广东省深圳市2023-2024学年高二年级下册第一次月考数学试题（含答案解析）

广东省深圳市北京师范大学南山附属学校2023-2024学年高

二下学期第一次月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.直线4：ax+3y+2a=。与直线/?：2x+（a—l）y+（。+1）=。平行，则“4〃4"是"a=—2”

的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要

2.下列说法不正确的是（）

A.直线＞=依-3。+2（4€11）必过定点（3,2）

B.直线y=3尤-2在y轴上的截距为_2

C.直线JL+y+l=O的倾斜角为60

D.过点(-1,2)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y=。

3.设/U)是可导函数，且linJlAr)-⑴=2,则广⑴=()

-->0Ax

A.2B.--C.-1D.-2

3

4.已知三角形ABC的周长为12,且4（-2,0）,B（2,0）,则顶点C的轨迹方程为（）

2222

A.y+y=l（y^o）B.y-^-=l（y^O）

C.二+工=1（"0）D.-L=l（ywO）

1612V）1612U'

5.直线/与曲线y=2«和圆/+/=（都相切，则直线/的斜率为（）

A.；B.—C.1D.V3

22

6.已知，A5C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列，且2c=〃，

则cosA=()

>/2R母

A.

44

72n©

C.---------LJ.

3---------------------------------------------------------3

7.已知函数〃x）=xlnx—"有极值—e,贝|J〃二（）

A.1B.2C.eD.3

8.已知数列｛4｝,｛4｝中满足2a“+i+4=3（〃Nl）,4=10,bn=an-l,若也｝前〃项

之和为则满足不等式|5,-6|＜击的最小整数〃是（）.

A.8B.9C.11D.10

二、多选题

9.下列求导运算正确的是（）

A.(ln7)'=g

B.[(炉+2卜in%]=2xsinx+(x2+2)cosx

2x-x2

C.

ex

D.[ln(3x+2)]'=止

10.已知正方体ABCD-AgGA的棱长为2,点分别是棱BC，8片的中点，点、P

是侧面AD2A内一点（含边界）.若3尸//平面则下列说法正确的有（）

A.点尸的轨迹为一条线段

B.三棱锥P-QE尸的体积为定值

C.陶尸|的取值范围是[括,3]

D.当点尸在。Q上时，异面直线。龙与BP所成的角的余弦值是半.

11.在平面直角坐标系xOx中，点A（l,0）,动点/（%%）（毛川），记M到y轴的距离

为/将满足|A"|=d+l的M的轨迹记为:T,且直线/：质-，+左=0与r交于相异的两

点尸（西,必），Q（x2,y2）,则下列结论正确的为（）

A.曲线r的方程为V=2x

B.直线/过定点（-1,。）

C.%+%的取值范围是（一8,-4）口（4,+8）

D.4PAQ的取值范围是（F,4）

三、填空题

试卷第2页，共4页

12.在‘ABC中，角A8,C所对的边分别是。也c,且2sin\inC=a：+„则角

sinCci+c—b

B=.

13.已知数列｛%｝的前"项和为MS„=n2-4n+l,贝。氏=.

14.已知函数/食）=/+2依-3,对任意网，尤241,+8）且%<%,恒有

-々）成立，则实数。的取值范围是.

四、解答题

15.已知函数/（x）=lnx+/-丘在点。，/⑴）处的切线方程为x+y+〃z=。.

⑴求实数左和加的值；

⑵求〃尤）在Le］上的最大值（其中e是自然对数的底数）.

16.已知等差数列｛4｝的前九项和为S“，公差d^O,且邑+邑=50,%,%,&成等

比数列.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵设1是首项为1,公比为3的等比数列，

①求数列｛2｝的前〃项和小

②若不等式词,7+2n2<0对一切〃©N*恒成立，求实数2的最大值.

17.如图，在三棱柱ABC-中，四边形山狙4为正方形，四边形A41cle为菱形，

且/A41c=60。，平面AAGCL平面AB4A，点。为棱B片的中点.

⑴求证：AA,1CD；

（2）棱8。上是否存在异于端点的点使得二面角4知一4的余弦值为巫？若存

在，请指出点/的位置；若不存在，请说明理由.

18.已知抛物线C：y2=2px(p>0)上的点/与焦点厂的距离为｝且点M的纵坐标为

(1)求抛物线C的方程和点M的坐标；

⑵若直线/与抛物线C相交于A3两点，且物，奶，证明直线/过定点.

19.已知函数=-狈-a)e*+a.

⑴讨论〃元)的单调性；

⑵若〃力<0对xe(Y°，。)恒成立，求。的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】根据两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.

【详解】当时，有a（a-l）=6,故a=-2或a=3,

当。=3时，4的方程为x+y+2=0,4的方程为x+y+2=0,此时两条直线重合，不符合；

当。=—2时，乙的方程为2x—3y+4=0,'的方程为2x-3y-l=0,符合；

综上，"〃夕'是“。=-2”的充要条件，

故选：B.

2.C

【分析】求出直线＞=依-3°+2（。61^所过定点的坐标，可判断A选项；根据直线截距的

定义可判断B选项；求出直线+1=0的倾斜角，可判断C选项；根据两直线垂直求

出所求直线方程，可判断D选项.

/、f九—3=0{x=3

【详解】对于A选项，直线方程可化为ax-3）+2-y=O,由八，解得，

[2-y=0[v=2

故直线y=ax-3a+12（aeR）必过定点（3,2）,A对；

对于B选项，直线y=3尤-2在y轴上的截距为一2,B对；

对于C选项，直线氐+y+l=0的斜率为-石，故该直线的倾斜角为120,C错；

对于D选项，直线x-2y+3=0的斜率为

故过点（-1,2）且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为y-2=-2（x+l）,即2x+y=0,D对.

故选：C

3.B

【分析】由已知及导数的定义求了'⑴即可.

【详解】由题设，-⑴-3A

a3Ax3

故选：B

4.C

【分析】根据三角形的周长和定点，得到点C到两个定点的距离之和等于定值，得到点C的

答案第1页，共13页

轨迹是椭圆，椭圆的焦点在X轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点.

【详解】因为4(-2,0)、3(2,0),所以|AB|=4,

又因为ASC的周长为12,得+

由椭圆的定义可知：顶点C的轨迹是一个以AB为焦点的椭圆的一部分，

22

且椭圆1+2=1(a>“0)中,

ab

a=4,c=2,BPZ?2=a2—c2=16—4=12,

22

椭圆方程为上+工=1,

1612

因为y=o时，三点共线，不能构成三角形.

22

顶点C的轨迹方程为上+匕=l(y#0),

1612-

故选：C.

5.C

【分析】设直线/与曲线y=2«相切时的切点为A(%,2向)，根据导数的几何意义可求直

线/的方程，再根据与圆相切可求为,故可求公切线的斜率.

【详解】圆/+的圆心为原点，半径为走.

设直线/与曲线y=2«相切时的切点为A(%,2向)，其中天>。.

因了=々，故直线/的斜率为曰，

7x

整理得到：X-募y+毛=0,

因该直线与圆相切，故故％=1或％=（舍）,

”+与2

故直线/的斜率为1,

故选：C.

6.B

【分析】由题目条件可得)2=202,再利用余弦定理代入求解即可.

【详解】因为a，b,。满足。力,。成等比数列，得6:ac,且2c=a,得廿=202,

答案第2页，共13页

由余弦定理，cos/=1+。2-一=2c2+[4c2=_变,

Zbc2-Jlc-c4

故选：B.

7.B

【分析】先求出函数〃x）的导函数；再求出极值点，代入函数〃x）=xlnx-融解方程即可.

【详解】由题目条件可得：函数〃x）的定义域为（。,+8）,f'（x）=\nx+l-a.

令制x）＞0,得x＞ej

令广（力＜0,得Ove。！

所以函数在区间Me"I上单调递减，在上单调递增.

则产|是函数"彳）的极小值点，

a

故/'（产）=eiIne-'-ae^=-e,解得a=2.

故选：B

8.D

【解析】由2。用+a,=3可求得数列｛%｝的通项公式，进而求得数列｛2｝,表示出工，

令|S“-6|〈春，即可得到满足不等式凡-6|〈击的最小整数〃.

【详解】解：由题意可知：2a„+1+a=3,

又Q%=io,

4—1=9,

即数歹是以首项为9,公比为-;的等比数列,

答案第3页，共13页

n-1

贝1J|S”一6|=3xJ＜击，

满足不等式\Sn-6|<^的最小整数〃一1=9,

即”=10.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用构造法求出数列｛q｝的通项公式.

9.BC

【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可判断选项.

【详解】(ln7)'=0,故A错误；

[(f+2卜in%]=2xsinx+^x2+2)cosx,故B正确；

[ln（3x+2）]'=T^，故D错误.

故选：BC

10.ABD

【分析】对于A：通过证明平面创亚〃平面厂可得点尸的轨迹；对于B：根据尸到平面

月的距离为定值来判断；对于C：利用面积法来判断；对于D：建立空间直角坐标系，

利用向量法求解即可.

答案第4页，共13页

【详解】对于A：取A3DR的中点分别为,由正方体的性质易得RE//BN,MN//EF,

又RES面BMN,BNu而BMN,EF①面BMN,MNu而BMN,

所以，E〃面RVW,EF//而BMN,

又5ECEF=E,RE,EFu面REF,所以面BMN〃面RET"

又BP〃平面QE尸，点尸是侧面ADQA内一点（含边界）.

所以点P的轨迹为线段MN,A正确；

对于B：的面积为定值，因为〃平面厂，

所以点8到平面DtEF的距离为定值，则点P到平面DtEF的距离h为定值，

所以匕＞一*尸=：5*尸/为定值，B正确;

对于C：因为BR=《AB；+A。；=2忘,

所以gM=BjN=+RM?=J（20）2+T=3,MN=VT+1=V2,

所以点见到MN的距离d=JI'曰'=号〉邪,C错误；

对于D：当点P在上时，尸为。Q的中点.

如图建立空间直角坐标系，则P（0,0,1）,3（2,2,0）,2（0,0,2）,E（l,2,2）,

则有尸3=（2,2,-1）,=（1,2,0）,

因为cosP3,RE=|^=竽，

所以，异面直线。/E与8尸所成的角的余弦值是半，D正确.

故选：ABD

答案第5页，共13页

11.BCD

【分析】求出抛物线方程判断A；求出直线所过的定点判断B；联立直线与抛物线方程，结

合韦达定理，先求出左的范围判断C；利用数量积的坐标表示判断D.

【详解】依题意，点/到直线4-1的距离等于到点A。,。)的距离，

因此点M的轨迹「是抛物线，其方程为V=4x,A错误;

直线/：Mx+l)-y=0恒过定点(-1,0),B正确;

由I;。消去y得：产V+(2产-4)%+*=0,

4

则A=(2左2一4)2—4/>0,左W0,解得一1<上<1,左*0,Xl+x2=~fX1x2=1,

,4

必+%=k+x+2)=—e(—oo,—4),J(4,+oo),C正确；

。2

k

4-2k2

%%=k，(%+1)(尤，+1)=42(xtx2+X]+/+1)=笈2(2+)=4,

4-2k2=8-3<4,D正确.

42-4°=(玉_1)(3_1)+%％=%%-(再+无2)+l+X%=6-

~~ie~

故选：BCD

12.—l-7t

33

【分析】利用正弦定理角化边，整理后结合余弦定理可得.

【详解】由正弦定理角化边得网二if°：，

ca+c-b

整理得/+。2一/=­

匚匚r、l八〃2+。2—/(2C1

所以cos5=---------=——=一,

2aclac2

因为3e(O,7i),所以8=].

故答案为：y

答案第6页，共13页

-2,n=l

2n—5,n>2

【分析】根据。”和S”的关系求解可得.

【详解】当”=1时，％=H=-2；

当2时，an=Sn-Sn_x=ir-4/7+1-

—2,n—\

2n—5,n>2

-2,n=l

故答案为:

2n—5,n>2

14.（-oo,4]

【分析】根据题意，设函数g（x）=〃"+3,转化为g（x）=x+2"-』+女在工内）为递增函

XXX

数，进而得到g'（x）Z。在U,y）上恒成立，进而得到应尤2+3在U，y）上恒成立，即可求解.

【详解】由对任意占，々©口，+°°）且占＜%,恒有%了（%）一%/（工2）＜。（下一々），

可得％了（尤1）-3/（无2）＜。（尤「尤2）,整理得了（再）+乌＜/（尤2）+巴,

'x{x2XxX2x1%x2x2

因为任意西，尤2《工+8）且西,

设函数g（x）=/@+3,则函数y=g（x）在口,+8）为单调递增函数，

XX

因为/（工）=*+2办-3,可得g（x）=x+2a-°+@在□,+（»）为单调递增函数,

可得，（无）=1+指-卜0在工+8）上恒成立，所以/+3一心0在口,内）上恒成立，

即“Vd+3在[1,+8）上恒成立，所以。V4,

所以实数〃的取值范围为（-乱4].

故答案为：（-j4].

15.（1）左=4,m=2

（2）e2—4e+l

【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义可求左的值，再根据切线过切点求机的值;

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(2)根据导数与函数单调性的关系，分析函数在给定区间上的单调性，再求函数的最大值.

【详解】(1)因为〃x)=lnx+x2一代

所以r(x)='+2x-左,

X

(f(l)=3-k=-l

由题意可得'，

解得:左=4,m=2.

(2)由⑴可得，/(x)=lnx+x2-4x

所以ra)=_L+2%—4=*X—，」十1,且工£口,叽

xx

易得，当xe[l,l+孝]时，/，(%)<0,函数单调递减，

当xe[l+咚,e]时，/(同>0,函数单调递增，

又/⑴=一3,f(e)=e2-4e+l,M/(e)-/(l)=e2-4e+4=(e-2)2>0,

即最大值为：/(e)=e2-4e+l.

16.【小题1]«„=2«+1；【小题2】①(=〃-3"；②一」.

【分析】(1)根据等差数列通项公式与前”项和公式，结合等比中项进行求解；

(2)①先计算也J的通项公式，再用错位相减法求解

②代入&S“，得到九《与"对一切wwN*恒成立，构造函数〃")=与"，再求了⑺的

最小值，即可求得结果.

3x24x5_

34H------d+5qH--------d—50f(2=3

【详解】(1)依题意得2,2，解得"=)，

(q+3dJ=%(〃]+12J)1

/.an=ax+(n-V)d=3+2(〃-1)=2〃+1,即=2〃+1.

b

(2)①」二3〃一，2=氏-3〃一1=(2几+1>3〃一、

an

7；,=3+5-3+7-32++(2〃+l>3"T,

23

3Tn=3.3+5-3+7-3++(2〃-1>3"T+(2〃+l>3",

答案第8页，共13页

所以-27；=3+2・3+2-32+一+23一-(2〃+1)3"=3+2・不匚"-(2"+1)3"=-2〃守.

1-3

:.Tn=n-V.

②由(1)易求得5,=〃伽+2),所以不等式27；-S“+2”2w0对一切〃eN*恒成立，

即转化为2W基对一切weN*恒成立，

令〃w)=?(〃eN*),则“叽

又飞+1)一个)=爰一？=,，

当时，/(»+1)-/(»)<0；“23时，f(/i+l)-/(n)>0,

所以7(1)>/(2)>/(3),且〃3)<f(4)<,则1mn=〃3)=-，.

所以实数力的最大值为一人.

17.(1)证明见解析

(2)存在，点M为棱3G的三等分点(靠近G端)

【分析】(1)首先证明四，平面。CD,然后由线面垂直可以得证；

(2)根据题目中的已知条件找到两两垂直的三条棱，然后建立空间直角坐标系，表示出相

关点的坐标，假设点M存在，设出点"的坐标，求出平面4月£和平面%M的法向量，结

合空间向量的夹角公式列出方程，解方程即可确定点M的位置.

【详解】(1)取棱AA的中点。，连接CVCO,OD,

AC=朋且/A41c=60。，

.•.△A41c为等边三角形，

A^IOC,

四边形ABB{\为正方形，且。分别是M,8月的中点，

AAj±OD,

因为OCOD=O,OC,ODu平面OCD,

答案第9页，共13页

M1平面OCD，

因为CDu平面。CD,

所以A4,，CD.

(2)因为平面AAgCJ-平面ABBiA,平面441GC平面ABB,=44,,且OC，的，OCc

面A41cle,

所以0(7_1面48片4,

以。为坐标原点，以OAOQOC,所在的直线分别为％y,z轴，建立空间直角坐标系，如图:

不妨设钻=2,则点8(1,2,0),A(T，。，。)，G(-2,0,A/3),^(-1,2,0),

则A氏=(0,2,0)，4C=C，o,g),

设4=(占,％，4)为平面4月。1的一个法向量，则由4T4=0及《rAG=o得,

一;+后=0,取4=1，得%=("。4,

假设棱8G上(除端点外)存在点M满足题意，

令GM=4C[B](0<Z<l),得—'—百2),

而AB=(2,2,0),AM=(2-1,22,6-百X),

设%=(孙％，22)为平面34知的一个法向量，则由%・A3=。及%,A"=°得，

2x2+2y2=0(i+彳、

，

(2-l)x2+22y2+(^->/32)z2=0取%与，得%-11道小孙

答案第10页，共13页

乎，整理得1+2

1-2

所以点M为棱与G的三等分点（靠近G端）.

18.⑴抛物线C:/=2x；/（2,2）

（2）证明见解析

【分析】（1）设结合抛物线焦半径公式可构造方程组求得加,p,由此可得抛

物线方程和点“坐标；

⑵设/:无=阳+〃，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式；由垂直关系可得脑履鼬!=-1,

代入韦达定理的结论可整理得到〃=2根+4,代入直线方程可得定点坐标.

x+K=*[x—2

【详解】⑴设叫毛,2⑺，则。2~2,解得：°",

2Px0=4p

，抛物线C:y2=2x；M（2,2）.

（2）由题意知：直线/斜率不为零，可设/:x="9+〃，4（%,凶），,

[y2=2x

由《得：y2-2my-2〃=。，/.△=4病+8〃〉0,即疗+2〃>0;

[x=my+n

yx+y2=2mfy[y2=-2〃；

222

二%一2二%-2-2=y2~=y2~=

MAMB

~^-2~y^-4~yl+29~x2-2~-4~y2+2,

22

444

又MA上MB,左MA•^MB=7~Z\7~Y：=~Z7：77J=~~7=；

（X+2）（%+2）%%+2（必+%）+4-2n+4m+4

贝|K=2机+4（止匕时加之+2〃=加之+4根+8=（加+2）2+4>0成立），

/.直线/:无=冲+2相+4=根（丁+