2024年北京市中考数学一轮模拟试题（基础卷）（含解析）

2024年北京市中考数学一轮模拟试题（基础卷）

学校:.

题号一二三总分

得分

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

一个正整数。，与其倒数工，相反数比较,

1.大小关系正确的是（)

a

1111

A.—>a>—aB.一〃<一<uC.—〃<一<〃D.—Q«—<〃

aaaa

2.下列运算正确的是（）

A.-(a-l)=-a-lB.—2(a—1)=—2a+1

C.a—a—ciD.—5矿+34=—2a~

3.班级元旦晚会，同学们互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了1560件小礼物，如果参加这次聚会的

人数为方根据题意可列方程为（）

A.x(x+1)=1560B.x(x-l)=1560x2

C.2x(x+1)=1560D.x(x-l)=1560

4.若x=l是关于龙的不等式2x+a<2的一个整数解，则a的取值可以是()

A.-1B.0C.1D.2

5.下列点在第四象限的是()

A.(1,2)B.(-2,2)C.(1,-2)D.(0,-2)

6.已知点（-2,%）,（3,必）都在直线y=-2x+l上,则%与必的大小关系为（）

A.B.%=%C.yY<y2D.无法比较

7.如图，ABC是等边三角形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，交AC于点E、F.再分别以从尸为圆

心，大于长为半径画弧，两弧交于点D连接交AC于点G,ZABG度数为（）

1

C.25°D.30°

8.杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形.该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，

此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）3.2m,拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为2m,则此桥拱的

半径是（）

A.1.62mB.1.64mC.1.14mD.3.56m

二、填空题

9.如图，等边45c纸片中，AB=4,。是A3边的中点，E是边上一点现将△3DE沿DE折叠，得98力£，

连接CB',则CB'长度的最小值为

10.如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的

2

11.日常生活中主要运用"十进制"数，而"十六进制”广泛应用于电子技术、计算机编程等领域.十六进制在数

学中是一种“逢16进1"的进位制，一般用数字。到9和字母A到F表示，其中用A,B,C,D,E,F分别表示

10,11,12,13,14,15.如(2AF5)16表示十六进制数，将它转换成十进制形式是

2x163+10x162+15x161+5x160=10997,那么将十进制数2020转换成十六进制数表示为.

12.平面直角坐标系中，若点P(x,y)的坐标满足等式(x-4)2+|y-5|=0,则点P关于y轴对称点。的坐标

为.

fx—y=3,

13.若关于的方程组c:。，的解满足x+y=2024,贝1%的值为___.

[2x+4y=3左

14.(1)如图①，在平面直角坐标系中，44,0)、8(0,-3),以点8为圆心、2为半径的8上有一动点P.连

接AP,若点C为AP的中点，连接OC,则OC的最小值为.

(2)如图②，点A、8的坐标分别为42,0)、3(0,2),点C为坐标平面内一点，BC=1,点M为线段AC的

中点，连接。河，则的最大值为.

15.在平面直角坐标系xQv中，4(占,乂)，3(々，%)是抛物线y=-(x-"?)2+"上任意两点，若对于

。<玉<2,2<%<4,都有％<%，则m的取值范围为.

16.如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后点。恰好落在

边OC上的点尸处.若点。的坐标为(5,4),则点尸的坐标为.

三、解答题

17.计算：2tan60O-|2-6|+配.

3

18.解方程：X2-2X+4=0.

19.如图，一ABC是等腰直角三角形，ABAC=90°,。是AB的中点，连接CO,E是BC上的一动点，连接AE,

并将AE绕A逆时针旋转45。交于足

(1)如图1,若AELCD,垂足为G,

①求tan/C4G的值；

②连接BG,求N3GE的度数；

(2)如图2,连接收，若NAFE=90。，求证：尸是8的中点.

4

20.为弘扬中华优秀传统文化，某地中学根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机抽取了部分同

学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两个不完整的统计图，请根据统计图的信息，回答下

列问题：

⑴学校这次调查共抽取名学生;

⑵补全条形统计图；

⑶设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢国画.

21.如图，长方形Q4BC在平面直角坐标系中，其中A（6,0）,C（0,4）,点E是的中点，动点尸从。点出发,

以每秒1cm的速度沿O-A-3-E运动，最终到达点E,若点尸运动的时间为x秒，

5

⑴当尤=2秒时，求，OPE的面积；

⑵当OPE的面积等于5cm2时，求P点坐标.

⑶当OPE为等腰三角形时，求x的值.

22.如图，在中，AC=BC,ZACB=90°,。为边AC上一点，CE_LBQ于E,连接AE并延长交BC于

F.

(1)若CE=2,DE=1,求的长；

(2)若AD=DC,求证：NCEF=45°.

(3)^AD=DC,求芸的值.

23.有一些代数问题，我们也可以通过几何方法进行求解，例如下面的问题:

已知：a>b>0,求证：^^->4ab.

经过思考，小明给出了几何方法的证明，如图:

6

①在直线/上依次取BC=b；

②以AC为直径作半圆，圆心为。；

③过3点作直线/的垂线，与半圆交于点。，连接

(1)连接AD,CD,由作图的过程判断，ZADC=90°,其依据是二

(2)根据作图过程，试求线段3D、OD(用。，匕的代数式表示)，请写出过程；

(3)由可知3ZXOD,其依据是一，由此即证明了这个不等式.

24.石阡是“中国苔茶之乡”，是茶树的原产地之一，有千年的茶叶栽种历史.某次茶艺比赛中指定使用的饮水

机4分钟就可以将20℃的饮用水加热至UlOOC.此后停止加热，水温开始下降.如图所示，已知整个下降过程

中水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系.

⑴在水温下降过程中，求y与x的函数解析式；

⑵比赛组织方要求，参赛选手必须把组织方提供的20℃的饮用水用该款饮水机加热到100℃,然后降温到80℃

方可使用.求从饮水机加热开始，到可以使用需要等待多长时间？

参考答案:

1.C

7

【分析】当。=1时，--1,当”>1时，0<1<1,据此即可得到。与工的大小关系；接下来，根据-4<。，

aaQ

结合上述结论即可解答.

【详解】解：由。为正整数，得一。<0,->0,

a

当a=l时，—=1,

a

当a>l时，

a

所以。WQ,

a

综上所述，-a<—<a

a

故选：C.

【点睛】本题考查有理数比较大小，熟记绝对值、相反数的性质是关键.

2.D

【分析】本题主要考查整式的加减运算法则：（1）有括号，先去括号；（2）有同类项，合并同类项.还需注意

的是如果括号前面是减号，那么去括号时括号里面的加减号要变号.本题主要利用整式的加减运算法则依次进

行判断.

【详解】解：A.-（a-l）=-。+1,此选项错误，不符合题意；

B.-2（a-l）=-2a+2,此选项错误，不符合题意；

C./和〃2不是同类项，不能合并，此选项错误，不符合题意；

D.-5a2+3a2=-2a2,此选项正确，符合题意.

故选：D.

3.D

【分析】本题考查了列方程（一元二次方程）问题，关键在于发现礼物总数等于人数乘以每人送出（或收到）

礼物数的积.每个人送礼物除了不送给自己其他人都有一件，故礼物总数为：人数x（人数-1）即可得出对应

方程.

【详解】解：设有x人参加聚会，则每人送出（》-1）件礼物，

由题意列方程得：M无-1）=1560.

故选：D.

4.A

【分析】本题考查了不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键.解不等式应根据不等式的

8

基本性质.

首先解不等式求得不等式的解集，然后根据已知条件即可得到一个关于a的不等式，求得a的值.

【详解】解：解不等式2x+a<2得：乂<售,

.x=l是不等式2x+“<2的一个正整数解，则=>1,a<0,

2

故答案为：A.

5.C

【分析】根据坐标系中象限的特征可进行求解.

【详解】解：由题意得：点的坐标在第四象限符合(+,-)，所以只有C选项符合题意；

故选C.

【点睛】本题主要考查平面直角坐标系象限中点的坐标，熟练掌握象限中点的坐标特征是解题的关键.

6.A

【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握求函数值的方法是解题的关键.分别求出m与巴的

值即可比较大小.

【详解】解:将点(-2,乂),(3,%)代入直线了=-2》+1,

得％=-2x(-2)+1=5,

%=-2x3+1——5,

•••%>%・

故选：A.

7.D

【分析】由作图方法可知，是断的垂直平分线，则根据等边三角形的性质可得NA3G=g/A8C=30。.

【详解】解：由作图方法可知，8。是所的垂直平分线，

BGYAC,

■■■A5c是等边三角形，

ZABC=60°,

ZABG=-ZABC^30°,

2

故选D.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键.

9

8.B

【分析】该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、

推理或解答.设圆心为。，作于点。，的延长线交圆弧为点C,设半径为Rn,根据垂径定理得

AD=BD=l.6m,OD=(2-R)m,由勾股定理得：7?2=1.62+(2-7?)2,即可求出答案.

【详解】解：如图，设圆心为。，作于点O,。。的延长线交圆弧为点C,则C为优弧A3的中点，

设半径为Rm,

AD=BD=—AB=1.6m,CD=2m,

2

/.OD=(2-R)m,

由勾股定理得：OA1=OD2+AD~,

:.R2=1.62+(2-«)2,

解得：R=L64,

故选：B.

9.2若-2/-2+2g

【分析】本题考查了等边三角形的性质，翻折变换(折叠问题)，根据等边三角形"三线合一”的性质，连接8,

就可以求出。的长，根据已知条件得到当廿在8上时，CB'长度的最小，再根据折叠的性质得到。笈=03,

于是可得到结论，解题的关键是熟练掌握知识点的应用.

【详解】连接8,

ABC是等边二角形，。是AB边的中点，

/.CDVAB,AB=CD=4,DB=-AB=4

2f

,•,将△5。£沿。石折叠，得八RDE,连接C8,

10

二当方在8上时，CR长度的最小，

DB=DB=2,

在RtACDB中，由勾股定理得CD=y/BC2-BD2=A/42-22=243，

8=2石-2,

•CB'长度的最小值为2退-2,

故答案为：2&2.

10.9小时

【分析】本题考查了中位数的定义，根据中位数的定义可知将40位同学锻炼时间从小到大排序后，第20位

同学和第21位同学的平均数即是中位数.

【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列后，第20位同学和第21位同学的平均数为7=9(小时),

即中位数为9小时，

故答案为：9小时.

11.(7E4)16

【分析】由于十六进制"逢16进1"的进位制，据此把2020先化成7x162+14x161+4x16。，则可得出结果.

21

【详解】解：2020=7X16+14X16+4X160=(7E4)i6.

故答案为:(7E4)16.

【点睛】本题考查十进制和十六进制之间的转换.

12.(-4,5)

【分析】根据非负式子和为o,它们分别等于o求出P(%y),结合轴对称求解即可得到答案；

【详解】解：,-5上0,(X-4)2>0,(x-4)2+|y-5|=0,

y-5=0,%—4=0,

解得：x=4,y=5,

点。是点P关于y轴对称点，

。(-4,5),

故答案为：(-4,5)；

【点睛】本题考查非负式子和为0,它们分别等于0及关于y轴对称的点y不变x互为相反数.

13.2023

【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解二元一次方程的解的定义是解题关键.用加减消元计算即可.

11

【详解】解：关于羽丁的方程组.“„.

[2元+4y=3左

方程彳一＞=3与方程2x+4y=3左相力口得，3x+3y=3+3k,

x+y=1+k,

,x+y=2024,

.*.1+^=2024,

:.k=2023,

故答案为：2023.

14.--\/2+—

22

【分析】（1）连结A3,取AB的中点。，连结8,OD,根据三角形的中位线定理得CD=1,则点C在以定

点。为圆心，1为半径的圆上运动，所以当点C运动到线段0。上时，OC的值最小，求出0。的长，即得OC

的最小值；

（2）连结A3,取AB的中点。，连结DM,OD,根据三角形的中位线定理得。M,则点M在以定点。

为圆心，!■为半径的圆上运动，所以当点加运动到线段0。的延长线上时，31的值最大，求出的长，即

得OA1的最大值.

【详解】（1）连结取A3的中点。，连结8,OD,

C为AP的中点，

:.CD=-BP=l

2f

所以点。在以定点。为圆心，1为半径的圆上运动,

QZAOB=90°,Q4=4,OB=3,

:.AB=doN+OB2=5,

:.OD=-AB=-,

22

12

53

所以当点C在线段。D上时，0C的值最小，最小值为”可

3

故答案为：—.

（2）连结A3,取A3的中点。，连结DAf,0D,

M为AC的中点，

:.DM=-BC=~,

22

所以点〃在以定点。为圆心，1为半径的圆上运动，

QZAOB=90°,04=2,OB=2,

AB=VOA2+OB2=20，

:.OD=-AB=42,

2

所以当点M运动到线段。。的延长线上时，。河的值最大，最大值为血+!；

故答案为：夜+g.

【点睛】本题考查了图形与坐标，圆的定义，三角形中位线定理，求圆外一点到圆上点的距离的最值，熟练掌

握相关知识是解答本题的关键.

15.m>3/3<m

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出A（4M）,B（x2,y2）

的中点在对称轴左侧，再根据对称性求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键.

【详解】•「抛物线>=一（工一根）2+〃，

.对称轴为直线x=m,

,/0<X,<2,2<x2<4,

1x.+x2.

..1<2<3,Xj<x2,

13

%〈必，a<0,

离对称轴更近，

二人（西,乂），3（%,%）的中点在对称轴左侧，

X,

———-<m,

2

m>3,

故答案为：加23.

16.（3,0）

【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用勾股定理列出关于x的方程是解题的关键.根

据折叠的性质得到AF=AD,所以在直角AO/中，利用勾股定理求得O尸=3,即可得点尸的坐标.

【详解】解：.••四边形AOCD为长方形，。的坐标为（5,4）,

.-.AD=OC=5,DC=AO=4,

长方形沿AE折叠，使。落在BC上的点尸处，

:.AD=AF=5,DE=EF,

在RtAOF中，OF=^AF--AO1=3,

；•点歹的坐标为（3,0）.

故答案为：（3,0）.

17.55/3-2

【分析】本题考查特殊角的锐角三角函数值，二次根式的混合运算，以及实数的混合运算，掌握特殊角的锐角

三角函数值和实数的混合运算法则，即可解题.

【详解】解：2tan60o-|2-^3|+712

=2X^-（2-A/3）+2A/3

=4A/3-2+A/3

=5^-2.

18.无实数根

【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法步骤，即可解题.

14

【详解】解：x2—2x+4=0

a=l,6=-2,c=4,

X/72-4ac=(-2)2-4x1x4=-12<0,

，该方程无实数根.

19.(1)①2；②45。

⑵见解析

【分析】（1）①通过三角形内角和定理证明NADC=NC4G,再根据等腰三角形的性质和中点的定义得出

AD=^AB=^AC,即可求解；②过点8作交AE延长线于点M,通过证明ABM^G4G（AAS）,

利用全等三角形的性质得出AG=BM,CG=AM,再根据正切值进行证明即可；

（2）假设E4=PC,由已知E4=FE,只要证明/C=EE,假设即可成立，利用三角形的内角和定理及等边

对等角进行证明即可.

【详解】（1）①；ZR4c=90。，AELCD,

ZBAC=90°=ZAGC,

ZACD+ZADC=90°=ZACG+ZCAG,

：.ZADC=ZCAG,

ABC是等腰直角三角形，。是AB的中点，

AD=-AB=-AC,

22

Ar

tanZCAG-tanZADC=——=2；

AD

②过点B作交AE1延长线于点M,

/.ZM=900=ZAGC9

•/ZBAC=90°=ZAGC,

ZBAM+ZCAG=90°=ZACG-^-ZCAG,

/.ZBAM=ZACGf

15

-/AB=AC,

ABA/^C4G(AAS),

/.AG=BM,CG=AM,

tanNCAG=——=2,

AG

：.GM=BM,

/.NBG石=45。；

(2)•/ZAFE=90°,ZEAF=45°,

ZAEF=45°=ZEAF,

FA=FE,

假设E4=FC,已知E4=庄，

「•证明/C=EE,假设即可成立，

FA=FC,

/.ZCAF=ZACFf设NC4F=NACF=%，

「ABC是等腰直角三角形，

ZACB=45°,ABAC=ZACD+ZADC=90°=ZCAF-^-ZFAD,

ZCEF=1800-ZFAE-ZFEA-ZACE=45o-x,ZECF=45°-X

・•.ZCEF=ZECFf

・•.FC=FE,即假设成立，

ZADC=ZFAD,

/.AF=DF,

CF=DF,即尸是CO的中点.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，反

证法，熟练掌握知识点，添加适当的辅助线是解题的关键.

20.(1)100；

(2)补全条形统计图见解析；

⑶估计该校有500名学生喜欢书法.

【分析】(1)用〃戏曲〃的人数除以其所占百分比可得；

(2)用总人数乘以〃民乐〃人数所占百分比求得其人数，据此即可补全图形；

16

(3)用总人数乘以样本中"书法"人数所占百分比可得；

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的

关键.

【详解】(1)学校本次调查的学生人数为：104-10%=100(名)，

故答案为：100；

(2)"民乐"的人数为100x20%=20人，补全图形如下：

(3)估计该校喜欢书法的学生人数为：2000*25%=500名,

答：估计该校有500名学生喜欢书法.

21.(l)4cm2

⑵修或(刿

25

(3)6或5sK—

6

【分析】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的定义，长方形的性质和三角形的面积公式的应用，一元一次方

程的应用，分类讨论是解题的关键.

(1)利用三角形面积公式即可求解；

(2)分三种情况，分别画出图形，利用三角形的面积公式进行计算解答即可；

(3)分OE=PE,OE=OP,OP=PE三种情况讨论即可.

【详解】(1)解：4(6,0),C(0,4),

/.AO=6,CO=4,

•••四边形Q4BC是长方形,

17

BC=OA=6,AB=OC=4,

当九=2秒时，（9P=2xl=2cm,

.OPE的面积为gx2x4=4cm2；

（2）解：分三种情况讨论，

①如图，

当尸在。4上时，0<x<6,

OPE的面积等于5cm2,

-%-4=5,

2

解得尤=g,

.P点坐标为（I"，。）；

②当尸在AB上时，6<x<10,如图,

■.・点E是8C中点,

CE=BE=3

OPE的面积等于5cm2,

矩形OABC-SAOP-SQCE~SEBP=，

18

解得九=左(不符合题意，舍去);

③当尸在BE上时，10<x<13,如图,

11

CP=6+4+6-—=

2~2

二点尸的坐标为［2，4)

综上可知，当一OPE的面积等于5cm2,尸点坐标为［|，。［或［£,4

(3)解：由勾股定理，得OEAOC+CE?=5,

①当尸E=OE=5时,

连接4E,

则AE=-JAB2+BE2=5，

二P和A重合，

x=6+l=6；

②当OP=OE=5时，此时点尸在AB上,

%=5+1=5,

19

③当OP=PE=x时,

过E作于H

则O"=CE=3,EH=OC=4,

：.HP=x-3,

：.x1=(X-3)2+42,

解得％=后25,

o

25

综上，当。夕£为等腰三角形时，x的值为6或5或3.

6

22.(1)5

⑵见解析

【分析】(1)证明一CEDsBEC,列出比例式求出篦的长，进而求出5。的长即可；

(2)延长C£至点G,CE=EG,连接AG,证明AGC”CEB,进而得到AG=CE=EG,得到-AGE是等

腰直角三角形，进而得到Z4£G=45。，对顶角相等，即可得证；

(3)取AF的中点”，连接利用中位线定理，得到工归〃CE,证明一DHE^^BHF,列

出比例式进行求解即可.

【详解】(1)解：；ZACB=90°,CELBD,

ZCED=ZCEB=90°=ZBCD,

ZCBE=ZDCE=90°-ZBCE,

/.一CEDsBEC,

CEDE目口

,*—-=~即：CE?9=BEDE,

22=BE

20

即：BE=4,

：BD=BE+DE=4+1=5；

(2)证明：延长CE至点G,CE=EG,连接AG,

,/AD=CD,

/.AG//DE,

/.ZAGE=NCED=NCEB=90。,

,/ZACE+ZBCE=ZACE-^-ZCAG=90°,

/.ZBCE=ZCAG,

又二AC=BC,

•.—AGC'CEB,

/.AG=CE=EG,

/.ZAEG=ZGAE=45°f

/./CEF=45。；

(3)取AF的中点“，连接

,/AD=CD,

/.DH//BC,

/.ADHs&ACF,.DHES-BHF,

.ADAH_1HEDE

''~AC~~AF~2,~EF~~B