浙江省湖州三校2024届高一数学第二学期期末检测试题含解析

浙江省湖州三校2024届高一数学第二学期期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量，若，则（）A． B． C． D．2．已知数列满足是数列的前项和，则（）A． B． C． D．3．已知为不同的平面,为不同的直线则下列选项正确的是（）A．若,则 B．若,则C．若,则 D．若,则4．等比数列中，，则A．20 B．16 C．15 D．105．点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是（）A． B．或C． D．或6．已知各个顶点都在同一球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积为（）A． B． C． D．7．已知，且为第二象限角，则（）A． B． C． D．8．若向量，，则（）A． B． C． D．9．设，满足约束条件，则目标函数的最大值是（）A．3 B． C．1 D．10．下面的程序运行后，输出的值是（）A．90 B．29 C．13 D．54二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，在圆心角为，半径为2的扇形AOB中任取一点P，则的概率为________.12．若实数满足，，则__________．13．已知，，则________．14．设ω为正实数.若存在a、b(π≤a<b≤2π)，使得15．在棱长均为2的三棱锥中，分别为上的中点，为棱上的动点，则周长的最小值为________.16．某单位有200名职工，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知关于的不等式的解集为.（1）求的值；（2）求函数的最小值.18．如图，为圆的直径，点，在圆上，，矩形和圆所在的平面互相垂直，已知，.（1）求证：平面平面；（2）当时，求多面体的体积.19．已知等差数列满足，且.（1）求数列的通项；（2）求数列的前项和的最大值.20．已知数列中，，，数列满足。（1）求证：数列为等差数列。（2）求数列的通项公式。21．已知直线l的方程为.(1)求过点且与直线l垂直的直线方程；(2)求直线与的交点，且求这个点到直线l的距离.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

先根据向量的平行求出的值，再根据向量的加法运算求出答案．【详解】向量，，

解得，

∴，

故选A．【点睛】本题考查了向量的平行和向量的坐标运算，属于基础题．2、D【解析】

由已知递推关系式可以推出数列的特征，即数列和均是等比数列，利用等比数列性质求解即可．【详解】解：由已知可得，当时，由得，所以数列和均是公比为2的等比数列，首项分别为2和1，由等比数列知识可求得，,故选：D．【点睛】本题主要考查递推关系式，及等比数列的相关知识，属于中档题．3、C【解析】

通过对ABCD逐一判断，利用点线面的位置关系即可得到答案.【详解】对于A选项，有可能异面，故错误；对于B选项，可能相交或异面，故错误；对于C选项，，显然故正确；对于D选项，也有可能，故错误.所以答案选C.【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力，难度不大.4、B【解析】试题分析：由等比中项的性质可得：，故选择B考点：等比中项的性质5、B【解析】

根据，在直线异侧或其中一点在直线上列不等式求解即可.【详解】因为直线与线段相交，所以，，在直线异侧或其中一点在直线上，所以，解得或，故选B.【点睛】本题主要考查点与直线的位置关系，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.6、A【解析】

先求出外接球的半径，再求球的表面积得解.【详解】由题得正方体的对角线长为，所以.故选A【点睛】本题主要考查多面体的外接球问题和球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7、D【解析】

首先根据题意得到，，再计算即可.【详解】因为，且为第二象限角，，..故选：D【点睛】本题主要考查正切二倍角的计算，同时考查了三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系，属于简单题.8、B【解析】

根据向量的坐标运算，先由，求得，再求的坐标．【详解】因为，所以，所以．故选：B【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9、C【解析】

作出不等式组对应的平面区域，结合图形找出最优解，从而求出目标函数的最大值．【详解】作出不等式组对应的平面区域，如阴影部分所示；平移直线，由图像可知当直线经过点时，最大．，解得，即，所以的最大值为1．故答案为选C【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划，也考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题．10、D【解析】

根据程序语言的作用，模拟程序的运行结果，即可得到答案．【详解】模拟程序的运行，可得，执行循环体，，执行循环体，，执行循环体，，执行循环体，，退出循环，输出的值为1．故选：D．【点睛】本题考查利用模拟程序执行过程求输出结果，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据题意，建立坐标系，求出圆心角扇形区域的面积，进而设，由数量积的计算公式可得满足的区域，求出其面积，代入几何概率的计算公式即可求解．【详解】根据题意，建立如图的坐标系，则则扇形的面积为设若，则有，即；则满足的区域为如图的阴影区域，直线与弧的交点为，易得的坐标为，则阴影区域的面积为故的概率故答案为：【点睛】本题考查几何概型，涉及数量积的计算，属于综合题．12、【解析】

由反正弦函数的定义求解．【详解】∵，∴，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查反正弦函数，解题时注意反正弦函数的取值范围是，结合诱导公式求解．13、【解析】

由二倍角求得α，则tanα可求．【详解】由sin2α=sinα，得2sinαcosα=sinα，∵,∴sinα≠0,则,即.∴.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查公式的灵活应用，属于基础题.14、ω∈[【解析】

由sinωa+sinωb=2⇒sinωa=sinωb=1.而[ωa,ωb]⊆[ωπ,2ωπ]【详解】由sinωa+而[ωa,ωb]⊆[ωπ,2ωπ]，故已知条件等价于：存在整数ωπ当ω≥4时，区间[ωπ,2ωπ]的长度不小于4π当0<ω<4时，注意到，[ωπ故只要考虑如下几种情形：（1）ωπ≤π2<（2）ωπ≤5（3）ωπ≤9综上，并注意到ω≥4也满足条件，知ω∈[9故答案为：ω∈[【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15、【解析】

易证明中,且周长为,其中为定值,故只需考虑的最小值即可.【详解】由题,棱长均为2的三棱锥,故该三棱锥的四个面均为正三角形.又因为,故.故.且分别为上的中点,故.故周长为.故只需求的最小值即可.易得当时取得最小值为.故周长的最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查了立体几何中的距离最值问题,需要根据题意找到定量以及变量的最值情况即可.属于中档题.16、1【解析】试题分析：因为将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组，由分组可知，抽号的间隔为5，因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为1．考点：系统抽样．点评：本题考查系统抽样，在系统抽样过程中得到的样本号码是最规则的一组编号．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）1.【解析】

（1）利用根与系数的关系，得到等式和不等式，最后求出的值；（2）化简函数的解析式，利用基本不等式可以求出函数的最小值.【详解】解：（1）由题意知：，解得．（2）由（1）知，∴，而时，当且仅当，即时取等号而，∴的最小值为1．【点睛】本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数问题，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.18、(1)证明见解析；(2)【解析】

（1）由题可得，，从而可得平面，由此证明平面平面；（2）过作交于，所以为四棱锥的高，多面体的体积，利用体积公式即可得到答案．【详解】（1）证明：∵平面平面，矩形，，平面平面，∴平面，∵平面，∴，又∵为圆的直径，∴，又，∴平面，∵平面，平面平面；（2）过作交于，由面面垂直性质可得平面，即为四棱锥的高，由是边长为1的等边三角形，可得，又正方形的面积为4，∴..所以.【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，以及求多面体的体积，要求熟练掌握相应判定定理以及椎体、柱体的体积公式，属于中档题．19、（1）（2）144【解析】

（1）把带入通项式即可求出公差，从而求出通项。（2）根据（1）的结果以及等差数列前项和公式即可。【详解】（1）设公差为，则则则（2）由等差数列求和公式得则所以当时，有最大值144【点睛】本题主要考查了等差数列的通项以及等差数列的前和公式，属于基础题20、（1）见解析；（2）【解析】

（1）将题目过给已知代入进行化简，结合的表达式，可证得为等差数列；（2）利用（1）的结论求得的通项公式，代入求得的通项公式.【详解】（1）证明：由题意知，，又，故，又易知，故数列是首项为，公差为1的等差数列。（2）由（1）知，所以由，可得，故数列的通项公式为。【点睛】本小题第一问考查利用数列的递推公式证明数列为等差数列，然后利用这个等差数列来求另