河北邯郸2022年高考数学二模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

3亭用手C.史守…犬

2.若复数z满足(l+*=l+2i,则|z|=()

V23「丽

B.

.222

3.某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中

抽取一个容量为九的样本.若样本中高中生恰有30人，则〃的值为（）

A.20B.50C.40D.60

4.已知集合4="仁可仅2〈8灯，B={2,3,6},C=[2,3,7},则8D(«C)=()

A.[2,3,4,5}B.[2,3,4,5,6}

C.{1,2,3,4,5,6}D.[1,3,4,5,6,7)

5.函数/(耳=5近21+7扁11%+3工在[工,刍上单调递减的充要条件是()

63

A.m<-3B.m<-4C.m<D.m<4

3

6.已知复数z满足2—5=0,且ze=9,则2=()

A.3B.3iC.±3D.±3i

7.已知函数/(%)=(%—〃—1)/,若2"=log2/?=G贝!)()

A.f(a)<f(b)<f(c)B.f(b)</(c)<f(a)

C.f(a)<f(c)<f(b)D.f(c)<f(b)<f{a)

8.如图，正方体A3CD—A4Gq中，E,F,G,"分别为棱AA、CG、Bq、AM的中点，则下列各直线

中，不与平面ACR平行的是（）

A.直线EFB.直线GHC.直线EHD.直线”

9.给出下列三个命题:

①的/eR,%—2毛+1<0”的否定;

②在ABC中，“6>30°”是“cos5〈走”的充要条件;

2

③将函数y=2cos2x的图象向左平移看个单位长度，得到函数y=2cos2x+£的图象

其中假命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

10.2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个

位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86,乙队得分的平均数是88,则x+y=（）

C.172D.12

11.已知函数/（x）=6sin0x+3cosftu（o>O）,对任意的再，x2,当/（石）/（々）=一12时，归-x21nmi，

则下列判断正确的是（）

7171

B.函数/（%）在上递增

7'万

77T

C.函数/(x)的一条对称轴是x=:D.函数/(%)的一个对称中心是三,0

6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若随机变量J的分布列如表所示，贝!!石(&)=,D(2^-l)=

J-101

j_

paa2

4

22

14.已知K,M为双曲线C:=-当=1(。>0,6>0)的左、右焦点，过点£作直线/与圆好+丁2=/相切于点4,且

ab

与双曲线的右支相交于点3,若A是8耳上的一个靠近点打的三等分点，且忸=10,则四边形AO月3的面积为

15.如图，在ABC中，已知A3=3,AC=2,ABAC=120°,。为边的中点.若CE，A£),垂足为E,

则EB-EC的值为

16.成都市某次高三统考，成绩X经统计分析，近似服从正态分布X〜N(100,b2),且P(86<X<100)=0.15,若

该市有8000人参考，则估计成都市该次统考中成绩X大于114分的人数为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在以A8CDE尸为顶点的五面体中，底面A5CD为菱形，ZABC=120°,AB=AE=ED=2EF,EF//AB,

点G为CZ>中点，平面EAZLL平面A5CD

(1)证明：BD±EG；

(2)若三棱锥VE_FBC=j,求菱形ABCD的边长.

22

18.(12分)椭圆。：j+二=1(«>Z?>O)的右焦点F(V2,0)过点口且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为

a2b2

3A/2.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过点(2,0)且斜率不为0的直线与椭圆。交于"，N两点.。为坐标原点，4为椭圆。的右顶点，求四边形

OMAN面积的最大值.

19.(12分)如图，在矩形ABC。中，AB=2,BC=3,点E是边AD上一点，AAE=2ED,点H是BE的中点,

将八45£沿着座折起，使点A运动到点S处，且满足SC=S£).

(1)证明：平面3CDE；

(2)求二面角C—S3—石的余弦值.

20.(12分)已知数列｛4｝和也｝，｛&｝前〃项和为Sn，且S“="+〃，也｝是各项均为正数的等比数列，且仇=(,

,,,31

bx+b2+b3=—.

(1)求数列｛4｝和也｝的通项公式；

(2)求数列｛4—4%｝的前〃项和T,.

21.(12分)已知函数/(x)=|x+a|+|2x-l|(aeR).

(1)a=—1时，求不等式/(x)22解集;

(2)若/(x)W2x的解集包含于1,3,求。的取值范围.

22.(10分)设椭圆。:；+丁=1的右焦点为过尸的直线/与。交于A,3两点，点"的坐标为(2,0).

(1)当直线/的倾斜角为45。时，求线段的中点的横坐标；

(2)设点A关于x轴的对称点为C,求证：M,B,C三点共线；

(3)设过点M的直线交椭圆于G,H两点，若椭圆上存在点P,使得OG+OH=2O尸(其中。为坐标原点)，求实数

2的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

结合三视图可知，该几何体的上半部分是半个圆锥，下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.

【详解】

由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆

锥的体积v=1X-X4^X2V3=勺电，下半部分的正三棱柱的体积K=^X4X2A/3X4-16^/3，故该几何体的体积

1233'2

丫=匕+弓=当^+166.

故选:D.

【点睛】

本题考查三视图，考查空间几何体的体积，考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.

2.C

【解析】

1313

化简得到彳=-；；+/,z=-丁力，再计算复数模得到答案.

2222

【详解】

l+2z(l+2z)(1+/)_-1+3z13.

(l+z)z=l+2z,故5=—+—z

1+z-(l+z)(l-z)-222

13.A/10

----------1

22

故选：C.

【点睛】

本题考查了复数的化简，共物复数，复数模，意在考查学生的计算能力.

3.B

【解析】

利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.

【详解】

由题意，30=1500x-----------,解得〃=50.

1500+1000

故选：B.

【点睛】

本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.

4.C

【解析】

根据集合的并集、补集的概念，可得结果.

【详解】

集合A={xGN|x2V8x}={xeN|0VxV8},

所以集合4={1,2,3,4,5,6,7)

B=[2,3,6},C={2,3,7),

故。0={1，4,5,6),

所以6D(a。)={1,2,3,4,5,6}.

故选：C

【点睛】

本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题.

5.C

【解析】

先求导函数，函数在［工，工］上单调递减则/'（x）＜0恒成立，对导函数不等式换元成二次函数，结合二次函数的性质

63

和图象，列不等式组求解可得.

【详解】

依题意,/（%）=2cos2x+mcosx+3=4cos2x+mcosx+1,

令cosx=f,贝heg,小，故4『+m+lW0在［；,寺上恒成立；

\11…

4x—+mx—+1,,0机,，一4

42

结合图象可知，*解得《873

4x—+mx^-+l,,0办,--—

I42

故相〈------.

3

故选：C.

【点睛】

本题考查求三角函数单调区间.求三角函数单调区间的两种方法：

⑴代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角瓦（或8,利用基本三角函数的单调性列不等

式求解；

⑵图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.

6.C

【解析】

设2=a+沅，则N=a—初，利用z—彳=0和2.2=9求得”,b即可.

【详解】

设2=。+沅,则2=。一次，

因为Z—2=0,则（a+初）一（a—初）=2次=0,所以6=0,

又z-2=9,即万=9,所以a=±3,

所以z=±3,

故选:C

【点睛】

本题考查复数的乘法法则的应用，考查共朝复数的应用.

7.C

【解析】

利用导数求得/(%)在(。,a)上递增，结合y=c与丁=2'°=1082羽丁=》图象，判断出"c的大小关系，由此

比较出/(a)"伍)"(c)的大小关系.

【详解】

因为/4x)=(x-a)e'，所以/'(X)在3,y)上单调递增；

在同一坐标系中作V=c与y=22y=log2x,y=x图象，

2fl=log,b=c,可得"c<6,f(a)</(c)<f(b).

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，考查数形结合的数学思想方法，属于

中档题.

8.C

【解析】

充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据跖〃AC判断A的正误.根据组//4q，4q//AC,

判断B的正误.根据四//q〃,c卫与2。相交，判断c的正误.根据，判断D的正误.

【详解】

在正方体中，因为跖〃AC,所以EF//平面ACD],故A正确.

因为阳//45,46//AC,所以GH//AC,所以GH//平面AC，故B正确.

因为45//。。，所以43//平面ACR,故D正确.

因为四与相交，所以EH与平面ACR相交，故C错误.

故选：C

【点睛】

本题主要考查正方体的几何特征，线面平行的判定定理，还考查了推理论证的能力，属中档题.

9.C

【解析】

结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假，即可选出答案.

【详解】

对于命题①,因为片-2%+1=（%-1）220，所以“3x0eR,x^-2x0+l<0”是真命题，故其否定是假命题，即①是假命

题；

对于命题②，充分性：ABC中，若B>30°,则30°<B<180°,由余弦函数的单调性可知,cosl80°<cos5<cos30°,BP

-1<COSB<—，即可得至Ucos5（立，即充分性成立;必要性:&ABC中,0°<8<180°,若cosB（也，结合余弦函数

222

的单调性可知,cos180°<cosB<cos30°,即30°<3<180°,可得到B>30°,即必要性成立.故命题②正确；

对于命题③,将函数y=2cos2x的图象向左平移£个单位长度,可得到y=2cos21+j=2cos（2x+gJ的图象，即命

题③是假命题.

故假命题有①③.

故选:C

【点睛】

本题考查了命题真假的判断，考查了余弦函数单调性的应用，考查了三角函数图象的平移变换，考查了学生的逻辑推理能

力,属于基础题.

10.D

【解析】

中位数指一串数据按从小（大）到大（小）排列后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数.

【详解】

由茎叶图知，甲的中位数为80+x=86,故x=6；

乙的平均数为78+82+80+V+89+91+93+97=88

7

解得>=6,所以x+y=12.

故选：D.

【点睛】

本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.

11.D

【解析】

利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期T,从而得到①，即可求出解析式，然后利

用函数的性质即可判断.

【详解】

/(x)=GsinGx+3coscox=2石+,

又一＜sin[①x+—〈1,即一＜2y/3sin[GJV+—«2,\^,

「•有且仅有-26x2指=-12满足条件；

又再一到.，则二二万，

112Imin222

:.co=^-=2,二函数/(x)=26sin(2x+(1,

对于A,/用=2氐由乎=3,故A错误；

对于B,由一/+2左》＜2x+y＜^+2k7r(keZ),

5TCTC

解得一三+左乃+左乃(左eZ),故B错误；

对于C,当》=卫时，=2百sin(?+£]=26sin?

,故C错误;

6<07<3〃3

对于D,由=0,故D正确.

故选：D

【点睛】

本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键,属于基础题.

12.A

【解析】

TT

用偶函数的图象关于y轴对称排除C,用/（K）＜0排除占用/（］）〉4排除。.故只能选A.

【详解】

因为3）=6…-£=产-高=小），

所以函数/（X）为偶函数，图象关于y轴对称，故可以排除c；

因为加）=产1<1--」—=1-1=0

111[1r，故排除3,

\2+2

11

44

116±6一店〉6_5=6_2=4由图象知，排除£）.

出十不

故选:A

【点睛】

本题考查了根据函数的性质，辨析函数的图像，排除法,属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

111

13.一——

44

【解析】

首先求得。的值，然后利用均值的性质计算均值，最后求得。偌）的值，由方差的性质计算。（2J-1）的值即可.

【详解】

.____1,3（舍去）或。==.

由题意可知a^-----1•矿=1,解得—

422

则EH)=_1XL+0」+1XL」，

I”2444

则叫=（—1+jx.O+tx/l+jX；4

由方差的计算性质得。（2&-1）=4。（J）=.

【点睛】

本题主要考查分布列的性质，均值的计算公式，方差的计算公式，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计

算求解能力.

14.60

【解析】

根据题中给的信息与双曲线的定义可求得忸娟=34闺阊=2c与忸阊=36-2a,再在△跳;心中，由余弦定理求解得

h3

—=一,继而得到各边的长度，再根据S四边形AO&B=SAOB+SFQB计算求解即可.

a2

【详解】

如图所示：设双曲线C的半焦距为J

因为041=a,,|04|=c，所以由勾股定理，得|4用=Vc2-a2=b.

b

所以cos/Af；O=—.

c

因为A是B耳上一个靠近点耳的三等分点，。是耳,巴的中点斯以忸耳|=36,闺阊=2c.

由双曲线的定义可知：忸国-忸月=2a,所以忸阊=36-2a.

在LB"F2中，由余弦定理可得忸阊2=胡+4c?—2x3Z;x2cxcosZAF.O

AAQ

=9/+4c?-2x3bx2cx—=4c2-3/，所以（36—=4c2-3户,整理可得一=—.

ca2

353

所以忸用=3b—20=3x5。—2a=]O=10,解得a=4.所以。二丁=6.

b632

22cos

则C=V4+6=2V13•则NA60=-=，得sinAAFXO=-j=.

236

则F,OB的底边上的高为丸=忸用sinZAF.O=18x-==-=.

713A/13

F2OB=~\AB\\AO\+^\OF2\h

所以S四边形40歹2§=SAOB+s

=-X12X4+-X2^3X-1£=60.

22713

故答案为：60

【点睛】

本题主要考查了双曲线中利用定义与余弦定理求解线段长度与面积的方法，需要根据双曲线的定义表示各边的长度，再

在合适的三角形里面利用余弦定理求得基本量a,b,c的关系.属于难题.

27

15.

7

【解析】

EB•EC=（EA+AB}EC=AB•EC=（AD+DB）.EC=CD•EC=-EC”,

由余弦定理，得5C=j9+4—2x3x2xcosl20=M，

,-4+19-97Jy3J3

得c°sC=—n^一=AD^—,S=*

4J192V1924

所以CE=2,所以EB-EC=—2.

V77

点睛：本题考查平面向量的综合应用.本题中存在垂直关系，所以在线性表示的过程中充分利用垂直关系，得到

EBEC=-EC?，所以本题转化为求CE长度，利用余弦定理和面积公式求解即可•

16.2800.

【解析】

根据正态分布密度曲线性质，结合P(86<X<100)=0.15求得P(X>114)=；—0.15=0.35,即可得解.

【详解】

根据正态分布X〜N(100,b?),且P(86<X<100)=0.15,

所以P(X>114)=；—0.15=0.35

故该市有8000人参考，则估计成都市该次统考中成绩X大于H4分的人数为8000x0.35=2800.

故答案为：2800.

【点睛】

此题考查正态分布密度曲线性质的理解辨析，根据曲线的对称性求解概率，根据总人数求解成绩大于U4的人数.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)详见解析；(2)2.

【解析】

(1)取AO中点。，连OE,OG,可得结合平面平面A3C。，可证

平面A3C。，进而有再由底面是菱形可得AC，3。，可得OGLBD,

可证得，平面EOG,即可证明结论；

(2)设底面边长为。，由EF〃A3,AB=2EF,VE_FBC=^VA_FBC=,求出体积，建立a的方程，即可求

出结论.

【详解】

(1)取AO中点。，连0E,

底面A8C0为菱形，AB=AD=AE=ED,

：.OE±AD,平面EAO_L平面ABC。，

平面EADl平面ABC。=AD,OEu平面ADE,

：,OE，平面ABCD,BDu平面ABCD,OELBD,

底面A3CZ＞为菱形，AC，BD,

G为CD中点，OG//AC,:.OG±BD,

OGOE=O,OG,OEu平面EOG,

_L平面EOG,EGu平面EOG,..，EG；

Ji

(2)设菱形4BC。的边长为。，则。石二左。,

2

EF//AB,AB=2EF,

J“°_1瓜百2_/

vVE-ABC^~XOEXSABC^^X~^~X~Ta=?=1'

JJZ4o

=2,所以菱形ABC。的边长为2.

【点睛】

本题考查线线垂直的证明和椎体的体积，注意空间中垂直关系之间的相互转化，体积问题要熟练应用等体积方法，属

于中档题.

18.(1)~~+~~=1(2)最大值2^/^・

86

【解析】

72

(1)根据通径竺=3亚和c=&即可求

a

(2)设直线脑V方程为x=2y+2,联立椭圆，利用S四边形0M47V=S0AM+S0期，用含机的式子表示出

S四边形OMAN=SOAM+SOAN,用/=j3n?+2换元，

8886

可得3四边形OMAN=产+2=—2，最后用均值不等式求解.

1+"t+-

【详解】

22

解：(1)依题意有,=后，a=2叵，b=R,所以椭圆的方程为j+J=l.

86

^21=i

(2)设直线MN的方程为工=冲+2,联立〈86一，得（3,im2+4）y2+12my-12=0.

x=my+2

—12m-12

所以乂+为

3m2+43m2+4

所以S四边形OM42V=SOAM+SOAN=­X2卬|+；*2阳%|=阳%-

=行）（必+%）2-4%%=血83m2+2

3/n2+4

令/=13疗+2,贝12夜，

_873?_8732—

所以四边形。弧―45一F，因/2夜，贝心+―22拒，所以S四边形<2"，当且仅当^=夜，即加=0

tH—t

t

时取得等号，

即四边形OMAN面积的最大值2限.

【点睛】

考查椭圆方程的求法和椭圆中四边形面积最大值的求法，是难题.

19.(1)见解析；(2)旦

3

【解析】

(1)取CD的中点M,连接胸，SM,由SE=S3=2,进而SHLBE,由SC=S£>,得SM，C£>.进而C£),

平面SHM,进而结论可得证（2）（方法一）过〃点作的平行线G”交于点G,以点H为坐标原点,

所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系”-孙z,求得平面SBC,平面SBE的

法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取BS的中点N,上的点尸，使BP=2PC,连接HN,PN,PH,得

HN±BS,HP_LBE,得二面角C—SB—E的平面角为NPNH,再求解即可

【详解】

（1）证明：取CD的中点"，连接胸，SM,由已知得AE=A3=2,所以SE=SB=2,又点”是班的中

点，所以SVLBE.

因为SC=S£>,点M是线段CD的中点，

所以SMLCZ）.

又因为所以从而CD,平面SHM,

所以GDLSW,又CD,仍不平行，

所以SHL平面3CDE.

（2）（方法一）由（1）知，过〃点作CD的平行线GH交于点G,以点〃为坐标原点，所在直线

分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系”—孙z,则点3（1,—LO）,C（l,2,0）,£（-1,1,0）,

S（0,0,⑹,

所以6C=（0,3,0）,BE=（-2,2,0）,BS=（—1,1,后）

设平面SBE的法向量为m=（石,必,马），

m•BE-0、f+；：N=o'令％=1'得呀（I'l'D

由<,得

m-BS—0

同理，设平面SBC的法向量为〃=（%2，%，22），

=0%=°

由《n-BC，得《/—，

n-BS=0[-x2+%+V2Z2=0

令Z2=l,得〃=（行,0,1）.

m,HJ2\/3

所以二面角。一53-石的余弦值为以）5〈“/,〃〉=厂^=7―

\m\\n\V2xV33

（方法二）取BS的中点N,BC上的点P,使BP=2PC,连接HN,PN,PH,易知HNLBS,HP工BE.

由（1）得SHLHP,所以HP,平面BSE,所以印JLSB,

又HNLBS,所以3SL平面PHV,

所以二面角C—S3—E的平面角为/PNH.

又计算得NW=1,PH=五，PN=6，

1_A/3

所以cos/PNH=有一丁

【点睛】

本题考查线面垂直的判定，考查空间向量求二面角，考查空间想象及计算能力，是中档题

n-1

20.（1）。“=2〃，优=（：

I；（2）Tn=n

【解析】

（1）令〃=1求出％的值，然后由“22,得出4=S“-S,i，然后检验/是否符合巴在“22时的表达式，即可得

出数列｛4｝的通项公式，并设数列出｝的公比为《，根据题意列出々和q的方程组，解出这两个量，然后利用等比数

列的通项公式可求出4；

（2）求出数列｛2｝的前〃项和纥，然后利用分组求和法可求出T..

【详解】

(1)当〃=1时，q=Si=2,

当刃,2时,a”=S“-S“T=(/+〃)_(n-1)2+(n-l)=2n.

q=2也适合上式，所以，a“=2"("eN*).

4=4/总

设数列也｝的公比为4,则q>0,由<

31

b+b+b=4(1+q+/)

}2325

两式相除得3O/_q_i=o,4>0,解得g=仄=1,■.b„=b^1=

“T)

(2)设数列｛bn｝的前n项和为Bn,则Bn=

i—q

=S,-4纥1

=M(W+1)-4X|H-^=n

5n

【点睛】

本题考查利用S,求a“，同时也考查了等比数列通项的计算，以及分组求和法的应用，考查计算能力，属于中等题.

413

21.(1)(-oo,0]-,+ooI(2)-2,--

【解析】

⑴代入a=-1可得I%-11+12x-12对x分类讨论即可得不等式的解集;

(2)根据不等式在1,3上恒成立去绝对值化简可得|%+。区1再去绝对值即可得关于。的不等式组解不等式组即可

求得。的取值范围

【详解】

(1)当i=—1时,不等式/(x)»2可化为|x—l|+|2x—隼2,

①当xV』时，不等式为1—x+1—2x22,解得x<0；

2

②当!<x<l时，不等式为1—x+2x—122,无解；

2

4

③当％21时，不等式为x—1+2%一122,解得

综上，原不等式的解集为(-8,0]

(2)因为/(X)<2x的解集包含于1,3

贝！I不等式可化为Ix+aI+2%—1<2%,

BPIx+«|<1.解得一a-lWxW-a+l,

'«1

—a—1>-3

由题意知2,解得—2<。《——,

2

-«+1<3

-3-

所以实数