第7.3.1讲离散型随机变量的均值（原卷版）新高二数学宝典（人教A版选修第三册）

第七章随机变量及其分布第7.3.1讲离散型随机变量的均值班级_______姓名_______组号_______1．通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值．2．掌握两点分布的均值．3．会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题．1、离散型随机变量的均值2、离散型随机变量的均值的性质3、综合应用一、离散型随机变量的均值1．定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，Xx1x2…xnPp1p2…pn则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．2.意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．3．两点分布的均值一般地，如果随机变量服从两点分布，那么E(X)＝p．离散型随机变量均值的性质均值的性质(1)若X为常数c，则E(X)＝C．(2)如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝aXi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1，2，3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b．题型1、离散型随机变量的均值1．有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望（

）A． B． C． D．2．从120中随机抽取3个数，记随机变量为这3个数中相邻数组的个数.如当这三个数为11，12，14时，；当这三个数为7，8，9时，.则的值约为（

）A．0.22 B．0.31 C．0.47 D．0.533．从120中随机抽取3个数，记随机变量为这3个数中相邻数组的个数．如当这三个数为11，12，14时，；当这三个数为7，8，9时，．则的值为（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.54．暗箱中有编号为1，2的2个球，现从中随机摸1个球，若摸到2号球，则得2分，并停止摸球；若摸到1号球，则得1分，并将此球放回，重新摸球．记摸球停止时总得分为X，则（

）A．3 B．4 C．5 D．65．一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用表示取出球的最大编号，则（

）A．2 B．3 C． D．求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；(2)求概率：求X取每个值的概率；(3)写分布列：写出X的分布列；(4)求均值：由均值的定义求出E(X).其中准确写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键．题型2、离散型随机变量的均值的性质6．已知随机变量X的分布列如下：X－101P设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是（

）A．－ B． C． D．－7．已知随机变量X的分布列为X123P且，若，则等于（

）A． B． C． D．8．随机变量的概率分布为1240.40.30.3则等于（

）A．11 B．15 C．35 D．399．元宵节庙会上有一种摸球游戏：布袋中有15个大小和形状均相同的小球，其中白球10个，红球5个，每次摸出2个球．若摸出的红球个数为，则（

）A． B． C． D．10．若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（

）A． B．C． D．与离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数，则一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ).题型3、综合应用11．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若，则随机变量X的均值（

）A． B．C． D．12．已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（

）A． B．C． D．13．已知随机变量满足，且．令随机变量，则（

）A． B．C． D．和大小不确定14．在单项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25.为了减少随机选择也得分的影响，某次考试单项选择题采用选错扣分的规则，选对得6分，选错扣分.若随机选择时得分的均值为0分，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．415．设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，4．．又的数学期望，则（

）A． B． C． D．一、单选题1．已知随机变量的分布为，则（

）A． B． C． D．无法确定2．已知随机变量的分布列为，、、，则随机变量的期望为（

）A． B． C． D．3．下列说法正确的是（

）A．离散型随机变量的均值是上的一个数B．离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平C．若离散型随机变量的均值，则D．离散型随机变量的均值4．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（

）A．36元 B．37元 C．38元 D．39元5．已知离散型随机变量的期望，则等于（

）A．1 B．2 C．3 D．46．某实验测试的规则如下：每位学生最多可做3次实验，一旦实验成功，则停止实验，否则做完3次为止.设某学生每次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验的成功概率是失败概率的2倍.若记一次试验中成功的次数为X，则随机变量X的数学期望为（

）A． B． C． D．8．一个盒子中装有白色乒乓球4个，橘黄色乒乓球2个.现从盒子中任取2个乒乓球，记取出的2个乒乓球的颜色为橘黄色的个数为X，则（

）A．1 B．2 C． D．9．设随机变量X的分布列为(k＝1，2，3，4)，则（

）A． B． C． D．10．2022年7月24日14时22分，搭载我国首个科学实验舱问天实验舱的长征五号B遥三运载火箭成功发射，令世界瞩目．为弘扬航天精神，M大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品．为鼓励学生积极参加，学校后勤部给予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50元的奖品，参加了复赛的学生再奖励100元的奖品．现有A，B，C三名学生报名参加了这次竞赛，已知A通过初赛、复赛的概率分别为，；B通过初赛、复赛的概率分别为，，C通过初赛和复赛的概率与B完全相同．记这三人获得后勤部的奖品总额为X元，则X的数学期望为（

）A．300元 B．元 C．350元 D．元二、多选题11．设随机变量X的可能取值为1，2，…，n，并且取1，2，…，n是等可能的．若，则下列结论正确的是（

）．A． B． C． D．12．随机变量和，其中，且，若的分布列如表：X1234Pmn则下列正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题13．已知离散型随机变量的概率分布如下表，则其数学期望；P14．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围是四、解答题15．袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X．(1)求的值；(2)求随机变量X的分布列和数学期望．16．（1）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中随机的抽取出两个数字，记两个数字的和为X．（i）求X的分布列；（ii）求X的数学期望．（2）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中随机的抽取出三个数字，记