人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题5.4平移中的几何综合(原卷版+解析)

专题5.4平移中的几何综合【典例1】如图1，AB,AC被直线BC所截，点E是线段BC上一点，过点E作DE∥AB，连接BD,∠A=∠D=60°．（1）BD与AC平行吗？为什么？（2）将线段BD沿着直线BC进行平移，平移后得到的对应线段记为线段FG，连接EG；①当线段FG在E点下方时，如图2，若∠EGF=15°，求∠DEG的度数．②在整个平移的过程中，当∠EGF=3∠DEG时，求∠EGF的度数．（1）结论：BD∥AC，延长DE交AC于点T．利用平行线的性质以及判定证明即可；（2）①过点E作EK∥BD，利用平行线的性质求解即可；②分两种情形：当点F在线段BE上时，过点E作EK∥BD，当点F在点B的上方时，过点E作EK∥BD，分别利用平行线的性质求解即可．（1）解：结论：BD∥AC．理由如下：延长DE交AC于点T，如图所示：∵DT∥AB，∴∠DTC＝∠A＝60°，∵∠D＝60°，∴∠D＝∠DTC，∴BD∥AC．（2）①过点E作EK∥BD，∵BD∥FG，∴EK∥FG∥BD，∴∠EGF＝∠KEG＝15°，∠DEK＝∠D＝60°，∴∠DEG＝∠DEK＋∠KEG＝75°．②当点F在线段BE上时，过点E作EK∥BD，如图所示：∵BD∥FG，∴EK∥FG∥BD，∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，∴∠DEG＝60°−∠FGE，∵∠EGF＝3∠DEG，∴∠DEG＝15°，∴∠EGF＝45°；当点F在点B的上方时，过点E作EK∥BD，如图所示：∵BD∥FG，∴EK∥FG∥BD，∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，∴∠DEG＝∠FGE−60°，∵∠EGF＝3∠DEG，∴∠DEG＝30°，∴∠EGF＝90°．综上所述，满足条件的∠EGF的值为45°或90°．1．（2022春·七年级单元测试）如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=4cm，BC=5cm，AC=3cm，将三角形ABC沿BC方向平移acm(a<5)得到三角形DEF，且AC与DE（1）阴影部分的周长为______cm；（2）若三角形ADG的面积比三角形EGC的面积大4.8cm2，则2．（2022春·云南德宏·七年级校考阶段练习）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF,AD=1,EF=4,CH=43，三角形ABC周长为12．下列结论：①BH//EF；②AD=BE；③∠ACB=∠DFE；④四边形ACFE的周长为14；⑤阴影部分的面积为3．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB是锐角，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接CD，若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE的度数之间存在2倍关系，则∠ACD=__________．4．（2022春·浙江杭州·七年级统考阶段练习）如图，直线BC∥OA，∠C＝∠OAB＝108°，E，F在线段BC上(不与点B，C重合)，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．（1）OC与AB是否平行？请说明理由．（2）求∠EOB的度数．（3）若左右平移线段AB，是否存在∠OEC＝∠OBA的可能？若存在，求出此时∠OEC的度数；若不存在，请说明理由．5．（2022春·山东德州·七年级统考期末）已知点C在射线OA上．（1）如图①，CD//OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．6．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期末）已知MN//PQ，点B、C在MN上（B在C左侧），A在PQ上，连接AB、AC，∠PAB=60°，∠ACB=40°，AE平分∠PAC，BE平分∠ABC，AE、BE交于点E．（1）求∠AEB的度数；（2）若将图1中的线段AC沿PQ向右平移到DC如图2所示位置，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，DE、BE交于点E，∠PAB=60°，∠DCB=40°，请你直接写出∠DEB的度数：（3）若将图1中的线段AC沿PQ向左平移到DC如图3所示位置，其它条件与（2）相同，猜想此时∠DEB的度数又是多少．（不需要证明）7．（2021春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）如图，已知AB//CD，点E在直线AB,CD之间．（1）求证：∠AEC=∠BAE+∠ECD（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．ⅰ．如图②，若∠AEC=90°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数．ⅱ．如图③，若FH平分∠CFG，请直接写出∠AHF与∠AEC的数量关系．8．（2022·全国·七年级专题练习）小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC=∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由．（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD=50°，∠ABC=40°，求∠BED的度数．（3）将图2中的线段BC沿DC所在的直线平移，使得点B在点A的右侧，若∠FAD=m°，∠ABC=n°，其他条件不变，得到图3，请你求出∠BED的度数(用含m，n的式子表示)．9．（2022春·江苏南京·七年级统考期末）如图，已知MN//GH，点A在MN上，点B、C在GH上．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°．点D、E在直线AB上，在△DEF中，∠DFE＝90°，∠（1）图中∠BAN的度数是______°；（2）将△DEF沿直线AB平移，如图2所示，当点F在MN上时，求∠AFE的度数；（3）将△DEF沿直线AB平移，当以A、D、F为顶点的三角形中，有两个角相等时，请直接写出∠FAN的度数．10．（2021春·湖北武汉·七年级校联考期中）已知直线a//b，点A，B在直线a上（B在A左侧），点C在直线b上，E点在直线b下方，连接AE交直线b于点（1）如图1，若∠BAD=110°，∠DCE=45°，求∠DEC；（2）如图2，∠BAD的邻补角的角平分线与∠DEC的角平分线所在的直线交于点M，试探究∠AME与∠ECD之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下，将图2中点A向右平移，使得点D在C点右侧，直接写出∠AME与∠ECD的数量关系．11．（2021春·河南三门峡·七年级校考期中）如图，AB//CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE,DE所在直线交于点E，∠ADC=80°．（1）若∠ABC=50°，求∠BED的度数；（2）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC=120°，求∠BED的度数．12．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E＝75°．（1）请说明AE∥BC的理由．（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数；②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，求∠Q的度数．③在整个运动中，求∠E、∠Q、∠EDQ之间的的等量关系．13．（2021春·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点B，C在直线MN上，连接AB，AC，∠PAB=50°，∠ACB=30°，AD平分∠PAC，BD平分∠ABC，AD与BD相交于点（1）求∠ADB的度数；（2）若将图1中的线段AC沿MN向右平移到A1C1，如图2，此时A1D平分∠AA1C1，BD平分∠ABC1，A（3）若将图1中的线段AC沿MN向左平移到A1C114．（2022春·江苏南京·七年级统考期中）如图，已知直线AB//CD，直线EF分别与AB，CD交于O点，G点．P点是直线（1）如图1，当P运动至AB与CD之间时，过点P作PM⊥PN分别交AB，CD于M，N．若∠BMP=15°，则∠PNG=______度．（2）如图2，当P运动至直线AB上方时，过点P作PM⊥PN分别交AB，CD于M、N．作∠EPM的角平分线并反向延长交AB于点T，交CD于点Q，作∠NPF的角平分线与CD交于点H，若∠PHC=72°，求∠BTQ的度数．（3）过点P作PM⊥PN分别交AB，CD于M，N，设PN与AB交于点K，点O在M、K之间且MO：MO:KO=3:1，S△POK=8．沿直线EF方向平移直线CD，并保持CD始终在AB下方，使得S△MOG=4．连接MG、MN、15．（2022春·广西贵港·七年级统考期末）如图已知∠MON=α0°<α<90°，有一块三角板ABC，其中∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，现将该三角板如图所示放置，使顶点B始终落在ON上，过点A作DA//ON交OM于点E（1）如图1，若BC//OM，∠CAD＝40°，请求出α的大小；（2）若∠BAE的平分线AP交ON于点P：①如图2，当AP//OM，且α=60°时，请说明：BC//OM；②如图3，将三角板ABC沿直线ON从左往右平移，且在平移的过程中，始终保持BC//OM不变，请探究∠OPA与α之间的数量关系，并直接写出你的结论．16．（2021春·江苏·七年级统考期末）如图，直线PQ//MN，一副直角三角板ΔABC,ΔDEF中，∠ACB=∠EDF=90（1）若ΔDEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，证明：FD平分∠EFM．（2）若ΔABC,ΔDEF如图2摆放时，则∠PDE=（3）若图2中ΔABC固定，将ΔDEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图3），求∠GHF的度数．（4）若图2中ΔDEF的周长35cm,AF=5cm，现将ΔABC固定，将ΔDEF沿着CA方向平移至点F与A重合，平移后的得到ΔD'E'A，点D、E的对应点分别是D'、E'，请直接写出四边形DEAD'的周长．（5）若图2中ΔDEF固定，（如图4）将ΔABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与ΔDEF的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．专题5.4平移中的几何综合【典例1】如图1，AB,AC被直线BC所截，点E是线段BC上一点，过点E作DE∥AB，连接BD,∠A=∠D=60°．（1）BD与AC平行吗？为什么？（2）将线段BD沿着直线BC进行平移，平移后得到的对应线段记为线段FG，连接EG；①当线段FG在E点下方时，如图2，若∠EGF=15°，求∠DEG的度数．②在整个平移的过程中，当∠EGF=3∠DEG时，求∠EGF的度数．（1）结论：BD∥AC，延长DE交AC于点T．利用平行线的性质以及判定证明即可；（2）①过点E作EK∥BD，利用平行线的性质求解即可；②分两种情形：当点F在线段BE上时，过点E作EK∥BD，当点F在点B的上方时，过点E作EK∥BD，分别利用平行线的性质求解即可．（1）解：结论：BD∥AC．理由如下：延长DE交AC于点T，如图所示：∵DT∥AB，∴∠DTC＝∠A＝60°，∵∠D＝60°，∴∠D＝∠DTC，∴BD∥AC．（2）①过点E作EK∥BD，∵BD∥FG，∴EK∥FG∥BD，∴∠EGF＝∠KEG＝15°，∠DEK＝∠D＝60°，∴∠DEG＝∠DEK＋∠KEG＝75°．②当点F在线段BE上时，过点E作EK∥BD，如图所示：∵BD∥FG，∴EK∥FG∥BD，∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，∴∠DEG＝60°−∠FGE，∵∠EGF＝3∠DEG，∴∠DEG＝15°，∴∠EGF＝45°；当点F在点B的上方时，过点E作EK∥BD，如图所示：∵BD∥FG，∴EK∥FG∥BD，∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，∴∠DEG＝∠FGE−60°，∵∠EGF＝3∠DEG，∴∠DEG＝30°，∴∠EGF＝90°．综上所述，满足条件的∠EGF的值为45°或90°．1．（2022春·七年级单元测试）如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=4cm，BC=5cm，AC=3cm，将三角形ABC沿BC方向平移acm(a<5)得到三角形DEF，且AC与DE（1）阴影部分的周长为______cm；（2）若三角形ADG的面积比三角形EGC的面积大4.8cm2，则【思路点拨】（1）由平移的性质可得出AD=BE=acm，DE=AB=5cm．再根据（2）过A点作AH⊥BC于H，利用等面积法计算出AH=125cm，由S四边形ABED=S四边形ABEG+S【解题过程】解：（1）∵三角形ABC沿BC方向平移acm(a<5)得到三角形∴AD=BE=acm，DE=AB=5∵CE=BC−BE=(5−a)cm∴阴影部分的周长为AD+CE+AC+DE=a+5−a+3+4=12cm故答案为：12；（2）过A点作AH⊥BC于H，如图，∵∠BAC=90°∴S△ABC∴AH=3×4∵S四边形∴S四边形∵S△ABC∴S四边形∴125×BE−S∵三角形ADG的面积比三角形EGC的面积大4.8cm2，即∴125解得a=4.5．故答案为：4.5．2．（2022春·云南德宏·七年级校考阶段练习）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF,AD=1,EF=4,CH=43，三角形ABC周长为12．下列结论：①BH//EF；②AD=BE；③∠ACB=∠DFE；④四边形ACFE的周长为14；⑤阴影部分的面积为【思路点拨】①由平移变换可知BC//EF，因为点B、H、C三点在同一条直线上可得出结论；②由平移变换可知DE=AB，可得到AB=AD+DB，DE=BE+DB，即可得出结论；③因为平移前后角的度数是不变的，即可得出结论；④由平移变换可知四边形ADFC是平行四边形，四边形ACFE的周长为：AD+CF+DE+EF+AC，求解即可；⑤∵S阴影=S▱ADFC【解题过程】解：①∵△DEF是由△ABC平移得来的，∴BC//EF,又∵点B、H、C三点在同一条直线上，∴BH//EF，∴①正确；②∵△DEF是由△ABC平移得来的，∴DE=AB,∵AB=AD+DB,DE=BE+DB,∴②正确；③∵△DEF是由△ABC平移得来的，∴平移前后角的度数是不变的，∴∠ACB=∠DFE，∴③正确；④∵三角形ABC周长为12，∴AB+BC+AC=12，∵△DEF是由△ABC平移得来的，∴边的长度不变且AC//DF，∴DE+EF+DF=12,∴DE+EF+AC=12,∴四边形ADFC是平行四边形，∴AD=CF=1,∵四边形ACFE的周长为：AD+CF+DE+EF+AC，∴四边形ACFE的周长为：2+12=14，∴④正确；⑤由④得四边形ADFC是平行四边形，∴CF=AD=1，∵S阴影=S▱ADFC∵BC⊥AE,∴BC⊥AD,∴S阴影=AD·EF−=1×4−1∴⑤错误．故答案为：①②③④．3．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB是锐角，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接CD，若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE的度数之间存在2倍关系，则∠ACD=__________．【思路点拨】根据△ABC的平移过程，分为了点E在BC上和点E在BC外两种情况，根据平移的性质得到AB∥DE，根据平行线的性质得到∠ACD和∠CDE和∠【解题过程】解：第一种情况：如图，当点E在BC上时，过点C作CG∥∵△DEF由△ABC平移得到，∴AB∥∵CG∥AB，∴CG∥①当∠ACD=2∠CDE时，∴设∠CDE=x，则∠ACD=2x，∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x，∵∠ACD=∠ACG+∠DCG，∴2x+x=45°，解得：x=15°，∴∠ACD=2x=30°，②当∠CDE=2∠ACD时，∴设∠CDE=x，则∠ACD=12x∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x，∵∠ACD=∠ACG+∠DCG，∴2x+12x=45°，解得：x∴∠ACD=12x第二种情况：当点E在△ABC外时，过点C作CG∵△DEF由△ABC平移得到，∴AB∥∵CG∥AB，∴CG∥①当∠ACD=2∠CDE时，设∠CDE=x，则∠ACD=2x，∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x，∵∠ACD=∠ACG+∠DCG，∴2x=x+45°，解得：x=45°，∴∠ACD=2x=90°，②当∠CDE=2∠ACD时，由图可知，∠CDE<∠ACD，故不存在这种情况，综上：∠ACD=15°或30°或90°．4．（2022春·浙江杭州·七年级统考阶段练习）如图，直线BC∥OA，∠C＝∠OAB＝108°，E，F在线段BC上(不与点B，C重合)，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．（1）OC与AB是否平行？请说明理由．（2）求∠EOB的度数．（3）若左右平移线段AB，是否存在∠OEC＝∠OBA的可能？若存在，求出此时∠OEC的度数；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据平行线的性质和判定，两直线平行同旁内角互补，同旁内角互补两直线平行，解答即可；（2）利用角平分线的定义和平行线的性质解答即可；（3）设∠OEC=∠OBA=x，结合（2）问结论，在△OBE中利用三角形的内角和为180°列方程求解解答；【解题过程】（1）解：OC∥AB，理由如下：∵BC∥OA，∴∠COA＋∠C=180°，∵∠C=∠OAB，∴∠COA＋∠OAB=180°，∴OC∥AB．（2）解：∵OE平分∠COF，∴∠EOF=12∠COF∵∠FOB=∠AOB=12∠FOA∴∠EOB=∠EOF＋∠FOB=12∠COF＋12∠FOA=12(∠COF＋∠FOA)=1∵BC∥OA，∴∠COA=180°−∠C=180°−108°=72°，∴∠EOB=12（3）解：存在∠OEC=∠OBA，理由如下：OC∥AB，则∠ABC=180°－∠C=72°，设∠OEC=∠OBA=x，则∠OEB=180°－x，∠OBC=72°－x在△OBE中∠OEB+∠OBE+∠EOB=180°得180°－x+72°－x+36°=180°，求得x=54°5．（2022春·山东德州·七年级统考期末）已知点C在射线OA上．（1）如图①，CD//OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．【思路点拨】（1）先根据平行线的性质得到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数；（2）如图②，过O点作OF∥CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO′E′的数量关系；（3）由已知推出CP∥OB，得到∠AOB+∠PCO=180°，结合角平分线的定义可推出∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，根据（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-∠AOB，进而推出∠AOB=∠BO′E′．【解题过程】解：（1）∵CD∥OE，∴∠AOE=∠OCD=120°，∴∠BOE=360°-∠AOE-∠AOB=360°-90°-120°=150°；（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α．证明：如图②，过O点作OF∥CD，∵CD∥O′E′，∴OF∥O′E′，∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠E′O′O=180°-∠BO′E′，∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO′E′=360°-（∠OCD+∠BO′E′）=α，∴∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′．证明：∵∠CPO′=90°，∴PO′⊥CP，∵PO′⊥OB，∴CP∥OB，∴∠PCO+∠AOB=180°，∴2∠PCO=360°-2∠AOB，∵CP是∠OCD的平分线，∴∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′=360°-α=360°-∠AOB，∴360°-2∠AOB+∠BO′E′=360°-∠AOB，∴∠AOB=∠BO′E′．6．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期末）已知MN//PQ，点B、C在MN上（B在C左侧），A在PQ上，连接AB、AC，∠PAB=60°，∠ACB=40°，AE平分∠PAC，BE平分∠ABC，AE、BE交于点E．（1）求∠AEB的度数；（2）若将图1中的线段AC沿PQ向右平移到DC如图2所示位置，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，DE、BE交于点E，∠PAB=60°，∠DCB=40°，请你直接写出∠DEB的度数：（3）若将图1中的线段AC沿PQ向左平移到DC如图3所示位置，其它条件与（2）相同，猜想此时∠DEB的度数又是多少．（不需要证明）【思路点拨】（1）先证明∠QAC=∠ACB=40°,∠ABC=∠PAB=60°,再求解∠PAE=12×140°＝70°，可得∠BAE=∠PAE−∠PAB=10°,再求解∠ABE（2）先证明∠ABC=60°,∠QDC=40°,∠DAB=120°,可得∠PDC=140°,由DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，∠ADE=1（3）先证明∠ABC=60°,∠QDC=40°,结合角平分线的定义可得∠ADE=20°,∠ABE=∠EBC=30°,如图，过E作EK∥PQ，证明∠ADE=∠DEK=20°,再证明∠KEB=∠EBC=30°,【解题过程】解：（1）∵PQ∥MN，∠PAB=60°，∴∠QAC=∠ACB=40°,∠ABC=∠PAB=60°,∴∠PAC=180°-40°=140°，而AE平分∠PAC，∴∠PAE=12∴∠BAE=∠PAE−∠PAB=70°−60°=10°,∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=30°，在△ABE中，∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE=180°-30°-10°=140°，（2）∵PQ∥MN，∠PAB=60°，∴∠ABC=60°,∠QDC=40°,∠DAB=120°,∴∠PDC=140°,∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，∴∠ADE=1∴∠DEB=360°−120°−70°−30°=140°.（3）∵PQ∥MN，∠PAB=60°，∴∠ABC=60°,∠QDC=40°,∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，∴∠ADE=如图，过E作EK∥∴∠ADE=∠DEK=20°,∵MN∥∴KE∥∴∠KEB=∠EBC=30°,∴∠DEB=∠DEK+∠KEB=20°+30°=50°.7．（2021春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）如图，已知AB//CD，点E在直线AB,CD之间．（1）求证：∠AEC=∠BAE+∠ECD（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．ⅰ．如图②，若∠AEC=90°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数．ⅱ．如图③，若FH平分∠CFG，请直接写出∠AHF与∠AEC的数量关系．【思路点拨】（1）过E作EF∥AB，可得∠A=∠AEF，利用平行于同一条直线的两直线平行得到EF与CD平行，再得到一对内错角相等，进而得出答案；（2）ⅰ．HF平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x，根据平行线的性质可以得到∠AHF的度数；ⅱ．设∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到∠AHF与∠AEC的数量关系．【解题过程】解：（1）如图1，过点E作直线EN∥AB，∵AB∥CD，∴EN∥CD，∴∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN，∴∠AEC=∠AEN+∠CEN=∠BAE+∠ECD；

（2）∵AH平分∠BAE，∴∠BAH=∠EAH，ⅰ．∵HF平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x，又CE∥FG，∴∠ECD=∠GFD=2x，又∠AEC=∠BAE+∠ECD，∠AEC=90°，∴∠BAH=∠EAH=45°-x，如图2，过点H作l∥AB，同理可得：∠AHF=∠BAH+∠DFH=45°-x+x=45°；

ⅱ．设∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，∵HF平分∠CFG，∴∠GFH=∠CFH=90°-x，由（1）知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+2y，如图3，过点H作l∥AB，∴∠AHF-y+∠CFH=180°，即∠AHF-y+90°-x=180°，∠AHF=90°+（x+y），∴∠AHF=90°+12∠AE8．（2022·全国·七年级专题练习）小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC=∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由．（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD=50°，∠ABC=40°，求∠BED的度数．（3）将图2中的线段BC沿DC所在的直线平移，使得点B在点A的右侧，若∠FAD=m°，∠ABC=n°，其他条件不变，得到图3，请你求出∠BED的度数(用含m，n的式子表示)．（1）根据平行线的性质即可得到结论；（2）先过点E作EH∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论；（3）过E作EG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论．【解题过程】解：（1）如图1中，作EF∥AB，则有EF∥CD，∴∠1=∠BAE，∠2=∠DCE，∴∠AEC=∠1+∠2=∠BAE+∠DCE．（2）如图2，过点E作EH∥AB，∵AB∥CD，∠FAD=50°，∴∠FAD=∠ADC=50°．∵DE平分∠ADC，∠ADC=50°，∴∠EDC=12∠ADC∵BE平分∠ABC，∠ABC=40°，∴∠ABE=12∠ABC∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，∴∠ABE=∠BEH=20°，∠CDE=∠DEH=25°，∴∠BED=∠BEH+∠DEH=45°．（3）过点E作EG∥AB．∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=∠FAD=m°，∴∠ABE=12∠ABC=12n°，∠CDE=12∠ADC=∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠BEG=180°﹣∠ABE=180°﹣12n°，∠CDE=∠DEG=12∴∠BED=∠BEG+∠DEG=180°﹣12n°+12故答案为：180°﹣12n°+129．（2022春·江苏南京·七年级统考期末）如图，已知MN//GH，点A在MN上，点B、C在GH上．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°．点D、E在直线AB上，在△DEF中，∠DFE＝90°，∠（1）图中∠BAN的度数是______°；（2）将△DEF沿直线AB平移，如图2所示，当点F在MN上时，求∠AFE的度数；（3）将△DEF沿直线AB平移，当以A、D、F为顶点的三角形中，有两个角相等时，请直接写出∠FAN的度数．【思路点拨】（1）先由三角形内角和定理求出∠ABC=45°，再由两直线平行，内错角相等，得出∠BAN=∠ABC=45°；（2）先由三角形内角和定理求出∠AFD=180°−∠BAF−∠EDF=105°，则∠AFE=∠AFD−∠DFE；（3）分∠FAD=∠FDA和∠AFD=∠FDA两种情况讨论．【解题过程】（1）解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，∴∠ABC=180°−∠ACB−∠BAC=180°−90°−45°=45°，∵MN//∴∠BAN=∠ABC=45°，故答案为：45°；（2）解：由（1）得∠BAN=45°，即∠BAF=45°，又∵∠EDF＝30°，∴∠AFD=180°−∠BAF−∠EDF=180°−45°−30°=105°，∵∠DFE＝90°，∴∠AFE=∠AFD−∠DFE=105°−90°=15°；（3）解：当∠FAD=∠FDA时，如图所示，∵∠EDF＝30°，即∠FDA=30°，∴∠FAD=∠FDA=30°，由（1）得∠BAN=45°，∴∠FAN=∠BAN−∠FAD=45°−30°=15°；当∠AFD=∠FDA时，如图所示，∵∠EDF＝30°，即∠FDA=30°，∴∠AFD=∠FDA=30°，∴∠FAD=180°−∠FDA−∠AFD=180°−30°−30°=120°，由（1）得∠BAN=45°，∴∠FAN=∠FAD−∠BAN=120°−45°=75°；综上，∠FAN的度数为15°或75°．10．（2021春·湖北武汉·七年级校联考期中）已知直线a//b，点A，B在直线a上（B在A左侧），点C在直线b上，E点在直线b下方，连接AE交直线b于点（1）如图1，若∠BAD=110°，∠DCE=45°，求∠DEC；（2）如图2，∠BAD的邻补角的角平分线与∠DEC的角平分线所在的直线交于点M，试探究∠AME与∠ECD之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下，将图2中点A向右平移，使得点D在C点右侧，直接写出∠AME与∠ECD的数量关系．【思路点拨】（1）过点E作EF∥CD．利用平行线的性质解决问题即可．（2）过点M作MF∥AB，过点E作EG∥AB．设∠BAE＝α，∠DCE＝β．利用平行线的性质以及角平分线定义解决问题即可．（3）结论：∠AME＝12∠DCE【解题过程】解：（1）过E作EF//∵BA∴EF∴∠AEF=∠BAE=110°，∠CEF=∠DCE=45°，∴∠DEC=∠AEF−∠CEF，=110°−45°，=65°；（2）如图所示过M作MF//过点E作EG//设∠BAE=α，∠DCE=β，∵BA//∴MF//∴∠BAE=∠AEG=α，∠DCE=∠CEG=β，∴∠DEC=α−β，∵EM平分∠DEC，AM平分∠BAD的邻补角，∴∠MEC=∠DEC2=∠MEG=β+α−β∴∠AME=90°−α=90°+β∴∠AME（3）结论：∠AME＝12∠DCE理由：延长EC交AB于T．设∠BAM＝∠RAM＝y，∠CEM＝∠MED＝x，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠ATE，∵2y＝2x＋∠ATE，y＝x＋∠AME，∴∠AME＝12∠ATE＝12∠故答案为：∠AME＝12∠DCE11．（2021春·河南三门峡·七年级校考期中）如图，AB//CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE,DE所在直线交于点E，∠ADC=80°．（1）若∠ABC=50°，求∠BED的度数；（2）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC=120°，求∠BED的度数．【思路点拨】（1）作EF//AB，如图1，利用角平分线的定义得到∠ABE=25°，∠EDC=40°，利用平行线的性质得到∠BEF=∠ABE=25°，∠FED=∠EDC=40°，从而得到∠BED的度数；（2）作EF//AB，如图2，利用角平分线的定义得到∠ABE=60°，∠EDC=40°，利用平行线的性质得到∠BEF=120°，∠FED=∠EDC=40°，从而得到∠BED的度数；如图3，利用AB//CD得到∠2=40°，然后根据三角形外角性质可计算出∠BED．【解题过程】解：（1）作EF//AB，如图1，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE=12∠ABC=25°∵AB//CD，∴EF//CD，∵∠BEF=∠ABE=25°，∠FED=∠EDC=40°，∴∠BED=25°+40°=65°；（2）作EF//AB，如图2，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE=12∠ABC=60°∵AB//CD，∴EF//CD，∵∠BEF=180°−∠ABE=120°，∠FED=∠EDC=40°，∴∠BED=120°+40°=160°．如图3，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠1=12∠ABC=60°∵AB//CD，∴∠2=40°，∵∠1=∠BED+∠2，∴∠BED=60°−40°=20°．如图4，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE=12∠ABC=60°∵AB//CD，∴∠1=∠ABE=60°，∵∠3=∠2=40°，而∠1=∠BED+∠2，∴∠BED=60°−40°=20°．综上所述，∠BED的度数为20°或160°．12．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E＝75°．（1）请说明AE∥BC的理由．（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数；②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，求∠Q的度数．③在整个运动中，求∠E、∠Q、∠EDQ之间的的等量关系．【思路点拨】（1）根据平行线的性质得到∠BAE+∠E＝180°，等量代换得到∠BAE+∠B＝180°，于是得到结论；（2）①如图2，过D作DF∥AE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论；②过D作DF∥AE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论．③结合①②即可得在整个运动中，∠E、∠Q、∠EDQ之间的的等量关系．【解题过程】（1）解：∵DE∥AB，∴∠BAE+∠E＝180°，∵∠B＝∠E，∴∠BAE+∠B＝180°，∴AE∥BC；（2）①如图2，过D作DF∥AE交AB于F，∵线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，∴PQ∥AE，∴DF∥PQ，∴∠DPQ＝∠FDP，∵∠E＝75°，∴∠EDF＝180°－∠E＝105°，∵DE⊥DQ，∴∠EDQ＝90°，∴∠FDQ＝360°﹣105°﹣90°＝165°，∴∠DPQ+∠QDP＝∠FDP＋∠QDP＝∠FDQ＝165°，∴∠Q＝180°﹣165°＝15°；②如图3，过D作DF∥AE交AB于F，∵PQ∥AE，∴DF∥PQ，∴∠QDF＝180°﹣∠Q，∵∠Q＝2∠EDQ，∴∠EDQ=12∠∵∠E＝75°，∴∠EDF＝105°，∴180°﹣∠Q−12∴∠Q＝50°；如图4，过D作DF∥AE交AB于F，∵PQ∥AE，∴DF∥PQ，∴∠QDF＝180°﹣∠Q，∵∠Q＝2∠EDQ，∴∠EDQ=12∠∵∠E＝75°，∴∠EDF＝105°，∴180°﹣∠Q+12∴∠Q＝150°，综上所述，∠Q＝50°或150°，③如图3，∵DF∥AE，DF∥PQ，∴∠EDG＝∠E，∠GDQ＝∠Q，∴∠EDQ＝∠EDG－∠GDQ＝∠E－∠Q，即∠EDQ＝∠E－∠Q；如图4，∵DF∥AE，DF∥PQ，∴∠FDE＝180°－∠E，∠FDQ＝180°－∠Q，∴∠EDQ＝∠FDE－∠FDQ＝∠Q－∠E，即∠EDQ＝∠Q－∠E；综上所述，∠EDQ＝∠E﹣∠Q或∠EDQ＝∠Q﹣∠E．13．（2021春·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点B，C在直线MN上，连接AB，AC，∠PAB=50°，∠ACB=30°，AD平分∠PAC，BD平分∠ABC，AD与BD相交于点（1）求∠ADB的度数；（2）若将图1中的线段AC沿MN向右平移到A1C1，如图2，此时A1D平分∠AA1C1，BD平分∠ABC1，A（3）若将图1中的线段AC沿MN向左平移到A1C1【思路点拨】（1）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∠DBA以及∠BAD的度数，进而得出答案；（2）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∠BAQ以及∠ABD的度数，进而得出答案；（3）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∠ABN和∠ABD的度数，进而得出答案．【解题过程】解：（1）如图1所示，∵直线PQ∥MN，∴∠ACB=∠QAC=30°，∴∠PAC=150°，∵∠PAB=50°，AD平分∠PAC，∴∠PAD=75°，∴∠BAD=25°，可得∠PAB=∠ABN=50°，.∵BD平分∠ABC，∴∠DBA=25°，∴∠ADB=180°−25°−25°=130°；（2）如图2所示，∵∠A1C1B=30°，线段AC沿MN∴∠QA∴∠PA∵A1D平分∴∠PA∵∠PAB=50°，PQ∥∴∠BAQ=130°，∠ABN=50°，∵BD平分∠ABC∴∠ABD=25°，∴∠BDA（3）如图3所示，过点D作ED∥∵∠A1C1B=30°，线段AC沿MN∴∠QA∵A1D平分∴∠QA∵∠PAB=50°，PQ∥∴∠ABN=50°，∵BD平分∠ABC1，∴∠ABD=∠DBN=∠EDB=25°，∴∠BDA14．（2022春·江苏南京·七年级统考期中）如图，已知直线AB//CD，直线EF分别与AB，CD交于O点，G点．P点是直线（1）如图1，当P运动至AB与CD之间时，过点P作PM⊥PN分别交AB，CD于M，N．若∠BMP=15°，则∠PNG=______度．（2）如图2，当P运动至直线AB上方时，过点P作PM⊥PN分别交AB，CD于M、N．作∠EPM的角平分线并反向延长交AB于点T，交CD于点Q，作∠NPF的角平分线与CD交于点H，若∠PHC=72°，求∠BTQ的度数．（3）过点P作PM⊥PN分别交AB，CD于M，N，设PN与AB交于点K，点O在M、K之间且MO：MO:KO=3:1，S△POK=8．沿直线EF方向平移直线CD，并保持CD始终在AB下方，使得S△MOG=4．连接MG、MN、【思路点拨】（1）如图1中，作PQ∥AB．根据平行线的判定和性质以及垂线的性质解决问题即可．（2）如图2中，延长AP到J，设PH交AB于W．证明∠HPQ＝45°，∠PWM＝72°，再利用三角形外角的性质即可解决问题．（3）想办法求出△NGK的面积，可得结论．【解题过程】解：（1）如图1中，作PQ∥AB．∵PM⊥PN，∴∠MPN＝90°，∴PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD∥AB，∴∠MPQ＝∠PMB＝15°，∠QPN＝∠PNG，∵∠QPN＝90°﹣15°＝75°，∴∠PNG＝75°．故答案为：75．（2）如图2中，延长AP到J，设PH交AB于W．∵AB∥CD，∴∠BWH＝∠PHC＝72°，∵PM⊥PN，∴∠JPN＝90°，∵RQ平分∠PEM，∴∠RPE＝∠RPM，∵∠EPR＝∠FPQ，∠RPM＝∠JPT，∴∠JPT＝∠QPF，∵PH平分∠NPH，∴∠NPH＝∠HPF，∴∠HPQ＝12∠JPN∵∠PWM＝∠PTW+∠HPQ，∴∠PTW＝72°﹣45°＝27°，∴∠BTQ＝∠PTM＝27°．（3）如图3中，连接KG，ON．∵MO：KO＝3：1，S△POK＝8，∴S△POM＝3S△POK＝24，∵S△MOG＝4，∴OP：OG＝24：4＝6：1，∴S△OKG＝16S△POK＝4∵OK∥GN，∴S△OKG＝S△OKN＝43∴PK：KN＝S△POK：S△OKN＝6：1，∴S△KGN＝16S△GKP＝∵AB∥CD，∴S△MNG＝S△GNK＝14915．（2022春·广西贵港·七年级统考期末）如图已知∠MON=α0°<α<90°，有一块三角板ABC，其中∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，现将该三角板如图所示放置，使顶点B始终落在ON上，过点A作DA//ON交OM于点E（1）如图1，若BC//OM，∠CAD＝40°，请求出α的大小；（2）若∠BAE的平分线AP交ON于点P：①如图2，当AP//OM，且α=60°时，请说明：BC//OM；②如图3，将三角板ABC沿直线ON从左往右平移，且在平移的过程中，始终保持BC//OM不变，请探究∠OPA与α之间的数量关系，并直接写出你的结论．【思路点拨】（1）过C点作CF∥ON，根据平行线的性质可得∠CBN＝∠BCF＝∠ACB－∠ACF＝50°，即可求解．（2）①根据平行线的性质可得∠APB＝α＝60°，∠EAP＝∠APB＝60°，由AP平分∠BAE，∠BAE＝2∠EAP＝120°，可得∠ABO＝60°，由直角三角板可得∠ABC＝60°，可得∠CBN＝∠MON，即可得证；②分情况讨论，当A在E点左侧时，当A在E点右侧时，根据始终保持BC//OM不变，结合平行线的性质以及角平分线的定义即可求解．【解题过程】解：（1）如图1，过C点作CF∥ON，∵DA∥ON，∴DA∥CF∴∠ACF＝∠CAD＝40°∴∠CBN＝∠BCF＝∠ACB－∠ACF＝50°∵BC∥OM，∴∠MON＝∠CBN＝50°即α的大小为50°．（2）①∵AP∥OM，∴∠APB＝α＝60°∵DA∥ON，∴∠EAP＝∠APB＝60°∵AP平分∠BAE，∴∠BAE＝2∠EAP＝120°∴∠ABO＝180°－∠BAE＝60°∵在三角板ABC中，∠ABC＝60°∴∠CBN＝180°－∠APB－∠ABC＝60°∴∠CBN＝∠MON∴BC∥OM．②分两种情况：i当A在E点左侧时，∠OPA＝150°－12αii当A在E点右侧时，∠OPA＝60°－12α理由如下，i当A在E点左侧时，如图3所示∵BC∥OM，DA∥ON∴∠CBN＝∠MON＝α∴∠BAE＝∠ABN＝∠CBN＋∠ABC＝α＋60°∵AP平分∠BAE，∴∠EAP＝12∠BAE＝12(α＋60°)＝1∴∠OPA＝180°－∠EAP＝180°－(12α＋30°)＝150°－12ii当A在E点右侧时，如图4所示∵BC∥OM，DA∥ON∴∠CBN＝∠MON＝