于B选项，。的蒙日圆的方程为/+/=4,故B错误；

对于C选项，由题意可知，1[L％,所以为蒙日圆的直径，MN=4,故C正确；

对于D选项，由椭圆的定义可得，|A娟+|班|=26，

所以，d-\AF^=d+\AF^-2^,

直线/的方程为尤+gy-4=0,

点耳到直线/的距离为4=生乎，

4+4

所以，d-\AF2\=+|A7^|-2A/3>-273=^-^；

当且仅当人耳，/时，等号成立，故D错误；

故选：AC.

.（用数字作答）

5

1(1

k解析nx——I的第r+1项为＜+]=C"5fI=(-i)'G”

xI光

令5—2r=l,解得厂=2,令5—2厂=3,得厂=1，

代入通项可得（x-'）5展开式中的x和丁项分别为：iox和1—5三，

X

分别与一和-2相乘,

的展开式中9项为10后+10后=20/,故正的系数为20.

故［答案X为：20.

14.某市2018年至2022年新能源汽车年销量y（单位：百台）与年份代号x的数据如下表:

年份20182019202020212022

年份代号

01234

X

年销量y1015203035

若根据表中的数据用最小二乘法求得丁关于x的回归直线方程为y=6.5x+a，据此计算相

应于样本点（1,15）的残差为

（答案』-0.5

-0+1+2+3+4--10+15+20+30+35”

k解析I依题意,x=---------=2,y=------------z-------------:22,

代入回归直线亍=6.5x+6,解得4=9

所以回归直线为3=6.5X+9

当x=l时，夕=15.5,因此残差15—15.5=-0.5,

故K答案I为：-0.5

15.设各项均为正数的数列｛4｝的前n项和为Sn,前几项积为M“，若％=l,2anMn=

Mn+l-Mn,则$9=.

K答案H1013

II解析H由2a也"=叫+「叫，

得2aMi此

an>0,：.M“〉0

；•2。〃=an+]-1,即2(an+D=an+l+1

.-.^±i=2

4+1

.♦・｛4+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列

nn

:.an+l=2-2-'=2

：.an=T-l,S=2(1-2")_“=2"+i_2i

n1-2

1O

,-.S9=2-11=1O13.

故(答案』为：1013

16.己知分别是函数/(x)=2x+e"Jln(y+尤一1)和g(x)=x图象上的动点，若对

任意的爪>0,都有|4邳2。恒成立，则实数。的最大值为.

《答案]V2

k解析》点A(x,/(x))到直线x—y=0的距离d

则|AB|2d=4d,

又/(x)—X=X+e™7—ln(eM+x-l)=(e™+x-l)-ln(eTO+x-l)+l,

由m>0知，y=e'"x和y=x在R上单调递增，

所以ynx+e"，—1在R上单调递增，其值域为R,

又x+e™7—1>0，令/=e'm+x—1«>0),

1/_i

令e«)=/_ln/+l,b'«)=l__=——«>0),

tt

当0</<1时，/'(/)<0,当%>1时，

所以函数/(。在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以尸⑺min=%1)=2，

所以恒创21=乎|/0)—力之应，

因为对任意的m>0,都有2a恒成立，所以。4血,

所以实数。的最大值为0.

故(答案x为：JL

四、解答题

17.已知数列｛%｝满足(+4+。3++cin=n~.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列的前几项和S“.

[44+1J

解：(1)由题意，得S“=/

22

当“22时，an=Sn-Sn_x=n-(n-1)=2n-l

当”=1时，q=S]=1,适合上式.

/.an=2n-l.

-------------------------------(----------------

anan+x(2〃一1)(2〃+1)22n—12n+l

所以s〃=-

35572n—12n+l

18.设ABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,已知Z?cosC+为cosA=-ccos5.

(1)求A；

(2)设A的角平分线交5C于点AM=i,求b+4c的最小值.

解：(1)Z?cosC+2acosA=-ccosB.

由正弦定理，sinBcosC+sinCcosB=-2sinAcosA

/.sin(B+C)=-2sinAcosA,即sinA=—2sinAcosA

Ae(0,7i)/.sinA>0

sA=--,gpA=—

CO23

(2)由题意可得，+S^AMC=^AABC

:.—c-AMsin60+—b-AM-sin60=—Z?csinl20

222

.\b+c=bc

即LLi

bc

11b4cb4c

/.Z?+4c=(Z?+4c)(-+-)=5+-+—>5+2,

bccbcb

b4c3

当且仅当一=丁，即b=3,c=—时，等号成立，

cb2

所以〃+4。的最小值为9.

19.如图，在四棱锥P-A5CD中，已知平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,

71

ZABC=ZBAD=-9PA=3,AD=2,AB=BC=1.

(1)线段PB上是否存在一点。使得QC_LCD,若存在，求出3Q的长，若不存在，说

明理由；

(2)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最

小值，求异面直线与CD之间的距离.

解：(1)以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系

则各点的坐标为8(1,0,0),C(l,l,0),£>(0,2,0),P(0,0,3)

BP=(-1,0,3)，

设。为直线P8上一点，且==(—4,0,32),0(1—40,32)

：.CQ=(-2,-1,32),又CD=(-1,1,0),

CQCD=A-1=O,A=1

所以存在点Q，满足QCJ_CD,此时3Q=1.

(2)由(1)可得CJD=(T,1,0),

又Q(1—X,0,32),CQ=32)

dN巫

19

所以异面直线网与。之间的距离为上叵

19

20.吕梁市举办中式厨师技能大赛，大赛分初赛和决赛，初赛共进行3轮比赛，每轮比赛结

果互不影响.比赛规则如下：每一轮比赛，参赛选手要在规定的时间和范围内，制作中式面

点和中式热菜各2道，若有不少于3道得到评委认可，将获得一张通关卡，3轮比赛中，至

少获得2张通关卡的选手将进入决赛.为能进入决赛，小李赛前在师傅的指导下多次进行训

练，师傅从小李训练中所做的菜品中随机抽取了中式面点和中式热菜各4道，其中有3道中

式面点和2道中式热菜得到认可.

(I)若从小李训练中所抽取的8道菜品中，随机抽取中式面点、中式热菜各2道，由此来

估计小李在一轮比赛中的通关情况，试预测小李在一轮比赛中通关的概率；

(2)若以小李训练中所抽取的8道菜品中两类菜品各自被师傅认可的频率作为该类菜品被

评委认可的概率，经师傅对小李进行强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率不变，每

道中式热菜被评委认可的概率增加了工，以获得通关卡次数的期望作为判断依据，试预测

6

小李能否进入决赛?

解：(1)设人="在一轮比赛中，小李获得通关卡”，则事件A发生的所有情况有:

C；C；C；_3_1

①得到认可的中式面点入选1道，中式热菜入选2道的概率为6=

C4C46x612

12_1

②得到认可的中式面点入选2道，中式热菜入选1道的概率为6=

C氾6^6-3

C2c231

③得到认可中式面点和中式热菜各入选2道的概率为耳=为|=—=—

C4c46x612

所以P（A）=^-+'+L=L

v7123122

3

（2）由题知，强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率为一，每道中式热菜被评委认

4

可的概率为‘+'=2,则强化训练后，在一轮比赛中，小李获得通关卡的概率为

263

31（2V（3丫21（3丫（2丫

P=C：x二x±xC；x-+C；x-xC^x-xi+C^x-xC；x-

2442（3）2（dJ2332（4J2

1112

=—i--1—=—,

6443

因为每轮比赛结果互不影响，所以进行3轮比赛可看作3重伯努利试验.

用X表示小李在3轮比赛中获得通关卡的次数，

则X—,

/.E（X）=3x|=2,

...小李能进入决赛.

21.已知直线x+y+l=O与抛物线。：炉=2Q（「＞0）相切于点A,动直线，与抛物线C

交于不同两点P,Q（P,Q异于点A）,且以尸。为直径的圆过点A.

（1）求抛物线。的方程及点A的坐标；

11

（2）当+最小时，求直线/的方程.

\PA\-|QA\~

x+y+1—0c

解：（1）联立《2"，消y得/+2°%+2P=0,

x=2py

因为直线X+y+1=。与抛物线C:f=2py（p＞0）相切，

所以△=4°2—8p=0,解得p=2或2=0（舍去），

2

当夕=2时，x+4X+4=0，解得X=—2,所以y=l,

所以抛物线C的方程为d=4＞，点A的坐标为（—2,1）；

X0\

(2)显然直线/的斜率存在，可设为丁=丘+6,河(%,％),NgyJ,

[y=kx+b

由<24，消y得12—4fcr—4Z?=0，则A=16左之+16〃>0,

K=4y

%+%2=4后=-4b,且AM=(%i+2,弘_0,3=(无2+2,%―1)，

因为以MN为直径的圆过点A,所以AM.AN=0,即(％+