2023-2024学年湖南省邵阳市九年级（上）竞赛数学试卷（复赛）

2023-2024学年湖南省邵阳市新邵县拔尖创新人才九年级（上）

竞赛数学试卷（复赛）

一、单项选择题（本题8个小题，每小题5分，共40分）

1.（5分）2用科学记数法可以表示为（）

25

A.8X101B.8X101c.2.3X101D.2.3X102

2.（5分）一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球.从

该盒子中任意摸出一个球（）

A.AB.ZC.AD.2

2335

3.（5分）如图，在一条笔直的小路上有一盏路灯，晚上小雷从点8处径直走到点A处时（）

4.（5分）如图，直线人〃/2,菱形A8CZ）和等边△EFG在/1,/2之间，点A,尸分别在/1,

h上，点、B,D、E、G在同一直线上.若Na=50°,则年=（）

A.42°B.43°C.44°D.45

5.（5分）方程组［履1廿=12的解的个数为（）

Ix+|yI=6

A.1B.2C.3D.4

6.（5分）如图，△ABC中，BDLAB,AD=-^AC,6ABe=150°，则△OBC的面积是（）

7

ABc3aD道

-14'~1A'

7.（5分）实数4,b,。满足a+Z?+C=l且〃2+廿+。2=。3+/+。3；贝u。2（6+c）+b2（〃+c）+c2

（a+6）的值为（）

A.0B.-LC.驶D.1

2727

8.（5分）有一张正六边形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；

从这2张中任选一张,这样共有3张纸片；从这3张中任选一张,这样共有4张纸片；……

如此下去，其中有15张五边形纸片，30张三角形纸片，4张7边形纸片，则还有一张多

边形纸片的边数为（）

A.4B.7C.9D.11

二、多项选择题（本题4个小题，每小题5分，共20分）

（多选）9.（5分）下列函数中，当x<-l时，函数值y随尤的增大而增大依次是（）

A.y=-2x+lB.y=2xC.v=——D.丫上

X+1X

（多选）10.（5分）李明有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠，总数不超过60个，其中工，

3

工为绿珠，有黑珠10个（）

5

A.3B.10C.11D.18

（多选）11.（5分）如图，矩形A8CD中，AELBD于点E,交EA的延长线于点R且BC

=4,则下列结论正确的是（）

A.ZBAE^ZCADB.NDBC=3Q°C.AE=^^D.AF=275

（多选）12.（5分）我们发现:

412+4=4=4,

V12+V12+4=4,

V12+V12+V12+4=4'

一般地，对于正整数a,b,如果满足Jb+JbWb+…Tb+Vb+a，称（a搪为一组

完美方根数对.如上面（4,12）是一组完美方根数对（）

A.（5,20）是完美方根数对

B.（9,91）是完美方根数对

C.若（a,380）是完美方根数对，则a=20

D.若（尤，y）是完美方根数对，则点尸（x,>）在函数y=/-尤的图象上.

三、填空题（本题4个小题，每小题5分，共20分）

13.（5分）当2024-汇I有最大值时，-/°23的值为

14.（5分）方程]1=2的解是

(x+1)(x+2)+(x+2)(x+3)3

15.(5分)设实数m,n分别满足3扇+99m-2=0,2n2-99〃-3=0,m+6m+1=

n

16.（5分）如图，已知菱形。的顶点G在矩形ABC。的边3C上，矩形ABC。的顶点

A在菱形。瓦'G的边斯上，BC=4,ZF=30°

四、解答（本大题2小题，每小题8分，共16分）

x22xy4y2

17.（8分）先化简，再求值：（l--：）+，一，其中x、y满足［2乂+7=3a+1.

x2-yx+xyx-y=2

区至>0

18.（8分）若关于x的不等式组J2U的解集为x>3,且关于y的分式方程

x-3<3（x-3）

5」^上工，求实数机的取值范围.

y-22-y

五、解答题（本大题3小题，每小题10分，共30分）

19.（10分）如图，在中，AOLBO,O为坐标原点，A的坐标为（"，«）i=占L

X

的图象的一支过A点，反比例函数”=丝的图象的一支过B点,,过A作AH±x轴于

x

H返.

2

（1）求w的值；

（2）求反比例函数”的解析式.

20.（10分）某校为了解本校2400名初中生对安全知识掌握情况，随机抽取了60名初中生

进行安全知识测试，并将测试成绩进行统计分析

组别成绩X分频数（人数）

第1组50«606

第2组60Wx<7010

第3组70W尤<80a

第4组804V90b

第5组90^x<10012

请结合图表完成下列各题：

（1）本次调查属于；（请从全面调查和抽样调查中选择）

（2）频数表中的。=,b=；

（3）成绩在90Wx<100的学生人数占全部抽取学生人数的百分比为；

（4）若测试成绩不低于80分定为“优秀”，你估计该校的初中生对安全知识掌握情况为

“优秀”等级的大约有人.

A人数

21.(10分)在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形042c的顶点A,C分别在尤轴

和y轴的正半轴上，BC两边分别相交于点DG,以。G为边作菱形。EFG

(1)如图1,当CG=。。时，直接写出点。和点G的坐标；

(2)如图2,连接设CG=a

①求S与。的函数关系式；

②判断S的值能否等于等于1?若能，求此时m的值，若不能；

六、解答题(本大题2小题，每小题12分，共24分)

22.(12分)二次三项式,-czx+6a可以分解因式成(x-u)(尤-v).

(1)求证：工二八；

uv6

(2)若"，v都是整数，求a的所有值.

23.(12分)如图，在△ABC中，AB=AC,N是边上的中点，点T使四边形7BNA是

矩形，M与N关于边AC对称.

(1)求证：△TOM与△AOC相似；

(2)设7M与AC相交于点P,求证：PD//CM,PD=1

2

2023-2024学年湖南省邵阳市新邵县拔尖创新人才九年级（上）

竞赛数学试卷（复赛）

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本题8个小题，每小题5分，共40分）

1.（5分）2用科学记数法可以表示为（）

25

A.8X101B.8X102C.2.3X101D.2.3X102

【解答】解：2=0.08=4X10-2,

25

故选：B.

2.（5分）一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球.从

该盒子中任意摸出一个球（）

A.AB.2c.AD.2

2335

【解答】解：•..盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，

摸到黄球的概率是1=2.

68

故选：B.

3.（5分）如图,在一条笔直的小路上有一盏路灯,晚上小雷从点B处径直走到点A处时（）

【解答】解：•••小路的正中间有一路灯，晚上小雷由B处径直走到A处，y随s的增大

而减小，

，用图象刻画出来应为C.

故选：C.

4.(5分)如图，直线/1〃/2,菱形A3CD和等边△£人?在/1,/2之间，点A,方分别在人,

h上，点&D、E、G在同一直线上.若Na=50°，则N0=()

A.42°B.43°C.44°D.45°

【解答】解：如图，延长5G,

VZADE=146°,

AZADB=180°-ZADE=34°,

9

：Za=ZADB-^ZAHDf

：.ZAHD=Za-ZADB=50°-34°,=16°,

：.ZGIF=ZAHD=16°,

VZEGF=Zp+ZG/F,

•1△E尸G是等边三角形，

：.ZEGF=60°,

：.Z^=ZEGF-ZGIF=60°-16°=44°,

故选：C.

5.（5分）方程组[履1切=12的解的个数为（）

Ix+IyI=6

A.1B.2C.3D.4

【解答】解:当x》0,内）时卜”2,解得卜=9；

\x-y=6Iy=3

由于＞W8,所以此种情况不成立.

当尤W0,后。时代*巴解得0=-3.

[x+y=3[y=9

当尤22,后0时，卜

Ix+y=6

当xW7,户。时，Jy-X=12；

Ix-y=6

因此原方程组的解为：［x=T

ly=9

故选：A.

6.（5分）如图，△ABC中，8D_L4B,AO=&C,/ABC=150。，则△DBC的面积是（）

A蓊B蓊C3a口蓊

-14'~1A'

【解答】解：如图，过点C作8。的垂线，

则NE=90°,

'：BD±AB,CE1BD,

J.AB//CE,ZABD^90°,

...AABDsACED,

•AD=AB=BD

"c5CE瓦，

VAZ)=AAC,

7

•包_=g

"CDT

...妲=2=2=毁，则CE=2，

CECE3DE3

VZABC=150°,ZABD=90°,

AZCBE=60°,

；.BE=2Z1_CE=返，

32

:.BD=&£E=2依,

68_

；.&BCD=』•如CE=3Xg

222614

故选：A.

7.(5分)实数〃，b,ca+b+c=1M4Z2+Z?2+c2=tz3+/?34-c3；贝！J/(b+c)+b2(〃+c)+c2

(a+b)的值为()

A.0B.&C.改D.1

2727

【解答】解：\'a+b+c—lcr+b^+c^—cr'+tr+c?,

.,.a1(6+c)+b3(a+c)+c2(a+b)

—cr(8-a)+b2(1-b)+c7(1-c)

=a2+Z?8+c2-(a3+Z?7+c3)

=0,

故选：A.

8.(5分)有一张正六边形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片;

从这2张中任选一张,这样共有3张纸片；从这3张中任选一张,这样共有4张纸片；……

如此下去，其中有15张五边形纸片，30张三角形纸片，4张7边形纸片，则还有一张多

边形纸片的边数为()

A.4B.7C.9D.11

【解答】解：设还有一张多边形纸片的边数为X,

根据题意得：5X15+3X30+7X50+7X4+x=5+4X(100-1),

解得：x=8,

...还有一张多边形纸片的边数为9.

故选：C.

二、多项选择题(本题4个小题，每小题5分，共20分)

(多选)9.(5分)下列函数中，当尤时，函数值y随尤的增大而增大依次是()

A.y=-2x+lB.y=2xC.y=——D.丫上

x+1x

【解答】解：A、y=-2尤+1,不符合题意；

B、y=5x,符合题意；

C、y=-二―，函数值y随x的增大而增大；

x+1

D、y=—,y随x的增大而减小；

x

故选：BC.

(多选)10.(5分)李明有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠，总数不超过60个，其中工，

3

工为绿珠，有黑珠10个（）

5

A.3B.10C.11D.18

【解答】解：设李明的蓝珠有x个，则总球的个数为」^r=15（10+x）,

4

85

（14）X*（10+x）,

357

解得：龙W18,

可能为18,

又•.•工为红珠，X,

36

/.黑珠和蓝珠占1-工-工=且，

2515

•.•黑珠和蓝珠的数量都为正整数，

...G+10）是7的倍数,

：xW18,

/.（18+10）是7的4倍,

；21是7的3倍，

，此时x=ll,

•.T4是7的2倍,

此时x=4,

：7是7的1倍，

此时x=-7（不符合意义，舍去），

综上所述：蓝珠可能有18个、11个或4个.

故选：CD.

（多选）11.（5分）如图，矩形ABC。中，AELBD于点E,交EA的延长线于点F且8C

=4,则下列结论正确的是（）

F

A./BAE=NCADB.ZDBC=30°C.4£=生5

D.AF=2/5

5

【解答】解：在矩形ABC。中，ZBAD=90°,

'：AE±BD,

：.ZAED=9Q°,

ZADE+ZDAE=ZDAE+ZBAE=9Q°,

NBAE=ZADB,

,：ZCAD^ZADB,

：.ZBAE=ZCAD,故4正确；

：BC=4,CD=2,

tanZ£>BC=-^5.=—,

BC2

.,.ZDBC#30°,故8错误；

,；BD=VBC24CD6=2后，

；A8=C£>=4,AD=BC=4,

VZAEB^ZBAD=90°,NBAE=/ADB,

：.AABEs^DBA,

•AE=AB

"ADBD"

.AE=7

“丁酝

:.AE=NL,故C正确；

5

：CP平分NBC。，

；./BCP=45°,

：.ZACF=45°-ZACB,

'：AD//BC,

：.ZDAC=ZBAE=ZACB,

：.ZEAC=90°-2ZACB,

：./EAC=2/ACF,

•；NEAC=ZACF+ZF,

：.ZACF^ZF,

：.AF=AC,

•：AC=BD=2近,

:.AF=2后故D正确，

故选：ACD.

（多选）12.（5分）我们发现:

412+4=4=4,

V12+V12+4=4,

V12+V12+V12+4=4'

712+712+V12+-'W12-fV12+4

一般地，对于正整数a,b,如果满足Jb+A/b+Jb+…+VbWb+a，称(公°)为一组

完美方根数对.如上面(4,12)是一组完美方根数对()

A.(5,20)是完美方根数对

B.(9,91)是完美方根数对

C.若(a,380)是完美方根数对，则0=20

D.若(x,y)是完美方根数对，则点尸(x,y)在函数y=7-尤的图象上.

【解答】解：将(5,20)代入420+5，d20=5,

(5,20)是完美方根数对；

将(4,91)代入“91+9,V91W91+9=V101>

(3,91)不是完美方根数对;

V(a,380)是完美方根数对，

.•.将(a,380)代入公式，V380+a-V380+V380+a=a,

解得〃=20或〃=-19（舍去），故C正确；

若（X,y）是完美方根数对，则Vy+x=x，Jyh/y+x'

整理得y=/-尤，

点尸（x,y）在抛物线〉=/-芯上，故。正确；

故选：ACD.

三、填空题（本题4个小题，每小题5分，共20分）

13.（5分）当2024-777有最大值时，-。023的值为一1

【解答】解：

.•.当。-5=0,即。=1时，2024-遍年，

・2023—12023—1

,•-a--1--1.

故答案为：-6.

14.（5分）方程.]1=2的解是xi=0,X2=-4

(x+l)(x+2)+(x+2)(x+3)3

【解答】解:---------1---------I,1_—2

(x+l)(x+3)(x+2)(x+7)3

・2,11_8=2,

x+lx+3x+2x+37'

・1_6=2=2,

x+lx+3(x+5)(x+3)7

J方程两边同时乘以:3(x+l)(x+5),

.'.6=2(x+2)(x+3),

/.X2+3X=0,

x(x+4)=7,

Axi=0,X2=-4

检验：将xi=4,X2=-(4分)别代入(x+2)(x+3)得，(x+l)(x+3)WO,

・••分式方程的解为：xi=3,X2=-4；

故答案为：X2=0,X2=-8.

15.(5分)设实数m,n分别满足3m2+99m-2=0,2/i2-99n-3=0,m+6m+1=-37

n

【解答】解：：如〃分别满足3加2+99m-6=0,2n8-99«-3=0,

.•.-2=3,

n2n

：.m,工•是方程3无6+99x-2=0的两根，

n

m+—=-334=--,

nn2

=-33-m,——

nn5

...inn+6m+l=7+包工12)-33-m=-4-33=-37.

nnn8

故答案为：-37.

16.（5分）如图，已知菱形。MG的顶点G在矩形A3C。的边8C上，矩形A3CD的顶点

A在菱形OEFG的边EF上，BC=4,ZF=30°4

GH-|FG-

:矩形A8C£＞中,

，AB=C£)=4,

BC^AD=4,

:菱形。EFG中，GD//EF,

：.GH±GD,且G8为△AOG的边。G上的高,

DXGH=ADXAB，

SAAGD^f

：.GDXGH=ADXAB,

.-.FGXZFG=2X6=8,

2

:.FG=、2X8=4,

17.（8分）先化简，再求值：（1*字），2x+y=3V2+1

——,其中x、y满足,

x-yx+xyx-y=2

【解答】解：（1口姿

22/2[-,2\

=x-yTx-5xy+y).尤()

25,

x-y

2xy-2y0.,x

=---------------•%(fx+y)

x2-y

=5y(x-y)=(x+y)

(x+y)(x-y)

=2xy,

..⑵+y=2&+1

x-y=3

.'x八历+1

,ly=V2-l，

当x=&+6&-1时V7+i）（V2.

'—>0

18.（8分）若关于x的不等式组｛2U的解集为尤>3,且关于y的分式方程

、x-3<3（x-3）

5」^上工，求实数机的取值范围.

y-22-y

（》

【解答】解：不等式组整理得：1Xm,

x>3

由不等式组的解集为尤>3,得到机W3,

解分式方程5-m=6-y,

y-22-y

得：尸生1

6

由分式方程有非负数解，得到y20且yW2,即空工，且述_#2,

46

解得：m2-9,且mW-2,

综上所述：满足条件的m的取值范围是-且m#-2.

五、解答题（本大题3小题，每小题10分，共30分）

19.（10分）如图，在RtZiAOB中，A0_L3。，。为坐标原点，A的坐标为（〃，y）1=占_

X

kc

的图象的一支过A点，反比例函数”=上■的图象的一支过8点，过A作轴于

x

2

（1）求"的值；

（2）求反比例函数v的解析式.

••n~~1f

（2）过点8作轴于点。，如图所示:

VAOXBO,A3_Ly轴，

ZOQB=ZAHO=ZAOB=90°,

ZBOQ+ZAOH=9Q°,ZAOH+ZOAH=90°,

NBOQ=NOAH,

：・AB0QSA0AH,且BQ=AH=H，

・BQ_QQipVs_QQ

**0HT丁W

・•・QO=7,

.点B位于第二象限，

.•.点8的坐标（-3,弧）,

将点B的坐标代入反比例函数？6=上二中，

X

左2=-6X«=-3娓,

反比例函数”的解析式为：y2=-生巨.

20.（10分）某校为了解本校2400名初中生对安全知识掌握情况，随机抽取了60名初中生

进行安全知识测试，并将测试成绩进行统计分析

组别成绩X分频数（人数）

第1组50Wx<606

第2组60Wx<7010

第3组70Wx<80a

第4组80WxV90b

第5组90CxV10012

请结合图表完成下列各题：

（1）本次调查属于抽样调查；（请从全面调查和抽样调查中选择）

（2）频数表中的a=18,b—14；

（3）成绩在90Wx<100的学生人数占全部抽取学生人数的百分比为20%；

（4）若测试成绩不低于80分定为“优秀”，你估计该校的初中生对安全知识掌握情况为

故答案为：抽样调查;

(2)由频数分布直方图可知，成绩在70Wx＜80的学生人数为18人，

V60-6-10-18-12=14A,

成绩在80/尤＜90的学生人数为14人，即b=14.

故答案为：18,14；

⑶急X100%=20%'

成绩在90W尤＜100的学生人数占全部抽取学生人数的百分比为20%.

故答案为：20%；

(4)2400X空2=1040人，

60

...该校的初中生对安全知识掌握情况为“优秀”等级的大约有1040人.

故答案为：1040.

21.(10分)在平面直角坐标系尤Oy中，边长为6的正方形O4BC的顶点A,C分别在x轴

和y轴的正半轴上，8C两边分别相交于点。，G,以。G为边作菱形。EFG

(1)如图1,当CG=。。时，直接写出点。和点G的坐标；

(2)如图2,连接8R设CG=a

①求S与a的函数关系式；

②判断S的值能否等于等于1?若能，求此时机的值，若不能；

(3)如图3,连接GE,当G。平分NCGE时Y运.

【解答】(1):将x=0代入y=mx+2得；y=4,

.•.点。的坐标为(0,2).

*.•CG=OD=2,

...点G的坐标为(2,6).

将点G(4,6)代入y=g：+2得：8m+2=6.

解得：m=3.

直线DG的函数表达式为y=2尤+2.

(2)①如图2所示：过点尸作切，BC,垂足为”.

:.GF=DE,GF//DE.

：.ZGNC^ZEDO.

：.ZNGC=ZDEO.

：.ZHGF=ZDEO.

在RtAGHF和RtAEOD中，

，ZHGF=ZDEO

<NGHF=/EOD，

,DE=FG

：.RtAGHF^RtAEOD.

:.FH=D0=2.

•••S^GBF3B・HF=£X5X(6-a)=6-a.

・・・S与〃之间的函数关系式为：S=8-a.

②当5=1时，则6-a=6.

解得：4=5.

・••点G的坐标为(5,7).

在△OCG中，由勾股定理可知而居^=五"^=旧.

:四边形GDE尸是菱形，

:.DE=DG=\T^i.

在Rt^OOE中，由勾股定理可知OE={DE2_0D2=J41_7=V37.

：.OE>OA.

.•.点E不在04上.

（3）如图2所示：连接。尸交EG于点过点M作MNLy轴.

...OMLGM,点M为。尸的中点.

〈GD平分/CGE,DMLGM,

:.MD=CD=7.

•..由（2）可知点尸的坐标为4,点。的纵坐标为2,

.,.点M的纵坐标为6.

:.ND=1.

在RtZV）7VM中，MN^7DM2-DN6=.

.•.点M的坐标为（后，3）.

设直线DM的解析式为尸质+2.将（任后行2=3.

解得：左=垣.

15

设直线MG的解析式为后，3）代入得：-15+6=3.

解得:6=18.

・•・直线MG的解析式为y=-J+18.

将y=6代入得：-V15x+18=6-

解得：X=l^-.