2024年高考数学一轮复习 导数的概念及运算分层精练（原卷版+解析版）

导数的概念及运算（分层精练）

A夯实基础B能力提升C综合素养

A夯实基础

1.（2023春•安徽宿州,高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）一个质点运动的位移s（单

位：米）与时间f（单位：秒）的关系可用s=3-2r+产表示，那么质点在7=3秒时的瞬时速

度是（）

A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.4米/秒

2.（2023春•安徽宿州•高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）已知函数y=/（x）可导，

且典“1+幻一/⑴=1,则曲线y=/（x）在点。,〃功处的切线倾斜角为（）

A.45°B.60°C.120°D.135°

3.（2023春・河北邯郸•高二武安市第三中学校考阶段练习）设“X）=依?+],若^（-1）=4,

则。二（）

A.1B.-2C.3D.-1

4.（2023春・天津武清•高二校考阶段练习）下列导数运算正确的是（）

A.（sinx）'=-cosxB.（3"）=3X

C.

5.（2023・湖北•统考模拟预测）已知机＞0,n＞0,直线y=+/+l与曲线y=lnx-〃+2

e

相切，则工+工的最小值是（）

mn

A.16B.12C.8D.4

6.（2023•全国•高二专题练习）若曲线＞=/+依+6在点尸（0,b）处的切线方程为x-y+l=0,

则。，6的值分别为（）

A.1,1B.-1,1C.1,-1D.-1,-1

7.（2023春•河北邯郸•高二武安市第三中学校考阶段练习）设点P是函数/（x）=6'-可图

象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为a,则角a的取值范围是（）

8.（2023春•湖北武汉•高二校联考阶段练习）已知函数〃力=61+/'（1）/+1,贝叶〈2）=

（）

A.e+2B.e-4C.e-7D.e—8

二、多选题

9.（2023春•重庆万州•高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）函数/（x）=X3+x-2的

图象在点P处的切线平行于直线y=4x-l,则P点的坐标可以为（）

A.（1,0）B.（2,8）C.（TT）D.（1,4）

10.（2023•全国•高三专题练习）若函数/（力=三辿+ln（x+l）的图象上，不存在互相垂

直的切线，则。的值可以是（）

A.-1B.3C.1D.2

三、填空题

11.（2023春•浙江嘉兴•高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数

/（x）=4sinx+3矿⑼，则广（0）=.

12.（2023秋•广东•高三统考期末）已知函数〃x）=x-31nx在点处的切线经过点

（a,6）,a＞0/＞。，则必字的最小值为___________.

ab

四、解答题

13.（2023春•湖北咸宁•高二校考开学考试）（1）已知函数〃尤hgd+zx—lrw,求广⑺＞。

解集；

（2）设曲线y=e2.在点（0,e）处的切线与直线2x-ey+l=0垂直，求。的值.

14.（2023•全国•高二专题练习）求下列函数的导数:

（1）y=M^±0;

X

(2)y=ln(2x-5)；

.乃、(c71

(3)y=xsin2x-\——cos2x-\——

15.（2023春•河北邯郸•高二武安市第三中学校考阶段练习）已知函数/■（x）=a/+2f的图

象经过点A（T3）.

⑴求曲线y=在点A处的切线方程；

（2）求曲线y=/（x）经过坐标原点的切线方程.

B能力提升

1.（2023・全国•高二专题练习）设点P是函数〃尤）=尤3一：（⑴尤+尸（2）图象上的任意一点,

点P处切线的倾斜角为a,则角a的取值范围是（）

A.吟

_____3Y

2.（2023•全国,高三专题练习）已知〃无）=ln（x+2）+而1-忘，则曲线y=/（x）在点

（3,/（3））处的切线方程为

3.（2023春・安徽宿州•高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）已知函数/（尤）=d+x-2.

⑴求曲线y=/（%）在点（2,/（2））处的切线方程；

⑵求与直线4x-y-2=0平行，且与曲线y=/（x）相切的直线方程.

C综合素养

1.（2023春・安徽•高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知/（x）=lnx图象上有且

只有三点到直线丫=%+。的距离为2及，则。的值为（）.

A.3B.-3C.-5D.5

2.（多选）（2023春•安徽•高二安徽省太和中学校联考阶段练习）若函数

〃x）=ln（2x+l）+2x2_（a+l）x的图象上不存在互相垂直的切线，则实数。的值可以是（）

A.-1B.1C.2D.3

3.（2023•全国•高三专题练习）己知。>0,b>0,直线y=x+2a与曲线y=ei-b+l相切，

则下列不等式一定成立的是（）

A.—I—>9B.ub〈—C.yja2+b~:三——D.J2a+s[b<-^2

ab95

4.（2023春・山西忻州•高二校联考阶段练习）己知函数〃x）=d-alnx的图象在点尸

处的切线/过坐标原点.

⑴求实数。的值；

2

⑵若直线/与抛物线丁=一厂+‘蛆+机相切，求抛物线的对称轴方程.

导数的概念及运算（分层精练）

A夯实基础B能力提升C综合素养

A夯实基础

1.（2023春•安徽宿州,高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）一个质点运动的位移s（单

位：米）与时间f（单位：秒）的关系可用s=3-2r+产表示，那么质点在7=3秒时的瞬时速

度是（）

A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.4米/秒

【答案】D

【详解】解：因为函数s⑺=3-2/+〃，所以s'⑺=-2+2/，

当r=3时，丁（3）=-2+2x3=4,

故物体在t=3秒时的瞬时速度为4米/秒.

故选：D

2.（2023春•安徽宿州•高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）已知函数y=/（x）可导，

且蚂/（+弋一/⑴=1,则曲线y=/（x）在点（1,〃以处的切线倾斜角为（）

A.45°B.60°C.120°D.135°

【答案】A

【详解】由1"。+—）-/⑴=1,可得/'（1）=1,

Ax

则曲线y=在（L/■⑴）处的切线斜率为1,

由tan6=l（6为倾斜角），。目0。,180。），可得。=45°.

故选：A.

3.（2023春・河北邯郸・高二武安市第三中学校考阶段练习）设“X）=依?+%,若/（-1）=4,

贝！J。=（）

A.1B.-2C.3D.-1

【答案】A

【详解】/r（x）=3^2+l,.•./〈一1）=3〃+1=4,解得：a=l.

故选：A.

4.（2023春・天津武清•高二校考阶段练习）下列导数运算正确的是（）

A.(sinx)=-cosx

C.(3力'=+

【答案】C

【详解】对于A,（sinx）'=cosX，故A错；

对于B,（3j=31n3，故B错；

对于（）,故正确；

C,log2x=JC

对于D,W=一二，故D错.

（xjx

故选：C.

5.（2023・湖北•统考模拟预测）已知机>0,n>0,直线y=」%+根+1与曲线y=lnx-〃+2

e

相切，则工+工的最小值是（）

mn

A.16B.12C.8D.4

【答案】D

【详解】对y=lnx—〃+2求导得y=L,

X

由y'=一=—得％=e,则一,e+根+l=lne—〃+2,即机+〃=1,

xee

所以—I—={m+n\\—I—=2H----1—>2+2=4,

mnn）mn

当且仅当"7=〃=J时取等号.

故选：D.

6.（2023•全国•高二专题练习）若曲线y=/+ax+b在点尸（0⑼处的切线方程为x-y+l=0,

则。，6的值分别为（）

A.1,1B.-1,1C.1,-1D.-1,-1

【答案】A

【详解】解:因为y=2x+“，所以>'|工=0=。

曲线y=Y+依+匕在点（0涉）处的切线x-y+l=0的斜率为1,

...4=1,

又切点（。⑼在切线％-y+i=o上，

「.0—人+1=0

「2=1.

故选：A.

7.（2023春•河北邯郸•高二武安市第三中学校考阶段练习）设点P是函数/（X）=e'-Gx图

象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为a,则角a的取值范围是()

712712兀2兀

A.B.c.D.

吟2'TT,7tT,71

【答案】C

【详解】r(x)=e^-V3>-73,

■.■点尸是曲线上的任意一点，点尸处切线的倾斜角为a,

tana>-A/3•

'/aG[0,7i),

c兀I2兀

aw0,-1T,7t

故选：C.

8.(2023春•湖北武汉•高二校联考阶段练习)己知函数/("=-+((1)/+1,贝"'(2)=

A.e+2B.e—4C.e—7D.e—8

【答案】B

【详解】/，(x)=e-1+2r(l)x,

令x=1可得尸⑴=1+2f(1)解得/'⑴=一1,

所以/(%)=蝗-2尤,所以/(2)=e-4,

故选:B.

二、多选题

9.(2023春・重庆万州•高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习)函数〃尤)=d+尤-2的

图象在点P处的切线平行于直线y=4xT,则P点的坐标可以为()

A.(1,0)B.(2,8)C.(TT)D.(1,4)

【答案】AC

【详解】依题意，令八x)=3x?+l=4,解得x=±l

f(1)=0,/(-1)=-4,

故尸点的坐标为(1,0)和(—1,-4),

故选：AC

10.(2023・全国•高三专题练习)若函数〃x)=E^^+ln(x+l)的图象上，不存在互相垂

直的切线，则a的值可以是()

A.-1B.3C.1D.2

【答案】AC

【详解】解：因为函数f(x)=；"+ln(x+l)(尤>一1),

所^以ff(X)—XH---------Cl=X+1H----------CI-122/fX+1)---------FCL-1=1-CI，

''x+ix+iAr7x+i

当且仅当X+1=,，即x=0时，等号成立，

X+1

因为函数/■(*)的图象上，不存在互相垂直的切线，

所以尸(x)1nhi20,即1—01,

解得a<l,

故选：AC

三、填空题

11.(2023春•浙江嘉兴•高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习)已知函数

/(x)=4sinx+3V'(。)，则/10)=.

【答案】-2

【详解】/'(x)=4cosx+3/'(0),

则/'⑼=4+3尸⑼，所以广(0)=—2.

故答案为：—2.

12.(2023秋・广东•高三统考期末)已知函数〃x)=x-31nx在点(I"⑴)处的切线经过点

(a,b),a>0,b>0,则也乎的最小值为__________.

ab

【答案】6

【详解】/(1)=1，则切点为(1,1),又广=切线斜率为/'(1)=-2,

切线方程为y=-2x+3,又点(a,在切线上，2a+Z?=3,

8(7+Z?81116ab、

则=—।—>-10+2=6,

abba3\ba,

当且仅当塔=2,即a=1,b=2时等号成立.

ba2

故答案为：6.

四、解答题

13.(2023春・湖北咸宁•高二校考开学考试)(1)己知函数〃尤)=g/+2x-31nx,求/''(x)>0

解集；

(2)设曲线y=e2alM在点(0,e)处的切线与直线2尤-ey+l=0垂直，求。的值.

【答案】(1)｛x|x>l｝；(2)a=-1.

3

【详解】(1)由题可得/(尤)=%+2——(％>0),

x

由/'(x)>0可得d+2x-3>0=>彳<一3或x>l,

又因为x>0,

故不等式的解集为｛x|x>l｝；

(2)由题可得尸(x)=2ae2M1,

依题意：［（0）=2ae=-|,

所以。

4

14.(2023・全国•高二专题练习)求下列函数的导数:

ln（2x+l）

⑴y

X

（2）y=ln（2x-5）；

（3）y=A:sin（2x+IcosI2x+-n1-1.

2

2x-（2x+l）ln（2x+l）

【答案】⑴了二

（2x+l）x2

2

(2)y=

2x-5

（3）y'=-；sin4x—2xcos4x

,<JA'1/（\

[详解]（1）,=「ln（2x+l）[=[ln（2x+l）]x-++

y=[-x-]=?

2x

^71Tn（2x+l）_2x_（2x+l）ln（2x+l）

x2（2X+1）%2

，]]2

（2）令〃=2x—5,y=inu,则y，=（lnM）•“'=一•2=---------2=--------

u2x-52x-5

（3）因为y=xsin12x+g卜os+=；xsin（4x+=-；xsin4x

22

所以y'=1—g尤）sin4x+1-gxj（sin4x）=-gsin4x-gx-4cos4x=-gsin4x-2xcos4x.

15.（2023春•河北邯郸•高二武安市第三中学校考阶段练习）已知函数/■（尤）=63+2无2的图

象经过点A（T3）.

（1）求曲线y=/（%）在点A处的切线方程；

（2）求曲线y=/（x）经过坐标原点的切线方程.

【答案】（1）1-7%-4；

（2）y=O^y=x.

【详解】（1）依题意可得/■（—1）=2-a=3,贝i]a=—l,

/./（x）=-x3+2x2,

,//'（x）=-3x2+4x,

」•尸（T）=-7,

二曲线y=y（x）在点（-1,3）处的切线方程为y-3=-7（x+l）,

即y=-7x-4；

（2）设过原点的切线方程为丁=依，则切点为（加,加），

则｛2，消去％,整理得加-病=0,

1—3m+4m=k

,fm=0[m=l

解得根=。或根=1,有[八或I1.

[k=0[左=1

故所求方程为＞=。和y=x.

B能力提升

1.（2023,全国,高二专题练习）设点P是函数无）=/-：-⑴x+/（2）图象上的任意一点,

点尸处切线的倾斜角为a,则角a的取值范围是（）

【答案】B

【详解】•・,〃尤）=V一:-⑴》+:（2）,r（x）=3^-1r（l）,

r（i）=3-1r（i）,-（i）=2,1（幻=3/_1i1,

YC,兀一P-3兀

tancr＞-l,：0Wa＜一或一＜。＜兀.

24

故选：B.

2.(2023•全国•高三专题练习)己知〃x)=ln(尤+2)+而T-鼻，则曲线y=〃x)在点

(3"(3))处的切线方程为

【答案】2x-10y+101n5-l=0

【详解】:/(X)=ln(x+2)+Jx+1——./(3)=ln5+2—T=g+ln5,

“、113(x+3)-3x119

f(x)=-------1--------------------=-----1---------------

x+22^/7+T(X+3)2x+22^/I+T(X+3)2'

!

八3)=

54-45

y=〃x)在t，g+ln5］处的切线方程为：3；_l_in5=1(x-3),

BP2x-10>+101n5-l=0.

故答案为：2x-10y+101n5-l=0.

3.(2023春•安徽宿州•高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习)己知函数/(x)=V+x-2.

(1)求曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线方程；

(2)求与直线以-〉-2=0平行，且与曲线丁=/(力相切的直线方程.

【答案】⑴y=13x-18

(2)y=4x-4^y=4x

【详解】(1)由尸(x)=3f+l,得〃2)=13,又/(2)=8,

则曲线V=在点(2,/⑵)处的切线方程为

y—8=13(%—2),gpy=4x-l8；

(2)/,(x)=3x2+l,设切点的坐标为■，片+为-2),

则所求切线方程的斜率为了'(%)=3尤;+1,

又切线与直线4x-y-2=0平行，且该直线的斜率为4,

所以3尤；+1=4,解得不=±1,

当无。=-1时，切点为

此时切线方程为>+4=4(x+l),即y=4x；

当％=1时，切点为(1,0),

此时切线方程为y=4(x-l),即y=4x-4；

所以该切线方程为y=4x-4或y=4x.

C综合素养

1.（2023春•安徽•高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知/（x）=lnx图象上有且

只有三点到直线y=的距离为20，贝I。的值为（）.

A.3B.-3C.-5D.5

【答案】B

【详解】f（x）=inx,.-./（%）=-

X

设与直线丫=了+〃平行的直线与〃x）=lnx图象相切于点九）

则点尸处的切线的斜率为r（x0）=-=i,

玉）

解得%=1.则％=0,即P（l,0）.

所以点p到直线y=x+。的距离

d==及廨得4=1或。=-3,

当a=l时，直线y=x+l与曲线/（x）=lnx相离，舍去.

所以当。=-3时，/（无）的图像上有且只有三个点到直线y=x+a的距离为班.

故选：B

2.（多选）（2023春・安徽•高二安徽省太和中学校联考阶段练习）若函数

〃x）=ln（2x+l）+2x2-（a+l）x的图象上不存在互相垂直的切线，则实数a的值可以是（）

A.-1B.1C.2D.3

【答案】AB

【详解】因为函数/'（对=2/-（a+l）x+ln（2x+l）[x>-：,

29I2―

所以（x）=4xH-----------a-l=4x+2H-----------a-3>2J（4x+2）-----------a-3=l-a,

v72x+l2x+lV2x+l

当且仅当4x+2=Up即x=0时，等号成立，因为函数/'（尤）的图象上，不存在互相垂直

的切线，

所以r（x）znN0,即1—解得aWL

故选：AB

3.（2023•全国•高三专题练习）已知a>0,b>0,直线