2024年九年级中考数学复习矩形折叠

第1页（共1页）中考数学矩形折叠复习专题1．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8．（1）P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）．①如图1，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形（即△AEP的位置，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时DE＝．②如图2，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC＝FE，求BP的长．（2）如图3，已知点Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B'处，求BQ的长．2．已知矩形ABCD，将其绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG．（1）如图1，若点E在CD上，连接BE．①求证：EB平分∠AEC；②连接BG交AE于点O，若AD＝6，AB＝10，求BG的长．（2）如图2，若点A，E，C在同一条直线上，EF与CD交于点M，AD＝6，AB＝8，求EM的长．3．综合与实践在数学实践课上，老师让同学们在折叠矩形纸片的过程中提出问题并解答．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在BC边上，点F在AB边上．沿直线EF折叠矩形纸片，点B落在点B'处．问题一：（1）如图1，当点F与点A重合时，连接CB'，若△B'EC是直角三角形，则线段BE的长为；问题二：（2）如图2，将纸片展平，点H在边DC上，点G在边BC上，沿直线GH折叠矩形纸片，点C落在点C'处，GC'与EB'恰好交于AD边的中点O．GC'交EF于点M，GH分别交EF，EB'于点P，点N．当BG＝EC，∠BEF＝30°时，求四边形OMPN的面积；问题三：（3）如图3，当点F与点A重合时，延长EB'与边AD交于点C'，沿直线EH折叠纸片（点H在边CD上），点C与点C'恰好重合．再次沿平行于AD的直线折叠纸片，点E落在AD上的点E'处，折痕分别交AE于点P，交EH于点Q，将纸片展平并连接EE'，C'P，C'Q，EE'交PQ于点K．请判断四边形EPC'Q的形状，并说明理由．4．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到矩形AEFG，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G．（1）如图1，当点E恰好落在边CD上时，求EC的长；（2）如图2，当点C，E，F在一条直线上时，设AE与CD相交于点H，求DH的长；（3）如图3，设点P为边FG的中点，连接PB，PE，BE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转（旋转角小于90度）得到矩形AEFG．（1）如图1，若在旋转过程中，点E落在对角线AC上，AF，EF分别交DC于点M，N，①求证：MA＝MC；②求MF的长；（2）如图2，在旋转过程中，若直线AE经过线段BG的中点P，连接BE，GE，求△BEG的面积．6．我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．（1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是（填序号）；（2）如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G，连AG、EG．①求证：四边形ABEG是“神奇四边形”；②如图2，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点．试判断四边形MNPQ是不是“神奇四边形”；（3）如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB'＝2，正方形的边长为6，求线段OF的长．7．综合与实践【问题情境】数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片ABCD先沿EF折叠．【特例探究】（1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为D′，折痕与边AD，BC分别交于点E，F．四边形AECF的形状为，请说明理由；（2）如图2，若点F为BC的中点，AD＝2AB，45°＜∠EFC＜90°，延长D'C'交AB于点P．求PC′与PB的数量关系，并说明理由；【深入探究】（3）如图3，若AB＝3，AD＝6，BF＝1，连接C'E，当点E为AD的三等分点时，直接写出的值．8．【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′、E′．【问题解决】：（1）如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上，求此时CB′的长；（2）若α＝90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交DE′于点F，①试判断四边形AEFE′的形状，并说明理由；②连接CE，求CE的长；（3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE′长度的取值范围．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG．（1）如图1，若在旋转过程中，点E落在对角线AC上，AF，EF分别交DC于点M，N．①求证：MA＝MC；②求MN的长；（2）如图2，在旋转过程中，若直线AE经过线段BG的中点P，连接BE，GE，求△BEG的面积．10．如图（1），矩形OABC的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（10，6），点P是射线BA上的一动点，把矩形OABC沿着CP折叠，点B落在点D处．（1）当点C、D、A共线时，AD＝；（2）如图（2），当点P与点A重合时，CD与x轴交于点E，过点E作EF⊥AC，交BC于点F，请判断四边形CEAF的形状，并说明理由；（3）若点D正好落在x轴上，请直接写出点P的坐标．11．实践操作在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．初步思考（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）．当点P与点A重合时，∠DEF＝°；当点E与点A重合时，∠DEF＝°；深入探究（2）当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当时的菱形EPFD的边长．拓展延伸（3）若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图③）．在折叠过程中，是否存在使得线段AM与线段DE的长度相等的情况？若存在，请求出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．

参考答案1．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8．（1）P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）．①如图1，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形（即△AEP的位置，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时DE＝6．②如图2，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC＝FE，求BP的长．（2）如图3，已知点Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B'处，求BQ的长．【分析】（1）①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，作BE的垂直平分线交BC于点P，连接EP、AP，再由翻折的性质和勾股定理求出DE＝6即可；②由翻折得：BP＝EP，AE＝AB＝10，设BP＝EP＝x，则PC＝8﹣x，再证△GEF≌△PCF（ASA），得GF＝PF，GE＝PC＝8﹣x，则GC＝EP＝x，DG＝CD﹣GC＝10﹣x，AG＝AE﹣GE＝x+2，然后在Rt△ADG中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）分两种情况：①点Q在线段AB上时，证QD＝CD＝10，再由勾股定理得DB'＝6，则BQ＝B'Q＝QD﹣DB'＝4；②点Q在BA延长线上时，由勾股定理得DB'＝6，设BQ＝B'Q＝x，则DQ＝x﹣6，AQ＝x﹣10，然后在Rt△ADQ中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）①如图1所示，△AEP即为所求的三角形，由作图得：AE＝AB＝10，在Rt△ADE中，由勾股定理得：；故答案为：6；②如图2，由翻折的性质得：BP＝EP，AE＝AB＝10，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠C，设BP＝EP＝x，则PC＝8﹣x，∵∠EFG＝∠CFP，FE＝FC，在△GEF和△PCF中，，∴△GEF≌△PCF（ASA），∴GF＝PF，GE＝PC＝8﹣x，∴GC＝EP＝x，∴DG＝CD﹣GC＝10﹣x，AG＝AE﹣GE＝10﹣（8﹣x）＝x+2，在Rt△ADG中，由勾股定理得：82+（10﹣x）2＝（x+2）2，解得x＝，即BP＝；（2）分两种情况：①点Q在线段AB上时，如图3所示：由翻折的性质得：∠CQB＝∠CQB'，B'C＝BC＝8，BQ＝B'Q，∠CB'Q＝∠B＝90°，∴∠CB'D＝90°，∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠DCQ＝∠CQB，∴∠DCQ＝∠CQD，∴QD＝CD＝10，∴DB'＝＝＝6，∴BQ＝B'Q＝QD﹣DB'＝10﹣6＝4；②点Q在BA延长线上时，如图4所示：由翻折的性质得：BQ＝B'Q，B'C＝BC＝8，∠B'＝∠B＝90°，∴DB'＝＝＝6，设BQ＝B'Q＝x，则DQ＝x﹣6，AQ＝x﹣10，∵∠BAD＝90°，∴∠DAQ＝90°，在Rt△ADQ中，由勾股定理得：82+（x﹣10）2＝（x﹣6）2，解得：x＝16，即BQ＝16；综上所述，BQ的长为4或16．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、分类讨论以及尺规作图等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的判定与性质和翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，属于中考常考题型．2．已知矩形ABCD，将其绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG．（1）如图1，若点E在CD上，连接BE．①求证：EB平分∠AEC；②连接BG交AE于点O，若AD＝6，AB＝10，求BG的长．（2）如图2，若点A，E，C在同一条直线上，EF与CD交于点M，AD＝6，AB＝8，求EM的长．【分析】（1）①利用旋转的性质，矩形的性质，平行线的性质证明即可；②过点B作BH⊥AE于点H，连接GH，证明四边形ABHG是平行四边形，运用勾股定理计算OB，结合平行四边形的性质计算即可；（2）利用矩形的性质，证明△CEM∽△CDA，列比例式计算即可．【解答】（1）①证明：根据题意可得AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE，∵CD∥AB，∴∠CEB＝∠ABE，∴∠AEB＝∠CEB，∴EB平分∠AEC；②解：如图，过点B作BH⊥AE于点H，连接GH．∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AD＝BC，由①得EB平分∠AEC，∴BH＝BC，∴由旋转的性质可得AG⊥AE且AG＝AD＝BC，∴AG∥BH，AG＝BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴GB＝2OB，AH＝2OH，在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，AB＝10，BH＝6，∴AH＝8，OH＝4，在Rt△OBH中，∠OHB＝90°，OH＝4，BH＝6，∴，；（2）根据旋转的性质可得AE＝AB＝8，∵AB＝8，AD＝6，四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝6，在Rt△ABC中，，∴CE＝AC﹣AE＝10﹣8＝2，∵∠CEM＝∠D＝90°，∴△CEM∽△CDA，∴，∴，∴．【点评】本题考查了旋转性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键．3．综合与实践在数学实践课上，老师让同学们在折叠矩形纸片的过程中提出问题并解答．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在BC边上，点F在AB边上．沿直线EF折叠矩形纸片，点B落在点B'处．问题一：（1）如图1，当点F与点A重合时，连接CB'，若△B'EC是直角三角形，则线段BE的长为6或3﹣3；问题二：（2）如图2，将纸片展平，点H在边DC上，点G在边BC上，沿直线GH折叠矩形纸片，点C落在点C'处，GC'与EB'恰好交于AD边的中点O．GC'交EF于点M，GH分别交EF，EB'于点P，点N．当BG＝EC，∠BEF＝30°时，求四边形OMPN的面积；问题三：（3）如图3，当点F与点A重合时，延长EB'与边AD交于点C'，沿直线EH折叠纸片（点H在边CD上），点C与点C'恰好重合．再次沿平行于AD的直线折叠纸片，点E落在AD上的点E'处，折痕分别交AE于点P，交EH于点Q，将纸片展平并连接EE'，C'P，C'Q，EE'交PQ于点K．请判断四边形EPC'Q的形状，并说明理由．【分析】（1）若△B'EC是直角三角形，分三种情形分别计算即可；（2）过点O作OQ⊥BC于点Q，则四边形ABQO是矩形，可证出OQ是GE的垂直平分线，得OG＝OE，由∠BEF＝30°，则△OGE是等边三角形，由折叠的性质可知点P在GE的垂直平分线上，从而可得S四边形OMPN＝2S△OPM＝△OGE＝△OGQ，求出等边三角形OG的长即可解决问题；（3）由折叠的性质可知：PQ是EE'的垂直平分线，PQ∥AD，可得AP＝PE，C'M＝ME，利用平行线的性质可证C'A＝C'E，从而∠C'PE＝90°，由平行线的性质同理可得EM＝MQ，则EM＝MQ＝C'M，可证∠C'QE＝90°，再由折叠性质得∠AEQ＝∠BEC＝90°，从而证明四边形PEQC'是矩形．【解答】解：（1）当∠EB'C＝90°时，则A、B'、C三点共线，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝6，∴△CB'E∽△CBA，∴，∴，∴BE＝B'E＝3，当∠CEB'＝90°时，点B'落在AD上，此时BE＝B'E＝6，当∠ECB'＝90°时，不符合题意，∴BE＝6或3﹣3，故答案为：6或3﹣3；（2）如图，过点O作OQ⊥BC于点Q，则∠OQB＝90°，∵四边形ABCD是矩形，点O是AD的中点，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，AD∥BC，AO＝，∴四边形ABQO是矩形，∵AB＝6，BC＝12，∴OQ＝AB＝6，BQ＝AO＝，∴BQ＝CQ＝6，∵EC＝BG，∴BQ﹣BG＝CQ﹣CE，∴GQ＝OE，∴OQ是GE的垂直平分线，∴OG＝OE，∵△FB'E与△FBE关于直线EF对称，∠FEB＝30°，∴△FB'E≌△FBE，∴∠FEB'＝∠FEB＝30°，∴∠OEG＝∠FEB'+∠FEB＝60°，∴△OGE是等边三角形，∠OGE＝∠OEG＝60°，∵△GC'H与△GCH关于直线GH对称，∴∠OGH＝∠HGE＝，∴∠HGE＝∠FEB，∴PG＝PE，∴点P在GE的垂直平分线上，∴点P是△OGE的三条角平分线的交点，也是三条边的垂直平分线的交点，∴线段OQ、EM、GN将△OGE的面积六等分，∴S四边形OMPN＝2S△OPM＝△OGE＝△OGQ，在Rt△OGQ中，tan，∴GQ＝＝＝2，∴S四边形OMPN＝＝＝4，（3）结论：四边形EPC'Q是矩形，理由如下：如图3，设C'E与PQ交于点M，由折叠的性质可知：PQ是EE'的垂直平分线，PQ∥AD，∴，∴AP＝PE，C'M＝ME，∵△AB'E与△ABE关于直线AE对称，∴△AB'E≌△ABE，∴∠AE'B＝∠AEB＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠DAE＝∠AEB'，∴AC'＝EC'，∵AP＝PE，∴C'P⊥AE，∴∠C'PE＝90°，同理可得：∠CEQ＝∠QEC'＝，∠MQE＝∠QEC，∴∠QEC'＝∠MQE，∴ME＝MQ，∵C'M＝ME，∴C'M＝MQ，∴∠MC'Q＝∠MQC'，在△EQC'中，∠MC'Q+∠MQC'+∠MQE+∠QEM＝180°，∴∠MQE+∠MQC'＝90°，∴∠EQC'＝90°，∵∠BEB'+∠CEC'＝180°，∴∠AEB'+∠QEC'＝90°，∴∠PEQ＝90°，∴∠C'PE＝∠PEQ＝∠EQC'＝90°，∴四边形C'PEQ是矩形．【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形和之间三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性较强，要求学生有较强的识图能力．4．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到矩形AEFG，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G．（1）如图1，当点E恰好落在边CD上时，求EC的长；（2）如图2，当点C，E，F在一条直线上时，设AE与CD相交于点H，求DH的长；（3）如图3，设点P为边FG的中点，连接PB，PE，BE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图1中，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可解决问题；（2）根据HL即可证明△ACD≌△CAE，推出∠ACD＝∠CAE，推出AH＝HC，设AH＝HC＝m，在Rt△ADH中，根据AD2+DH2＝AH2，构建方程即可解决问题；（3）存在．连接PA，作AM⊥PE于M．当AM与AB共线，且BM＝BA+AM时，△BPE面积最大，利用S△APE＝S矩形AGFE＝PE•AM求出AM＝，再根据S△BPE＝PE•BM计算即可得出答案．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝4，∠D＝90°，∵矩形AEFG是由矩形ABCD旋转得到，∴AE＝AB＝6，在Rt△ADE中，DE＝＝＝2，∴CE＝6﹣2．（2）①证明：如图2中，连接AC，∵当点E落在线段CF上，∴∠AEC＝∠ADC＝90°，在Rt△ADC和Rt△AEC中，，∴Rt△ACD≌Rt△CAE（HL），∴∠ACD＝∠CAE，∴AH＝HC，设AH＝HC＝m，在Rt△ADH中，∵AD2+DH2＝AH2，∴42+（6﹣m）2＝m2，∴m＝，∴DH＝6﹣＝．（3）存在．理由：如图3中，连接PA，作AM⊥PE于M．当AM与AB共线，且BM＝BA+AM时，△BPE面积最大，由题意：PF＝PG＝3，∵AG＝EF＝4，∠G＝∠F＝90°，∴PA＝PE＝＝5，∵S△APE＝S矩形AGFE＝PE•AM，∴AM＝，则S△BPE＝PE•BM＝×5×（6+）＝27，∴△PBE的面积的最大值为27．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转（旋转角小于90度）得到矩形AEFG．（1）如图1，若在旋转过程中，点E落在对角线AC上，AF，EF分别交DC于点M，N，①求证：MA＝MC；②求MF的长；（2）如图2，在旋转过程中，若直线AE经过线段BG的中点P，连接BE，GE，求△BEG的面积．【分析】（1）①由矩形的性质得出AB∥CD，得出∠DCA＝∠BAC，由旋转的性质得：∠FAE＝∠BAC，证出∠DCA＝∠FAE，即可得出MA＝MC；②设MA＝MC＝x，则DM＝8﹣x，在Rt△ADM中，由勾股定理得出方程62+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝，在Rt△AEF中，由勾股定理得出AF＝＝10，得出MF＝AF﹣AM＝；（2）分情况讨论：①过点B作BH⊥AE于H，证明△HBP≌△AGP，得出AP＝HP，BH＝AG＝6，在Rt△ABH中，由勾股定理得出AH＝＝2，得出AP＝AH＝，得出PE＝AE﹣AP＝8﹣，得出△BEG的面积＝2△GPE的面积＝48﹣6；②同①得：AH＝2，AP＝，得出PE＝8+，得出△BEG的面积＝2△GPE的面积＝48+6即可．【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC，由旋转的性质得：∠FAE＝∠BAC，∴∠DCA＝∠FAE，∴MA＝MC；②解：设MA＝MC＝x，则DM＝8﹣x，在Rt△ADM中，62+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝，在Rt△AEF中，AF＝＝＝10，∴MF＝AF﹣AM＝，（2）解：分情况讨论：①如图2所示：过点B作BH⊥AE于H，则∠GAP＝∠BHP＝90°，在△HBP和△AGP中，，∴△HBP≌△AGP（AAS），∴AP＝HP，BH＝AG＝6，在Rt△ABH中，AH＝＝＝2，∴AP＝AH＝，∴PE＝AE﹣AP＝8﹣，∴△BEG的面积＝2△GPE的面积＝2××6×（8﹣）＝48﹣6；②在△HBP和△AGP中，，∴△HBP≌△AGP（AAS），∴AP＝HP，BH＝AG＝6，在Rt△ABH中，AH＝＝＝2，∴AP＝AH＝，∴PE＝8+，∴△BEG的面积＝2△GPE的面积＝2××6×（8+）＝48+6；综上所述，△BEG的面积为48﹣6或48+6．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、三角形面积、分类讨论等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．6．我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．（1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是④（填序号）；（2）如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G，连AG、EG．①求证：四边形ABEG是“神奇四边形”；②如图2，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点．试判断四边形MNPQ是不是“神奇四边形”；（3）如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB'＝2，正方形的边长为6，求线段OF的长．【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论；（2）①证△ABE≌△BCG（ASA），得AE＝BG，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论；②由三角形中位线定理得出MN＝PQ，MQ＝NP，则四边形MNPQ为平行四边形，再证四边形MNPQ是正方形，则可得出结论；（3）延长AO交BC于S，由勾股定理求出AO的长，设AF＝x，则BF＝B'F＝6﹣x，再由勾股定理得22+（6﹣x）2＝x2，解得x＝，即可解决问题．【解答】（1）解：∵平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等，∴正方形是“神奇四边形”，故答案为：④；（2）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABG+∠CBG＝90°，∵BG⊥AE，∴∠BAE+∠ABG＝90°，∴∠BAE＝∠CBG，在△ABE和△BCG中，，∴△ABE≌△BCG（ASA），∴AE＝BG，又∵BG⊥AE，∴四边形ABEG是“神奇四边形”；②解：四边形MNPQ是“神奇四边形”，理由如下：∵M，N为AB，AG的中点，∴MN为△ABG的中位线，∴MN∥BG，MN＝BG，同理：PQ∥BG，PQ＝BG，MQ∥AE，MQ＝AE，NP∥AE，NP＝AE，∴MN＝PQ，MQ＝NP，∴四边形MNPQ为平行四边形，∵AE＝BG，∴MN＝MQ，∴平行四边形MNPQ为菱形，∵BG⊥AE，MQ∥AE，∴MQ⊥BG，∵MN∥BG，∴MQ⊥MN，∴∠QMN＝90°，∴四边形MNPQ为正方形，∴四边形MNPQ是“神奇四边形”；（3）解：如图3，延长AO交BC于S，由翻折的性质可知，BF＝B'F，AB'＝BS＝2，AO＝SO，∠B'＝∠B，∵四边形ABCD是正方形，边长为6，∴AB＝6，∠B＝90°，∴AS＝＝＝2，∠B'＝∠B＝90°，∴AO＝AS＝，设AF＝x，则BF＝B'F＝6﹣x，在Rt△AB'F中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，∴x＝，∴AF＝，∵AO⊥FR，∴∠AOF＝90°，∴OF＝＝＝，即线段OF的长为．【点评】本题属于四边形综合题，考查了新定义“神奇四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，本题综合性强，理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题．7．综合与实践【问题情境】数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片ABCD先沿EF折叠．【特例探究】（1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为D′，折痕与边AD，BC分别交于点E，F．四边形AECF的形状为菱形，请说明理由；（2）如图2，若点F为BC的中点，AD＝2AB，45°＜∠EFC＜90°，延长D'C'交AB于点P．求PC′与PB的数量关系，并说明理由；【深入探究】（3）如图3，若AB＝3，AD＝6，BF＝1，连接C'E，当点E为AD的三等分点时，直接写出的值．【分析】（1）先由矩形的性质得AD∥BC，则∠AEF＝∠CFE，再由折叠的性质得AF＝CF，∠AFE＝∠CFE，推出∠AEF＝∠AFE，AE＝CF，即可证得四边形AECF是平行四边形，进而得出平行四边形AECF为菱形；（2）连接PF，先证∠PC'F＝90°，C'F＝BF，再证Rt△PC'F≌Rt△PBF（HL），即可得出结论；（3）分两种情况：①若点E为AD的三等分点，且AE＝2DE，②若点E为AD的三等分点，且DE＝2AE，再由矩形性质和折叠的性质以及勾股定理即可得出答案．【解答】解：（1）四边形AECF为菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE，由折叠的性质得：AF＝CF，∠AFE＝∠CFE，∴∠AEF＝∠AFE，∴AF＝AE，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AF＝CF，∴平行四边形AECF为菱形，故答案为：菱形；（2）PC′与PB的数量关系为：PC'＝PB，理由如下：如图2，连接PF，∵F为BC的中点，∴BF＝CF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质得：CF＝C'F，∠C＝∠D'C'F＝90°，∴∠PC'F＝90°，C'F＝BF，在Rt△PC'F和Rt△PBF中，，∴Rt△PC'F≌Rt△PBF（HL），∴PC'＝PB；（3）分两种情况：①如图3，若点E为AD的三等分点，且AE＝2DE，∵AD＝6，∴AE＝4，DE＝2，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，∠A＝∠B＝∠D＝90°，过点E作EM⊥BC于M，则四边形ABME为矩形，∴BM＝AE＝4，EM＝AB＝3，∠EMF＝90°，∴FM＝BM﹣BF＝4﹣1＝3，在Rt△EMF中，由勾股定理得：EF＝＝＝3，由折叠的性质得：DE＝D'E＝2，C'D'＝CD＝3，∠D＝∠D'＝90°，在Rt△C′D′E中，由勾股定理得：C'E＝＝＝，∴＝＝；②如图4，若点E为AD的三等分点，且DE＝2AE，则DE＝4，AE＝2，过点E作EN⊥BC于N，则∠ENF＝90°，同理可得：FN＝1，EN＝3，在Rt△ENF中，EF＝＝＝，由折叠的性质得：DE＝D'E＝4，C'D'＝CD＝3，∠D＝∠D'＝90°，在Rt△C′D′E中，由勾股定理得：C'E＝＝＝5，∴＝，综上所述，的值为或．【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．8．【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′、E′．【问题解决】：（1）如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上，求此时CB′的长；（2）若α＝90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交DE′于点F，①试判断四边形AEFE′的形状，并说明理由；②连接CE，求CE的长；（3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE′长度的取值范围．【分析】（1）由勾股定理得AB＝2，再由正方形的性质得AC＝AB＝2，然后由旋转的性质得AB'＝AB＝2，即可求解；（2）①由旋转的性质得AE'＝AE，∠EAE'＝α＝90°，∠AE'D＝∠AEB＝90°，再证四边形AEFE′是矩形，即可得出结论；②过点C作CG⊥BE于点G，证△BCG≌△ABE（AAS），得CG＝BE＝4，BG＝AE＝2，则EG＝BE﹣BG＝2，再由勾股定理求解即可；（3）点E'的运动轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆上，则CE'的最小值为2﹣2；当E'落在CA的延长线上时，AE'＝AE＝2，CE'最长＝AC+AE'＝2+2，即可得出答案．【解答】解：（1）∵AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，∴AB＝＝＝2，∵四边形ABD是正方形，∴BC＝AB＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝AB＝2，由旋转的性质得：AB'＝AB＝2，∴CB′＝AC﹣AB'＝2﹣2；（2）①四边形AEFE′是正方形，理由如下：由旋转的性质得：AE'＝AE，∠EAE'＝α＝90°，∠AE'D＝∠AEB＝90°，∵∠AEF＝180°﹣90°＝90°，∴四边形AEFE′是矩形，又∵AE'＝AE，∴四边形AEFE′是正方形；②过点C作CG⊥BE于点G，如图3所示：则∠BGC＝90°＝∠AEB，∴∠CBG+∠BCG＝∠CBG+∠ABE＝90°，∴∠BCG＝∠ABE，在△BCG和△ABE中，，∴△BCG≌△ABE（AAS），∴CG＝BE＝4，BG＝AE＝2，∴EG＝BE﹣BG＝4﹣2＝2，∴CE＝＝＝2；（3）∵点E'的运动轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆上，∴CE'的最小值为2﹣2，当E'落在CA的延长线上时，AE'＝AE＝2，CE'最长＝AC+AE'＝2+2，∴线段CE′长度的取值范围是2﹣2≤CE'≤2+2．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明△BCG≌△ABE是解题的关键，属于中考常考题型．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG．（1）如图1，若在旋转过程中，点E落在对角线AC上，AF，EF分别交DC于点M，N．①求证：MA＝MC；②求MN的长；（2）如图2，在旋转过程中，若直线AE经过线段BG的中点P，连接BE，GE，求△BEG的面积．【分析】（1）①由矩形的性质得出AB∥CD，得出∠DCA＝∠BAC，由旋转的性质得：∠FAE＝∠BAC，证出∠DCA＝∠FAE，即可得出MA＝MC；②设MA＝MC＝x，则DM＝8﹣x，在Rt△ADM中，由勾股定理得出方程62+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝，在Rt△AEF中，由勾股定理得出AF＝＝10，得出MF＝AF﹣AM＝，证出∠AFE＝∠CNE＝∠MNF，得出MN＝MF＝即可；（2）分情况讨论：①过点B作BH⊥AE于H，证明△HBP≌△AGP，得出AP＝HP，BH＝AG＝6，在Rt△ABH中，由勾股定理得出AH＝＝2，得出AP＝AH＝，得出PE＝AE﹣AP＝8﹣，得出△BEG的面积＝2△GPE的面积＝48﹣6；②同①得：AH＝2，AP＝，得出PE＝8+，得出△BEG的面积＝2△GPE的面积＝48+6即可．【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC，由旋转的性质得：∠FAE＝∠BAC，∴∠DCA＝∠FAE，∴MA＝MC；②解：设MA＝MC＝x，则DM＝8﹣x，在Rt△ADM中，62+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝，在Rt△AEF中，AF＝＝＝10，∴MF＝AF﹣AM＝，∵∠AEF＝∠CEN＝90°，∴∠MCA+∠CNE＝∠MAC+∠AEF＝90°，又∵∠MCA＝∠MAC，∴∠AFE＝∠CNE＝∠MNF，∴MN＝MF＝；（2）解：分情况讨论：①如图2所示：过点B作BH⊥AE于H，则∠GAP＝∠BHP＝90°，在△HBP和△AGP中，，∴△HBP≌△AGP（AAS），∴AP＝HP，BH＝AG＝6，在Rt△ABH中，AH＝＝＝2，∴AP＝AH＝，∴PE＝AE﹣AP＝8﹣，∴△BEG的面积＝2△GPE的面积＝2××6×（8﹣）＝48﹣6；②如图3所示：同①得：AH＝2，AP＝，∴PE＝8+，∴△BEG的面积＝2△GPE的面积＝2××6×（8+）＝48+6；综上所述，△BEG的面积为48﹣6或48+6．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、三角形面积、分类讨论等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．10．如图（1），矩形OABC的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（10，6），点P是射线BA上的一动点，把矩形OABC沿着CP折叠，点B落在点D处．（1）当点C、D、A共线时，AD＝2﹣10；（2）如图（2），当点P与点A重合时，CD与x轴交于点E，过点E作EF⊥AC，交BC于点F，请判断四边形CEAF的形状，并说明理由；（3）若点D正好落在x轴上，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）由矩形的性质得OA＝BC＝10，AB＝OC＝6，再由翻折的性质得到CD＝CB＝5，根据勾股定理可以求出AC的长，然后由点C、D、A共线时，可知AD＝AC﹣CD，即可求解；（2）先证△CGF≌△AGE（AAS），得AG＝CG，再证四边形CEAF是平行四边形，然后由EF⊥AC，即可得出结论；（3）分两种情况，①点D在x轴正半轴上时，根据勾股定理列方程可得PA的长，即可得出结论；②当D在x轴的负半轴上时，根据勾股定理列方程可得PA的长，即可得出结论．【解答】解：（1）如图（1），∵四边形OABC是矩形，点B坐标为（10，6），∴∠ABC＝90°，OA＝BC＝10，AB＝OC＝6，由勾股定理得：AC＝＝＝2，由折叠的性质得：DC＝BC＝10，当点C、D、A共线时，AD＝AC﹣DC＝2﹣10，故答案为：2﹣10；（2）四边形CEAF是菱形，理由如下：如图（2），设EF交AC于G，由折叠的性质得：∠FCA＝∠ECA，FG＝EG，∵四边形OABC是矩形，∴BC∥OA，∴∠FCG＝∠EAG，∵∠CGF＝∠AGE，∴△CGF≌△AGE（AAS），∴AG＝CG，∴四边形CEAF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴平行四边形CEAF是菱形；（3）分两种情况：①如图（3），点D在x轴正半轴上时，∵四边形OABC是矩形，∴∠OAB＝∠ABC＝90°，由折叠的性质得：DC＝BC＝10，∠PDC＝∠B＝90°，PD＝PB，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝＝8，∴AD＝OA﹣OD＝10﹣8＝2，设PA＝x，则PB＝PD＝6﹣x，在Rt△ADP中，由勾股定理得：22